条件概率的计算公式

1、概率论与数概率论与数 理理 统统 计计一、条件概率的概念 例1.4.1一只盒子里混有100只新旧乒乓球，各有黄白两色，分类如下：新4030旧2010从盒子中随机取出一个球，若记a=从盒子中随机取出一个球，该球为新球，402.603若事先知道取出的是黄球，若事先知道取出的是黄球，则上述概率为则上述概率为记b=从盒子中随机取出一个球，该球为黄球4040/100()().6060/100( )p abp a bp b条件概率的定义条件概率的定义 条件概率的性质条件概率的性质1212124) ()0, 5) ()1(),6) ()()()(). pbp a bp a bp aa bp a bp a b

2、p a a b 例1.4.2某种灯泡用5000小时未坏的概率为 ，用10000 小时未坏的概率为 ，现有一只这种灯泡已用了5000小时未坏，问它能用到10000小时的概率是多少？4321解：设b=“灯泡用到5000小时”，a=“灯泡用到10000小时” 21,43apbp我们知道用到10000小时的灯泡一定用了5000小时，即 ba所以ab=a， apabp apbpapbpabpbap21324321 这表明，用了5000小时的灯泡再用到10000小时的可能性比没有用过的新灯泡用到10000小时的可能性大，这是很自然的，因为前者已经剔除了那些没有用到5000小时的质量较次的灯泡。 二、乘法公

3、式 若 ， 由条件概率定义，可得 ( ) 0pb bpbapabp上式称为事件概率的乘法公式乘法公式 它可推广到任意有限个事件 设 为任意n个事件，满足 naaa,21021naaap 12121312121nnnaaaapaaapaapapaaap则 apabpabp 例1.4.3 甲、乙两市都位于长江下游，据一百多年来的气象记录，知道在一年中的雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%。 求：1）两市至少有一市是雨天的概率； 2）乙市出现雨天的条件下，甲市也出现雨天的概率； 3）甲市出现雨天的条件下，乙市也出现雨天的概率。()( )( )() 0.26,p a bp apb

4、p ab解()0.12()0.67,( )0.18p abp a bp b()0.12()0.60.( )0.2p abp b ap a例1.4.4有一张电影票，7个人抓阄决定谁得到它，问第i个人抓到票的概率是多少？（i=1，2，7）解： 设 =“第i个人抓到票”，（i=1，2，7） ia76,7111apap显然如果第二个人抓到票的话，必须第一个人没有抓到票。这就是说 ，所以12aa 122aaa 于是可以利用概率的乘法公式，因为在第一个人没有抓到票的情况下，第二个人有希望在剩下的6个阄中抓到电影票，所以 6112aap716176121122aapapaapap类似可得 715165762

5、131213213aaapaapapaaapap717ap例例1.4.51.4.5设在一盒子中装有设在一盒子中装有1010只球，只球，4 4只黑球，只黑球，6 6只只白球，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽白球，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，问两次都拿到白球的概率是多少？样，问两次都拿到白球的概率是多少？解法一： 用古典概型来做 设a=“两次都拿到白球”， 3121026ccap解法二： 用乘法公式来做， 设b=“第一次拿到白球”，a=“第二次拿到白球”， ab=“两次都拿到白球”， 95,106bapbp 3195106.bapbpabp三、三、全概率公式 例例1.4.6 1

6、.4.6 有外形相同的球分别装两个袋子，设甲袋有有外形相同的球分别装两个袋子，设甲袋有6 6只白只白球，球，4 4只红球，乙袋中有只红球，乙袋中有3 3只白球只白球6 6只红球，现在先从每袋中各任只红球，现在先从每袋中各任取一球再从取出的二球中任取一球，求此球是白球的概率。取一球再从取出的二球中任取一球，求此球是白球的概率。()p a123()p ababab123()()()p abp abp ab112233() ()() ()() ()p a b p bp a b p bp a b p b31() ()iiip a b p b0.1 0.60.25 0.40.15 0.20.19.1()

7、0.6,p b1()0.1,p a b 2()0.25,p b 3()0.15.p b 2()0.4,p a b 3()0.2p a b 在较复杂情况下直接计算在较复杂情况下直接计算p p( (a a) )不易不易, ,但但a a总是伴随着某个总是伴随着某个ai出现，出现，例如例如a是由原因是由原因ai所引起，则所引起，则a a发生的概率是发生的概率是p (a bi)=p(bi)p(a |bi)每一原因都可能导致每一原因都可能导致a发生，故发生，故a发生的概率是各原因引起发生的概率是各原因引起a发生发生概率的总和概率的总和. “全全”部概率部概率p(a)被分解成了许多部分之和被分解成了许多部分

8、之和. 由以上两例看出，当求某一事件a的概率比较困难，而求条件概率比较容易时，可先设法将这个事件a分成几个互不相容事件的和，再利用加法公式和乘法公式解之。定理：定理： 设 为一列互不相容的事件，且 12,nb bb1niib 则对任一事件a，有 1122nnp ap b p a bp bp a bp bp a b1niiip b p a b证明见书。 上述公式称为全概率公式全概率公式。 ab1b2b3bn.全概率公式的来由全概率公式的来由, , 不难由上式看出不难由上式看出: :“全全”部概率部概率p( (a a) )被分解成了许多部分之被分解成了许多部分之和和. . 1()p b a1()(

9、 )p b ap a11() ()( )p a b p bp a0.6 0.10.1 0.60.25 0.40.15 0.20.316.30.15 0.2()0.158.0.1 0.60.25 0.40.15 0.2p b a 当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道a发生），人们对诸事件发生可能性大小发生），人们对诸事件发生可能性大小p(bi | a)作新的估计作新的估计.31( )() ()iiip ap b p a b31()()(|)()()iiijjjp bp abp bap bp abi =1,2,311112233() ()() ()() ()() ()p a b p bp a

10、b p bp a b p bp a b p b定理：设 为一列互不相容的事件，且有，对任意的事件b，则有 12,nb bb1,1,2,iiiniiip b p a bp b ainp b p a b这个公式称为贝叶斯公式贝叶斯公式（逆概公式）（逆概公式）。四、贝叶斯公式（逆概公式）在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，p p( (bi) )和和p p( (bi | |a) )分别称为原因的验分别称为原因的验前概率和验后概率前概率和验后概率. .p p( (b bi)()(i=1,2,=1,2,n) )是在没有进一步信息（不知道事件是在没有进一步信息（不知道事件a a是否发生）的情况下，人们对诸事件发

11、生可能性大小的是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识认识. . 当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道a a发生），人们对诸事件发发生），人们对诸事件发生可能性大小生可能性大小p p( (bi | | a) )有了新的估计有了新的估计. .贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。练：练：1. 1.盒中有盒中有1212只乒乓球，其中只乒乓球，其中9 9只是没有用过的新球，第一只是没有用过的新球，第一次比赛时任取次比赛时任取3 3只使用，用毕返回，第二次比赛时任取只使用，用毕返回，第二次比赛时任取3 3只球。只球。（1 1）求第二次取出的全是新球的概率）

12、求第二次取出的全是新球的概率 （2）若已知第二次取出的都是新球，求第一次取出的都）若已知第二次取出的都是新球，求第一次取出的都是新球的概率。是新球的概率。解： 设 =“第一次取出的3只球都是旧球”， =“第一次取出的3只球中有1只新球”，=“第一次取出的3只球中有2只新球”， =“第一次取出的3只球都是新球”， b=“第二次取出的都是新球”。1a2a3a4a 44111abpapabpapbp）则（1458. 031236312393123731229133123831219233123931233cccccccccccccccccc 2381. 02444bpabpapbap）（2某工厂有1

13、，2，3三个车间，它们生产同一种螺钉，其产量分别占总产量的25%，35%，40%，每个车间的成品中，次品占产品的5%，4%，2%，现从全部螺钉中抽取一个产品，求 （1）它是次品的概率 （2）若已知它是次品，它是1，2，3车间所生产的概率 解： 设 =“抽到的是i车间的产品”， ia3 , 2 , 1ib=“抽到的产品是次品”， 3322111abpapabpapabpapbp）（0345. 002. 04 . 004. 035. 005. 025. 0 3623. 02111bpabpapbap）（ 4058. 0222bpabpapbap 2319. 0333bpabpapbap3、子弹爆炸

14、时产生大、中、小三种弹片，大、中、小三种弹片打中坦克的概率分别等于大、中、小三种弹片数量之比1：3：6，若大、中、小三种弹片击中坦克则其击穿坦克的概率分别为0.9,0.2,0.05，求（1）击穿坦克的概率；（2）若已知坦克被击穿，分别是由大、中、小三种弹片击穿的概率。解： 设b=“坦克被击穿” 表示坦克分别被大、中、小三种弹片击中 321,aaa 3322111abpapabpapabpapbp）则（18. 005. 06 . 02 . 03 . 09 . 01 . 0 5 . 02111bpabpapbap）（ 33. 0222bpabpapbap 17. 0333bpabpapbap（1）两台机床