万有引力课件

1、万有引力1笫七章笫七章 万有引力万有引力（一）质点在有心力场中的运动（一）质点在有心力场中的运动（二）开普勒三定律（二）开普勒三定律（三）万有引力定律（三）万有引力定律目目 录录万有引力2（一）质点在有心力场中的运动（一）质点在有心力场中的运动一、有心力一、有心力所谓有心力，就是方向始终指向（或背向）固定中心的力所谓有心力，就是方向始终指向（或背向）固定中心的力. . 该固定中心称为力心该固定中心称为力心. .在许多情况下，有心力的大小在许多情况下，有心力的大小仅与考察点至力心的距离有关，即仅与考察点至力心的距离有关，即 有心力存在的空间称为有心力场，如万有引力场、有心力存在的空间称为有心力场

2、，如万有引力场、库仑力场、分子力场。库仑力场、分子力场。 rrfF 保守有心力保守有心力 rrfF 第六章万有引力第六章万有引力万有引力3二、有心力场质点运动的一般特征二、有心力场质点运动的一般特征在有心力场中，质点的运动方程为在有心力场中，质点的运动方程为其特征：其特征： 运动必定在一个平面上运动必定在一个平面上 当质点的初速度给定后，质点只能在初速度与初始矢当质点的初速度给定后，质点只能在初速度与初始矢径所构成的平面内运动径所构成的平面内运动. .往往用往往用平面极坐标平面极坐标描述运动描述运动. .取力取力心为原点，运动方程为心为原点，运动方程为 rrfrm 2(1)20(2) rm r

3、rf rmrr 方向方向方向方向第六章万有引力第六章万有引力万有引力4有心力对原点的力矩为零，故质点对原点的有心力对原点的力矩为零，故质点对原点的角动量守恒角动量守恒. . 两个守恒量两个守恒量对（对（2 2）式两边乘）式两边乘r，再对时间积分得，再对时间积分得 2220mrrrmrrr 有心力为保守力，质点的有心力为保守力，质点的机械能守恒机械能守恒 221122krEVmvmvV rE const 第六章万有引力第六章万有引力 20dmrdt 2mrL const 即角动量守恒即角动量守恒 22212m rrV rE const 万有引力5 有效势能与轨道特征有效势能与轨道特征因因 是运动

4、常量，故机械能守恒定律可写为是运动常量，故机械能守恒定律可写为 2mrL 222122LEmrV rmr 设有两个质量分别为设有两个质量分别为m、M 的质点，的质点，则引力势能为则引力势能为 rmMGrV 222mrLrGMmrVeff 有效势能有效势能222mrLrGMm 第六章万有引力第六章万有引力则有则有2221(3)22LGMmmrEmrr 212effmrVrconst 万有引力6u利用势能曲线对引力场轨道特征作定性讨论利用势能曲线对引力场轨道特征作定性讨论第六章万有引力第六章万有引力 质点总能量质点总能量E 的大小决定了质点在有心力场中的运动范的大小决定了质点在有心力场中的运动范围

5、，即质点可作不同类型的轨道运动围，即质点可作不同类型的轨道运动. .222mrLrGMm Er拱点：质点的总能量为拱点：质点的总能量为E的水平线的水平线 与有效势能曲线的交点与有效势能曲线的交点拱点的性质：拱点的性质： 在拱点处，在拱点处，r 取极值，径向速度为取极值，径向速度为零，即零，即0rvr代入（代入（3）式可得）式可得220(4)2MmLrGrEmE万有引力71.1.若若E= =E1 0，E1r1E=E1r1r2MOErVeffmMGr 222Lmr可证明此轨道为一双曲线；可证明此轨道为一双曲线；1rr 第六章万有引力第六章万有引力221)222MmMmLrG(GEEmE (r, )

6、 ，由方程（，由方程（4）可得）可得万有引力8第六章万有引力第六章万有引力2.2.若若E= =E2=0，E= =E2r2MOErVeffmMGr 222LmrEr2可证明此轨道为一抛物线；可证明此轨道为一抛物线；(r, ) 2rr 2222LrGm M ，由方程（，由方程（4）可得）可得万有引力9第六章万有引力第六章万有引力3.3.若若E= =E3 0，此轨道为一双曲线；，此轨道为一双曲线；E1r1E=E1r12.2.若若E= =E2=0，此轨道为一抛物线；，此轨道为一抛物线；Er2E= =E2r23.3.若若E= =E30，此轨道为一椭圆，力心为椭圆的一个焦点；，此轨道为一椭圆，力心为椭圆的

7、一个焦点；4.4.若若E= =E4=Veff-min，此轨道为一圆，此轨道为一圆. .E3r3minr3maxr3minr3maxE= =E3ME= =E4r0E4r0OErVeff万有引力12 有心力场中质点运动的定量处理有心力场中质点运动的定量处理第六章万有引力第六章万有引力 ErVmrrmhmr)(21212222 由角动量守恒和机械能守恒定律可得由角动量守恒和机械能守恒定律可得解以上方程组解以上方程组 cos10 rr 为待定常数为待定常数(与与E和和V(r)有关有关)GMhr20 其中其中i. = 0，圆方程，半径，圆方程，半径 r = r0ii. 0 1，双曲线方程，焦点，双曲线方

8、程，焦点:(0,0)，开口向左，开口向左万有引力13( (二二) )开普勒三定律开普勒三定律 人们对金、木、水、火、土五颗行星的运动有过长期的观人们对金、木、水、火、土五颗行星的运动有过长期的观察，特别是丹麦天文学家第谷（察，特别是丹麦天文学家第谷（Tyeho Brahe ,1546-1601Tyeho Brahe ,1546-1601）进）进行了连续行了连续2020年的仔细观测和记录，他的学生开普勒（年的仔细观测和记录，他的学生开普勒（Kepler Kepler Johamnes,1571-1630Johamnes,1571-1630）则花了大约）则花了大约2020年的时间分析这些数据，年的

9、时间分析这些数据，总结出三条行星运动规律。总结出三条行星运动规律。一、开普勒行星运动定律一、开普勒行星运动定律( (1)1)轨道定律：行星沿椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一轨道定律：行星沿椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一 个焦点上；个焦点上； (2)(2)面积定律：对任一行星，它的矢径在相等的时间内扫过面积定律：对任一行星，它的矢径在相等的时间内扫过 的面积相等；的面积相等；(3)(3)周期定律：行星绕太阳运动轨道半长轴周期定律：行星绕太阳运动轨道半长轴 a 的立方正比的立方正比 于公转周期于公转周期 T 的平方的平方, ,即即23aT 第六章万有引力第六章万有引力万有引力14 利用角动量守恒定律

10、证明开普勒面积定律利用角动量守恒定律证明开普勒面积定律用用 表示从表示从O到速度矢量到速度矢量v的垂直的垂直距离，则有距离，则有 rSsrsr 2sin 如图，行星对太阳的角动量大小为如图，行星对太阳的角动量大小为 sinrmvprL sinlim0tsrmLt其中其中 是是 时间内行星与太阳间的联线所扫过的面积，故时间内行星与太阳间的联线所扫过的面积，故dtdSmtSmLt22lim0 S t LOrmv 掠面速度掠面速度第六章万有引力第六章万有引力万有引力15 由于万有引力为有心力，它对力心的力矩总是等于零，由于万有引力为有心力，它对力心的力矩总是等于零，故角动量守恒，亦即故角动量守恒，亦

11、即constmLdtdS 2 这就证明了掠面速度不变，也就是开普勒笫二定律这就证明了掠面速度不变，也就是开普勒笫二定律. .实实际上，此定律与角动量守恒定律等价际上，此定律与角动量守恒定律等价. .如图，由解析几何知，椭圆方程为如图，由解析几何知，椭圆方程为 太阳在焦点位置太阳在焦点位置122byax两焦点在长轴上位置坐标为两焦点在长轴上位置坐标为22bacc1r2rO1v2vca第六章万有引力第六章万有引力万有引力16 设行星远日点和近日点的距离分别为设行星远日点和近日点的距离分别为 ，对应的速，对应的速度为度为 . .由机械能守恒，有由机械能守恒，有21rr、21vv 、222121212

12、1rMmGmvrMmGmv 122122112rrGMvv由角动量守恒，有由角动量守恒，有2211mvrmvr 2112rrvv 第六章万有引力第六章万有引力(1)(1)(2)(2)万有引力17其中考虑到其中考虑到122rra cabaar 222 这表明太阳位置坐标为（这表明太阳位置坐标为（- -c），这正是几何上的椭圆焦点），这正是几何上的椭圆焦点位置位置. .这一结果与天文观测资料的一致，证明了牛顿力学理论这一结果与天文观测资料的一致，证明了牛顿力学理论的正确性的正确性, ,最为重要的是一举同时证明了引力二次方反比律和最为重要的是一举同时证明了引力二次方反比律和运动定律两者的正确性运动定

13、律两者的正确性. .解（解（1 1）、（）、（2 2）和（）和（3 3）得）得2021barr 22022rMmGvm 根据向心力公式和长轴端点弧元的曲率半径，有根据向心力公式和长轴端点弧元的曲率半径，有第六章万有引力第六章万有引力最后求得最后求得(3) (3) 20ba （其中：（其中： ）万有引力18( (三三) )万有引力定律万有引力定律一、由开普勒定律推导万有引力定律一、由开普勒定律推导万有引力定律 若若mms，可把太阳看作静止惯性系，行星轨道看作圆，可把太阳看作静止惯性系，行星轨道看作圆形，而行星应作匀速圆周运动。由开普勒轨道定律得形，而行星应作匀速圆周运动。由开普勒轨道定律得32T

14、a 而而 , ,故故Trv 2rrrv12321ra 2rmmaF取比例系数为取比例系数为k, ,则得则得2rmkF 2var 利利用用（注：下面推导中（注：下面推导中a用用r代替）代替）第六章万有引力第六章万有引力（注：这里（注：这里a为向心加速度为向心加速度）万有引力19 牛顿认为这种引力是万有的、普适的、统一的，即所有物牛顿认为这种引力是万有的、普适的、统一的，即所有物体之间都存在这种引力，称之为万有引力。体之间都存在这种引力，称之为万有引力。对地球和月亮之间的吸引力应有对地球和月亮之间的吸引力应有2mFkr 月月地地月月地地月月2mFkr 地地月月月月地地月月根据牛顿第三定律，由以上两

15、式得根据牛顿第三定律，由以上两式得kkmm 月月地地月月地地其比值应是一个与地球和月亮都无关的普适常数，设为其比值应是一个与地球和月亮都无关的普适常数，设为G, ,则则kGmkGm 地地地地月月月月第六章万有引力第六章万有引力G 万有引力20于是，地球、月亮之间的引力为于是，地球、月亮之间的引力为2m mFGr 月月地地普适的万有引力定律则可描述为普适的万有引力定律则可描述为221rmmGF G称为万有引力常数称为万有引力常数. .因为引力太弱，又不能屏蔽对它的因为引力太弱，又不能屏蔽对它的干扰，实验很难做，故万有引力常数是目前测量最不精干扰，实验很难做，故万有引力常数是目前测量最不精确的一个

16、基本物理常量。确的一个基本物理常量。 23122TLMmrfG其量纲为其量纲为2311/108567259. 6skgmG第六章万有引力第六章万有引力万有引力21卡文迪许扭秤实验（卡文迪许扭秤实验（1789年）年）亨利亨利卡文迪许卡文迪许 (Henry Cavendish,17311810)英国化学家、物理学家。英国化学家、物理学家。1760年卡文迪许被选为伦敦年卡文迪许被选为伦敦皇家学会成员，皇家学会成员，1803年又被年又被选为法国研究院的选为法国研究院的18名外籍名外籍会员之一会员之一 。第六章万有引力第六章万有引力万有引力22第六章万有引力第六章万有引力例例7.1 试由地球向火星发射人

17、造天体的发射速度。试由地球向火星发射人造天体的发射速度。ESM解：采用双切轨道方案（霍曼轨道方案）解：采用双切轨道方案（霍曼轨道方案）设地球轨道和火星轨道半径分别为设地球轨道和火星轨道半径分别为re,rm, 则飞船运行的双则飞船运行的双切椭圆轨道半长轴切椭圆轨道半长轴a是是re,rm, 的平均值，即的平均值，即双切轨道双切轨道1()2emarr 万有引力23第六章万有引力第六章万有引力由由2CaE 2CEa emCrr 其中其中 C=Gmsm，ms，m分别为太阳和飞船质量；分别为太阳和飞船质量；E为飞船摆脱地球的引力束缚后的总能量；为飞船摆脱地球的引力束缚后的总能量；此时，飞船与太阳的距离仍为

18、此时，飞船与太阳的距离仍为re，则此时飞船的动能为，则此时飞船的动能为212kEmvEVemeCCrrr 由此解得飞船此时的速度由此解得飞船此时的速度112()seemvGmrrr （注：此速度（注：此速度相对于太阳）相对于太阳）万有引力24相对于地球，飞船摆脱地球引力后的速度为相对于地球，飞船摆脱地球引力后的速度为euvv112()seeemGmvrrr 其中其中ve e为地球公转速度，为地球公转速度，ve=29.6km/s设飞船相对于地球的发射速度为设飞船相对于地球的发射速度为v，由机械能守恒定律可得，由机械能守恒定律可得221122eeGm mmvmuR 于是可得于是可得222eeGmvuR 222uv其中其中v2为第二宇宙速度，为第二宇宙速度，v2=11.2km/s第六章万有引力第六章万有引力万有引力25第六章万有引力第六章万有引力将有关数据代入，可得将有关数据代入，可得112()32 7seemvGm. km / srrr 2 9euvv. km / s 以及以及最后可得由