曲线运动1曲线运动一相关知识补充6-2角加速度1角

1、第6章曲線運動87第6 章曲線運動一相關知識補充6 2角加速度1.角加速度（）：單位時間內角速度之變化量。單位為rad/s2。2. t 圖，如圖 6 1 所示。(1) t 圖之斜率代表角加速度。(2) t 圖之面積代表角位移或某段時間內所轉過之圈數。（ a）等速圓周運動（ b）等角加速度運動（ c）等角加速度運動（ d）等角減速度至停止圖 61例 1一飛輪在 30 秒內由靜止以等角加速度加速到600rpm ，試求(1) 角加速度(2) 角位移(3) 10秒末之角速度，各為若干？解： (1)斜率2022 （ rad/s ）t303(2)面積 1 3020 300 （ rad）2(3)1 t10

2、210 20（ rad/s）3388 第6章 曲線運動例 2一電風扇以1200rpm 之速度轉動，當開關關掉後，經10 秒後停止，求 (1) 角加速度 (2) 至停止時所需的轉數。解： (1)斜率 N 0 20 2（轉 /s2）t10 4 （ rad/s2 ）（轉 2rad ）(2)面積所轉之圈數1 10202 100 （轉）6 3切線加速度與法線加速度1.切線加速度（ a ）：改變速度之大小，a r 。tt2.法線加速度（ an ）：改變速度之方向，an Vt2 r 2。r3.合加速度或線加速度RR22。a ， a at an6 4拋物體運動1. 水平拋射(1) 水平方向作等速直線運動，可求

3、得水平射程。(2) 垂直方向作自由落體運動，可求得飛行時間及高度。(3)落地時的合成速度最大，V Vx2 Vy2 。(4)當落地時 45 ，則水平射程最遠Rmax 2h（ h 表高度）。2. 斜向拋射(1) 水平方向作等速直線運動，可求得水平射程。(2) 垂直方向作鉛直上拋運動，可求得飛行時間及高度。(3)物體在最高點時只有水平分速度V x V 0cos ， V y 0，動能最小。(4) 同一水平高度之兩點速度的大小相等、方向相反。2(5)若初速度一定，則當拋射角 45 時，水平射程最遠Rmax V0 4h 。g第6章曲線運動89(6)若初速度一定，則當兩仰角互為餘角時（1 2 90 ），其水

4、平射程會相等。(7)欲拋最高 90 ， hmax V02；欲拋最遠 45 ， Rmax V02。2gg90 第6章 曲線運動二 隨堂練習6 1角位移與角速度（B） 1.一般手錶的秒針，其角速度應為若干rad/s？(A)(B)6030(C) (D)2 。解： 2N 21 （ rad/s）606030（B ）2.一直徑 20cm 之帶輪，以每分鐘300 轉作等速圓周運動，試求此 輪圓 周 之切 線速 度為 多 少 m/s ？ (A)(B)(C)22(D)3。DN 20 300解： V100 （ m/s）60606 2角加速度（D） 3.一輪由靜止開始以等角加速度迴轉運動，經10 秒後其迴轉速為 1

5、00rpm，再經幾秒後其迴轉速變為 180rpm ？ (A)20 (B)16(C)10(D)8 。解： 100 8010tt 8（A ）4.一飛輪之轉速為600rpm ，現以煞車制動，且在轉100 圈後停止，則煞車開始作用到停止之時間為多少秒？(A)20 (B)25(C)30 (D)35 。第6章曲線運動91解： N 0 600rpm 10rps100 1 t102t 20（秒）92 第6章 曲線運動6 3切線加速度與法線加速度（ C ） 5. 一質點以一定長度為半徑繞一固定中心，作順時針之等角速度轉動，則此質點的運動狀態為(A) 作等速運動(B) 具有切線加速度(C) 具有向心加速度(D)

6、具有切線及向心加速度。（A） 6.半徑為 1cm 之飛輪以角加速度2rad/s2，由靜止開始轉動，則2 秒後，其輪緣上任一點之加 速度為(A)260 (B) 196(C) 20(D) 80 cm/s 2。解： at r 12 2（ cm/s 2） t 22 4（ rad/s）an r2 1（4） 2 16（ cm/s2 ）22222）aR （at）（ an） （ 2）（16） 260 （ cm/s（A） 7.如圖 6 6 所示之平皮帶輪傳動，A及 B 兩皮帶輪半徑分別為10mm及20mm ， 其 皮 帶 線 速 度 固 定 為200mm/s ，假設皮帶厚度可忽略且無滑動現象，則此A及B兩皮帶輪

7、圖 66外緣之加速度比為多少？(A) 2：1(B) 4：1(C) 1： 2(D) 1： 4。6 4拋物體運動（ D ） 8. 一物體以 4.9m/s 之速度水平拋出，當物體落地時的方向與水平成 45，則此物體拋出後幾秒著地？ (A)1.414(B)1(C)0.707(D)0.5秒。解：當著地45時 V0V xV y gt4.99.8t t0.5（秒）（ A ） 9. 如圖 6 9 所示之球，將其視為一質點，假設不計空氣阻力 ，試求若水平拋出而能直接撞擊牆角 A 點之初速度 V 0 為多少 m/s？ (A)4.5 (B)4.9 (C)9 (D)9.8 。圖 69第6章 曲線運動93解： h 1

8、gt24.9 1 9.8t2t1（s）22又 R V 0t4.5 V 01V 0 4.5（ m/s）（C） 10.有一石階每階高20cm，寬 30cm，自頂端 A 點將一石頭以 5m/s的速度 水平 拋出，若 g 10m/s2 ， 則石 頭將 落於 第幾 階？(A)10 (B)11(C)12(D)13 。解：設石頭落在第 n 階鉛直位移 h 0.2n 1 10t22tn5水平位移 S 5t 0.3 n5 n 0.3n n 11.15故落在第12 階（C） 11.槍彈離開槍口之初速度為70m/s ，若 g 10m/s 2，則最大射程為 (A)300解： Rmax (B)400(C)490 (D)

9、590 m。V02（ 702）g 490（ m）10（A ）12.假設子彈離開槍管時之初速度為100m/s ，且子彈與水平方向成 30 之仰角，則子彈所能達到的最大高度為（設g 10m/s2 ）(A)125(B)22522解： h V0sin2g(C)325(D)400m。22（ 100 ）（ sin 30） 125（ m）102（C ）13.一砲彈由水平地面以60 之仰角發射，其初速度為500m/s，當此砲彈之水平方向位移為2500m 時，其距離此水平地面的高度為多少m？（註： cos60 0.5， sin60 0.866） (A)2490(B)3490(C)3840(D)5440 。解：

10、R V0 cos t2500 500cos60 tt 10（ s）94第6章曲線運動又 hV 0sin t 1 gt2500sin60 10 1 9.8（10） 222 3840 （ m）第6章曲線運動95三自我評量一、選擇題題前標註，表示重要且常考的題目6 1角位移與角速度（ D） 1.一質點在直徑2m 的圓周上作等速圓周運動，若質點之繞行轉速為每分鐘50 轉，則其線速度為若干？ (A) 2(B)453(D)(C)m/s。33解： VDN 2 50 5 （ m/s）60603（ C ） 2. 一機車其輪子之直徑為0.8m，若中心點以 30m/s 的速度行駛，則在輪頂的速度為何？(A)40(B

11、)50 (C)60 (D)70m/s。解：由 V 0 r得 300.4 75（ rad/s ）又轉動時瞬時中心為轉輪與地接觸之A點，如圖所示輪頂之速度為V R （ 2r ） （ 20.4 ）75 60（ m/s ）6 2角加速度（C） 3.下列何者是角加速度之單位？(A)m/s 2(B)m/s (C)rad/s 2(D)rad/s 。（C） 4.半徑為 30cm之飛輪，自靜止以等角加速度0.5rad/s 2開始轉動，則當轉過120 角時輪緣上一點的加速度為何？（設210） (A)45(B)55(C)65(D)75 cm/s 2。解： 120 2（ rad）由202 2 0 20.5 2233

12、2又 at r 300.5 15（ cm/s2）3an r2 302 20 （ cm/s2）3故 a22222）at an（15）（ 20） 65 （ cm/s96 第6章 曲線運動6 3切線加速度與法線加速度（B） 5.一物體作圓周運動，角速度為，半徑為r，則法線加速度為2r2(A)r(B)r(C)(D)。r（B） 6.在等速率圓周運動中(A) 僅有切線加速度(B) 僅有法線加速度(C) 切線與法線加速度均有(D) 無任何加速度。（A） 7.一個質點在作圓周運動，如在圓之切線方向有加速度，此是由於質點之什麼改變而產生的？(A) 線速度之大小(B) 線速度之方向(C) 位置(D) 位置與線速度

13、之方向。（C） 8.一質點作圓周運動，下列敘述何者正確？(A) 線速度大小改變會產生切線加速度及法線加速度(B) 線速度大小改變會產生法線加速度，線速度方向改變會產生切線加速度(C) 若為等速率圓周運動，則僅有法線加速度而無切線加速度(D) 若為等速率圓周運動，因角速度為零，故僅有切線加速度。6 4拋物體運動（D） 9.一物體以 V0 之初速與水平成仰角拋出 ，則下列何者為錯誤之結 果？(A) 水平 速度 為 V 0 cos(B)到達頂點之時間為V0 sin(C) 落到水平面時之時間為2V 0 singg(D) 落到水平2面時之水平射程為V0 sin。g（ D ） 10. 以不同的仰角作斜向拋

14、射 ，若時間相同 ，則下列何者必須相同？(A) 水平位移(B) 水平分速度(C) 初速度 (D) 最大高度。解： T 2V0 sinh V02 sin 2g2g若時間 T 相同，則 V 0sin必相同高度 h 亦相同（B） 11.當斜向拋射之初速一定時，則拋射角 為(A)30(B)45(C)60(D)90時，水平射程最大。（C） 12.若初速度為一定時，以15 及75 之仰角拋出二球，則何者水平射程較遠？(A)15 仰角之水平射程較遠(B)75仰角之水平射程較遠(C) 相等(D)75 仰角之水平射程為15 仰角第6章曲線運動97之 3倍。解：兩角互餘，射程相同。（B） 13.一物體從高h 的樓

15、上水平拋射，著地時和水平面成45 角，則水平位移為(A)h(B)2h(C)3h(D) 1 h。2（D） 14.一斜向拋射物體之初速V0為一定，重力加速度為g，則其最大水平射程R 為 (A)2gV02(B) V02(C)2V 02(D) V02。2ggg（D） 15.一物體以V 0 之初速與水平仰角拋出，如果要使水平射程R為最大高度H 的 3倍，則角應為(A)30(B)37(C)45(D)53 。解： tan 4H 4H 4 53R3H3（A） 16.一物體在高度h 的平台上，以初速V 0 水平拋射出去，則物體落地時所需之時間為(A)2h(B)2gh(C)hgg(D) gh 。（ A ） 17.

16、 於地面上一定高度作水平拋射之物體，若不計空氣阻力，則當初速度加倍時，其在空中飛行時間(A) 仍然不變(B) 加倍(C) 減半 (D) 為原來之 4 倍。解： t 2h知飛行時間與初速無關，僅與高度有關。g（B） 18.當水平射程為拋射體所能到達最高距離之4倍時，則其拋射角應為(A)30(B)45(C)60(D)90。解： tan 4h 4h 145R4h（D） 19.一顆子彈以V 0 的初速度射出，若射出的仰角為，則子彈所能達到的最大高度為(A)2V0 sin(B) V0 sin(C)2V02 sin 2g2ggV02 sin 2。(D)2g（C） 20. 將一圓球以仰角，初速度 V 0 射

17、出，試問圓球上升至最大高度98第6章曲線運動時，其水平分速度 V x 與垂直分速度 V y V 0 sin (B)V x 0， V y V 0 cos (D)V x V 0 sin ， V y 0。V y 為若干？ (A)V x 0， (C)V x V0 cos ， V y 0（B） 21.有一物體與水平面成仰角擲出，其初速度為V ，設空氣阻力0不計，重力加速度為g，試求拋射之水平距離為若干？2V0 sinV02 sin 2V02 sin 22V0 sin(A)(B)g(C)2g(D)。g2g（A） 22.假設棒球投手最遠能投100m 之水平距離，則以同樣的初速度拋射，最高能投多少m？(A)5

18、0(B)60(C)70(D)80 。解：最遠之射程為 45時 Rmax V02g最高係為 90 時hmax V0 22g故 hmax 1 Rmax 1 100 50（ m ）22（B ）23.將一物體以 5m/s 的初速度水平射出，則當其速度為13m/s 時，歷時多少？（ g 10m/s 2） (A)1(B)1.2 (C)1.5(D)1.8 秒。解：由圖可知，V x Vcos5 13coscos 5sin 1213又 V y Vsin gt1313 12 10tt 1.2（秒）13（D） 24. 一物體以相同的初速度作斜向拋射，若仰角分別為60 、45 、30 時，測得水平射程分別為R1、 R

19、2、 R3，則下列何者正確？(A)R1 R2R3(B)R1 R2R3(C)R1R2R3(D)R2R1R3。解： 斜向拋射運動，仰角45 時水平射程最遠，而互為餘角時，水平射程相等即 R2R1R3，故選 (D)（ C ） 25. 以初速度 4m/s，仰角 60 ，斜向將一球拋出，不計空氣阻力，則此球 在最 高點的速 度大小為 若 干 m/s ？ (A)4 (B)3.46 (C)2 (D)0 。解：在最高點時V y 0V x V 0cos 4cos60 2（ m/s）第6章曲線運動99二、填充題6 1角位移與角速度1.單位時間內角位移之變化量，稱為角速度。2.切線速度等於此物體的角速度與半徑的乘積

20、。2 N3.一圓周運動每分鐘之迴轉數為N ，則角速度 60。6 3切線加速度與法線加速度4.圓周運動其加速度可分為切線加速度及法線加速度。5.等速圓周運動僅改變速度之方向，而不改變速度之大小 。6.切線加速度僅改變速度之大小，而法線加速度僅改變速度之方向。6 4拋物體運動7.一物體以 V 0之初速與水平成角斜向拋射，則V0 sin(1)達頂點之時間 t g。V02 sin 2(2)最大高度 h2g。2V 0 sin(3)飛行全程所需時間T g。V02 sin 2(4)水平射程 Rg。8.若初速度 V 0一定，當仰角45時，其水平射程最遠為Rmax V02g，且等於高度h 的4倍。9.水平拋射運

21、動可視為水平作等速運動與垂直作自由落體運動所合成的運動。10. 水平拋射的飛行時間，與水平拋出之初速度無關，僅與拋出時的高度 有關。三、計算題100第 6章曲線運動6 2角加速度1.有一飛輪，於1 秒內以等角加速度，自靜止達到每分鐘30 轉，試求該輪2之角加速度為何？解：2 N2 30 （ rad/s）60 60 1 2 （ rad/s2 ）t22，在 5 秒鐘內轉過 120 弧度，如果此飛輪係 2.一飛輪之角加速度為4rad/s從靜止狀態開始運動，則在此5 秒鐘之前已轉動若干時間？（ 20）解： 120 4t 4t528t 28t 3.5（ s）6 3切線加速度與法線加速度3.如圖（ 1）所

22、示，一質點作橢圓運動，當它通過A 點時，其合成加速度 a之大小為 20m/s2 ，且方向如圖所示。試問(1) 當它通過 A 點時其切線加速度及法線加速度之大小各為何？(2) 若在 A 點處之曲率半徑為 6.25m ，則通過 A 點時之速率為何？圖（ 1）解： (1) 由右上圖中知 37atasin37 203 12（m/s2 ）an acos37 204 16（m/s2 ）55第 6 章曲線運動101(2) an V 2V r an 6.25 16 10（ m/s）r4. 如圖（ 2）所示之圓盤，繞 O 軸以等轉速 N 300rpm 迴轉，若圓盤直徑80cm， 45 ， P 為圓周上一點，試求

23、(1) V P 之速率？(2) P 點之法線加速度？解：依題意知：r 40cm 0.4m 2 N 2 300 10rad/s60 60(1) V P r 0.410 4 （ m/s）P2 0.4（10）2 4022）圖（ 2）(2) a r（ m/s6 4拋物體運動 5.設砲彈以 98m/s 的初速度脫離砲口，若不計空氣阻力，求理論上此砲彈(1)最遠的射程？(2)所達的最大高度？(3)在空中的停留時間？22V0解：(1) 最遠之射程為 45時（ 98）即 Rmax g 980（ m ）9.8(2) 所達的最大高度為Rmax 4hh 1 Rmax 1 980 245（ m）44(3) 在空中停留

24、時間T 2V0 sin 2 98 sin 45 10 2 （ s）g9.86.某人在高19.6 米之塔頂，以每秒30 米的水平速度拋射一石 子，忽略空氣的阻力，則該石子經幾秒後著地？石子著地的地點與塔之水平距離為何？解： t2h 219.6 2（ s） X V 0 t 302 60（ m）g9.87.一砲彈在65m 高之峭壁邊緣，以20m/s 之初速度發射出去，仰角37 ，設空氣阻力忽略不計，則砲彈著地處至發射處之水平距離約為若干？2解： h（ V 0sin ） t 1 gt 2 65（ 20sin37） t 110t2225t 2 12t 65 0（ 5t 13）（ t 5） 0t 5（ s）102第 6章曲線運動R V 0 cos t 20cos37 5 80 （ m）8. 某人自桌邊將一石子以 4.9m/s 之速率水平拋出，石子落地時之方向與水平成 45 ，則此石子拋出後在第幾秒著地？解： V 0 V x V y 4.9（ m/s）又 V y gt tVy4.9（ s）g 0.59.8 9.