结构动力学ch2-3

1、1第二章 单自由度体系的振动22.7 对一般动力荷载的响应 v1、瞬时冲量设体系在t=0时处于静止状态，然后施加瞬时冲量S。ttPS(在时间 内作用荷载P，其冲量 。mS0v体系将产生初速度 ，但初位移仍为零。)0(sin)(ttmSty 在t=0时作用瞬时冲量S所引起的动力响应为：32.7 对一般动力荷载的响应 )()(sin)(ttmStytt如果在 时作用有瞬时冲量S，则在 以后任一时刻的动力响应为：)0(sin)(ttmSty4 )(sin)(ttmdpdy)()(sin)(ttmSty2.7 对一般动力荷载的响应 v2、无阻尼Duhamel积分)(tpt)(pddp)( 任意的一般性

2、荷载 ，在时刻 的荷载强度为 , 在一短时间间隔 范围内作用这荷载，则会在结构上产生一个短持续时间的冲量 ， 冲量导致的响应：5)(sin)(ttmdpdy)(sin)(ttmdpdy2.7 对一般动力荷载的响应 线性弹性体，总响应为荷载作用时间的全部微分响应的叠加，即对下式进行积分。整个荷载时程可看作由一系列瞬时冲量组成，每一个脉冲将产生一个如式所示的微分响应。dytd)(ty 表示在 的整个响应时程范围内微分冲量的微分响应， 不是时间间隔 内 的变化。6 作用：计算任意形式的动力荷载作用下无阻尼单自由度体系的动力响应。01( )( )sin()ty tptdm无阻尼体系的杜哈梅Duhame

3、l积分地震荷载风 荷载tdtpmtvtyty000)(sin)(1sincos)(自由振动 在荷载变化很不规则时，计算可能需要利用数值积分来进行。如果初始位移和初始速度不为零，则总位移为:2.7 对一般动力荷载的响应 7tdthpty0)()()(式中：tmthsin1卷积积分（convolution integral）单位脉冲响应t意义：表示在 时，在一个单位大小的脉冲作用下，结构体系的动力响应。2.7 对一般动力荷载的响应 写成：8v3、有阻尼杜哈梅积分()( )sin()tddPddyetmt有阻尼体系在一般动力荷载下的响应的杜哈梅积分，当 时，微分冲量引起的动力响应为:2.7 对一般动

4、力荷载的响应 在整个荷载作用时间内对这些微分响应求和，则有阻尼体系的振动响应为:tdtddtepmty0)()(sin)(1)()(sin1)()(temthdtdtdthpty0)()()(有阻尼体系对单位脉冲的动力响应为:9 1) 荷载函数是可积的，则结构的动力响应可利用下式进行计算。01( )( )sin()ty tptdmtdtddtepmty0)()(sin)(1)(2）对于许多实际情况，荷载由试验数据提供，此时的响应计算就必须借助于数值分析方法。2.7 对一般动力荷载的响应 v4、杜哈梅积分的数值计算10无阻尼体系的动力响应积分表达式 ： ttBttAtycos)(sin)()(t

5、dpmtA0cos)(1)(dpmtBtsin)(1)(001( )( )sin()ty tptdmsincoscossin)sin(ttt杜哈梅积分的数值计算，实质上就是对上式进行数值积分。其中：2.7 对一般动力荷载的响应 11三种基本的数值计算近似方法，其求和表达式为：cos)()(pattamdamtA0)()(1)(1210)(Naaaata讨论积分项)(tAtdpmtA0cos)(1)(2.7 对一般动力荷载的响应 考虑等时间增量，令) 1(1）简单求和法 ：NNaaaaata1210222)(NNaaaaata2424)(1210)2(2）梯形法则 ：)3(3）辛普森（Simps

6、on）法则 ：12)()()(tatata1）简单求和法：为了获得整个响应历程特征，把方程写成增量形式：2.7 对一般动力荷载的响应 )()()()(tatatata2）梯形法则：,21tt2目的：计算一系列相继时刻 的响应，其中两相邻时刻的间隔为 （用辛普森法则时 ）。)()2()(tatttata3）辛普森法则：)(tB积分项 可用相同的方法进行计算。)(tat其中， 表示在时刻 所得到的和。ttBttAtycos)(sin)()(无阻尼体系动力响应的数值解：132.8 阻尼理论与阻尼比的量测 v1、关于粘滞阻尼理论的讨论)()()()(tptkytyctym ( )( )( )0my t

7、cy tky t单自由度体系，按照粘滞阻尼理论建立了体系的自由振动和强迫振动方程：( )sin()y tAttPtpsin)(0在简谐荷载 作用下，设结构的稳态响应为：22( )cos()1sin ()1( /)y tAtAtAy A相应的速度为：14时间t增加dt时相应的位移增量为dy，故总功为：2022200)(coscAdttcAdtyycdtdtdyfWTTTd122AycAfd 等于椭圆所包围的面积。df阻尼力 和位移y都随时间变化，在一周期内做的总功可以看成是在各个时间微量dt上所做功的总和。2.8 阻尼理论与阻尼比的量测 22( )cos()1sin ()1( /)y tAtAt

8、Ay A2)/(1AycAycfd粘滞阻尼的阻尼力为：因此：表示阻尼力 和位移y之间呈椭圆型关系。df15 粘滞阻尼理论的耗能和外加荷载的频率成正比，振动越快，每周耗散的能量越大。2cAUd2.8 阻尼理论与阻尼比的量测 dU用 表示粘滞阻尼振动一个周期时的能量耗散，通常称为耗能，即实验结果表明：对于许多结构振动一个周期的耗能与频率无关，即耗能与振动的快慢无关。 粘滞阻尼理论的耗能就是一个椭圆面积，是个环，称为滞回环。 利用粘滞阻尼理论分析结构振动的结果，并不能与实验结果很好地吻合，尤其是在能量耗散机理上表现出与实验结论的不一致性。但是，粘滞阻尼理论使体系的振动微分方程保持为线性，计算简便，因

9、此仍然得到广泛应用。16v2、阻尼比的量测2.8 阻尼理论与阻尼比的量测 多数情况下，结构的质量和刚度可以较容易地用物理方法进行分析与计算，通常不可能用计算的方法来确定阻尼系数。许多结构体系的阻尼必须直接用试验的方法来量测。用实测结果计算结构阻尼的几个主要方法。自由振动衰减法共振放大法半功率谱法17a）自由振动衰减法2.8 阻尼理论与阻尼比的量测 2/2nndnn )/ln(nkknyy)ln(21nkkdyynnkyky求解：如果 是在任一时刻的振动幅值，而 为 n周后的幅值，则阻尼比：方法：用任意手段使一个体系产生自由振动后，阻尼比可用相隔n周后量得的两个位移幅值的比来确定。自由振动衰减试

10、验：最简单且最常用的方法18为对数衰减率。)/ln(nkknyy11ln()ln()22dkkk nk nyynyny 2.8 阻尼理论与阻尼比的量测 自由振动方法的主要优点：所需仪器设备少，可用任何简便的方法产生振动。一般阻尼比都小于0.2，不考虑阻尼引起的频率变化。d和 分别为无阻尼和有阻尼时的固有频率。2/2nndnn 19典型的频率响应曲线tPsin0b)共振放大法 在结构上作用包括共振频率在内的一系列较密分布频率的简谐荷载 ，然后分析振幅与荷载频率之间的关系曲线，即结构频率响应曲线。 2.8 阻尼理论与阻尼比的量测 任意给定频率的动力放大系数是该频率的响应幅值与零频率(静止状态)响应

11、幅值的比值。阻尼比与共振时的动力放大系数是紧密相关的。201/021yy2.8 阻尼理论与阻尼比的量测 0y1/y当静响应和共振响应幅值分别用 和 表示时，阻尼比为：maxy在实际加载时，施加准确的共振频率比较困难，而确定最大响应幅值 则比较方便。 忽略了阻尼对频率的影响，对于一般的结构而言，引起的误差很小。max0max02121yyyyd阻尼比：优缺点：所需仪器也很简单，但是，大多数加载体系不能在零频率时工作，因此在产生静位移时可能会出现困难。 21 半功率法：利用阻尼比对结构动力响应曲线有很大影响，根据曲线的变化特性来分析结构阻尼比。2.8 阻尼理论与阻尼比的量测 c)半功率谱法1/21

12、y方法：阻尼比由响应减小到 时的频率来确定，在此频率下输入为共振功率的一半。0/10/11212yyyy 22221/222221/20(1/)(2/) (1/)(2/) stYyYy 2/1222200)2()1 (221yy22将方程两边平方，求得频率比为 ：2/1222200)2()1 (221yy2221221)/(21122112)()(212.8 阻尼理论与阻尼比的量测 得两个半功率频率为 ：23 阻尼比等于这两个半功率频率差值的一半。12)()(212.8 阻尼理论与阻尼比的量测 2/1在共振响应幅值的 处作一条切割响应曲线的水平线，此线与曲线相交的两个频率间的差值，即为阻尼比的

13、两倍。优点在于可以避免量测结构静响应，但需要得到较高精度的共振响应曲线。24 等效粘滞阻尼比 实际结构并非粘滞阻尼体系。利用粘滞阻尼体系简化的计算结论2.8 阻尼理论与阻尼比的量测 试验结果表明，结构在振动时，阻尼因素所起影响的大小主要取决于耗能的数值，与一个周期内形成能量损耗的具体过程无显著关系。建立等效粘滞阻尼比的计算理论。假设体系为一个等效粘滞阻尼（equivalent viscous damping）体系。 假设等效粘滞阻尼体系一个振动周期内所损耗的能量正好与实际结构在一个振动周期内所损耗的能量相等，且两者具有相等的位移振幅值。25 2AcUUeqed2.8 阻尼理论与阻尼比的量测 等

14、效粘滞阻尼体系中的阻尼常数和阻尼比分别为等效阻尼常数 和等效阻尼比 。eqCeqdUeU实线表示实际结构的滞回曲线（hysteretic curve），包围面积为 ：虚线所表示的椭圆为等效的滞回曲线，包围的面积为 ；两者面积相等，并有相同的位移振幅A。2AUcdeq222kAUmcdeqeq 在简谐荷载作用下发生共振时，惯性力和弹性力等值反向，根据平衡条件，阻尼力应该与荷载值等值反向。26 2AUcdeq222kAUmcdeqeq即可得到等效阻尼常数和等效阻尼比。2.8 阻尼理论与阻尼比的量测 dU方法：测出荷载值、量测相应的位移值，作出实际结构的滞回曲线，此曲线的面积即为 ，于是利用式：27 在结构实验中