信号与线性系统管致中第四版第3章周期信号的频谱

1、12 周期信号的频谱周期信号的频谱l频谱图l振幅频谱振幅频谱l周期信号频谱的特点2频谱频谱l周期信号为 f (t) ，周期为t，其傅里叶级数为nnnnnnjnnnfjnnabbaaeajbaeffnnarctan21)(21|221000)cos(2)(nnnaatnaatf nnnabanf2121)(221相频特性相频特性 nnnabtg1 幅频特性和相频特性幅频特性幅频特性ntjnneftf )(ttttjnndtetftf)(13l频谱图频谱图l振幅频谱图振幅频谱图：l横坐标横坐标频率频率(角频率角频率) ；l纵坐标纵坐标各谐波各谐波振幅振幅l直观直观地表示出信号所含各谐波分量振幅的相

2、对地表示出信号所含各谐波分量振幅的相对大小。大小。1 13 nc0c1c3c4l频谱图频谱图l相位频谱图相位频谱图：l横坐标横坐标频率频率(角频率角频率) ；l纵坐标纵坐标各谐波各谐波相位相位l 只在只在 n 处有意义，即不连续，故称为处有意义，即不连续，故称为离散频谱离散频谱。5例例 25. 0115. 0236. 25012121100 aaa先将含有相同频率的正弦项与余弦项合并为一个余弦先将含有相同频率的正弦项与余弦项合并为一个余弦项，且所有项都表示为带项，且所有项都表示为带正振幅正振幅的余弦项。的余弦项。三角函数形式的频谱图三角函数形式的频谱图请画出其幅度谱和相位谱。请画出其幅度谱和相

3、位谱。，已已知知 42coscos2sin1)(111ttttf 42cos)15. 0cos(51)(11tttf 三角函数形式的傅里叶三角函数形式的傅里叶级数的谱系数级数的谱系数 1 1c0c2c12 o24. 211nc12 25. 015. 0 o1 n 注意：注意： 振幅频谱必然位于横轴的上方；振幅频谱必然位于横轴的上方； 相位频谱中的角度的绝对值不能大于相位频谱中的角度的绝对值不能大于 。谱线谱线包络线包络线6化为指数形式化为指数形式 tnnttttttttttnftf11111111111j2212j4j2j4jjj4j24j2jjjje )(ee21ee21ej211ej211

4、1ee21eeeej211)(请画出其幅度谱和相位谱。请画出其幅度谱和相位谱。，已已知知 42coscos2sin1)(111ttttf 谱线谱线1)0(0 ff12. 1)(11 ff12. 1)(11 ff5 . 0)2(12 ff5 . 0)2(12 ff00 15. 01 15. 01 25. 02 25. 02 7谱线谱线1)0(0 ff12. 1)(11 ff12. 1)(11 ff5 . 0)2(12 ff5 . 0)2(12 ff00 15. 01 15. 01 25. 02 25. 02 指数形式的频谱图指数形式的频谱图12 5 . 0o1 1 12. 112 12. 15

5、. 01 1 nf12 25. 0 15. 0 o1 1 15. 012 25. 0 n 8三角形式与指数形式的频谱图对比三角形式与指数形式的频谱图对比1 1c0c2c12 o24. 211nc12 5 . 0o1 1 12. 112 12. 15 . 01 1 nf12 25. 0 15. 0 o1 1 15. 012 25. 0 n 三角函数形式的频谱图三角函数形式的频谱图指数形式的频谱图指数形式的频谱图12 25. 0 15. 0 o1 n 一个一个周期信号周期信号与它的与它的频谱频谱（幅度频谱和相位频谱）（幅度频谱和相位频谱）之间存在之间存在一一对应一一对应的关系。的关系。 指数型傅里

6、叶谱又叫指数型傅里叶谱又叫（在正负频率处均存（在正负频率处均存在），三角型傅里叶谱又叫在），三角型傅里叶谱又叫。 振幅谱振幅谱：直流分量一样，其它情况双边谱振幅：直流分量一样，其它情况双边谱振幅是单边谱振幅的一半。是单边谱振幅的一半。 相位谱相位谱两者在两者在n0时相同。时相同。 双边振幅谱双边振幅谱偶对称偶对称，相位谱，相位谱奇对称奇对称。9解：解：的振幅谱和相位谱的振幅谱和相位谱)1507cos()303sin(22sin42cos32)(tttttf画出周期信号画出周期信号)307cos()603cos(2)13.532cos(52)()307cos()1801507cos()1507c

7、os()603cos()90303cos()303sin()13.532cos(52sin42cos3ttttftttttttttna52 1 2 3 4 5 6 7 10 1 2 3 4 5 6 7 3013.5360n10，试画出其单边谱和双边谱。，试画出其单边谱和双边谱。已知已知tttf3cossin1)(-+=)3cos()2cos(1)(tttf解：单边谱单边谱 0 1 2 3 2n单边相位谱单边相位谱na 0 1 2 31单边幅度谱单边幅度谱11tjjtjjjtjjtjtjtjjtjjtjeeeeeeeeeeeeeetf3322)3()3(2221212121121211)( 0

8、1 2 31-1-3nf 2 32nf-3 -2，试画出其单边谱和双边谱。，试画出其单边谱和双边谱。已知已知tttf3cossin1)(-+=12 0 1 2 31-1-3nf 2 32nf-3 -2 0 1 2 3 2n单边相位谱单边相位谱na 0 1 2 31单边幅度谱单边幅度谱13如图所示为单位冲激序列如图所示为单位冲激序列ktkttt)()(求其傅里叶级数与频谱。求其傅里叶级数与频谱。 0 t 2t t)(tt(1)002t1nftdtettdtettftttjntttjntn1)(1)(1222200解：teteftntjntjnnnt21)(00014已知某周期信号三角型傅里叶级数

9、的傅里叶谱图已知某周期信号三角型傅里叶级数的傅里叶谱图如图所示，试求出该信号的时域表达式，并画出如图所示，试求出该信号的时域表达式，并画出信号的指数型傅氏级数的傅里叶谱图。信号的指数型傅氏级数的傅里叶谱图。20 3 6 9 12n)49cos(4)26cos(8)43cos(1216)(ttttf解：0 3 6 9 12na1612 8 4150 3 6 9 12nf1680 3 6 9 12nc20 3 6 9 12n1620 3 6 9 12nf16, 2, 1, 0)2(sinsin212222222nnsatetentejnetedteetfnnntjntjnn )(tft2t20t1

10、周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱fnte324o17周期周期t不变，不变，脉冲宽度脉冲宽度 变化变化f(t)to2-2t(a)fne2 o 5 4 2 t f(t)tot(b)eo 104 fnee 2 第一个过零点：第一个过零点：0)(2 sa 2 2谱线间隔谱线间隔t2第一个过零点增加一倍第一个过零点增加一倍谱线间隔不变谱线间隔不变t2脉冲宽度缩小一倍脉冲宽度缩小一倍幅值减小一倍幅值减小一倍18周期周期t不变，脉冲宽度不变，脉冲宽度 变化变化nf20414t nf2081nf161208t 16t 19结结 论论l 由大变小，由大变小，fn 的第一个过零点频率增大，的第一个过零点频率增

11、大，即即 ， 称为信号的带宽，称为信号的带宽， 确定了带宽。确定了带宽。l 由大变小，频谱的频带变宽，频谱的幅度变小。由大变小，频谱的频带变宽，频谱的幅度变小。l由于由于 t 不变，谱线间隔不变，即不变，谱线间隔不变，即 不变。不变。t21f220脉冲宽度脉冲宽度 不变不变, 周期周期t变化变化f(t)to 2t(a)fneo 52 t f(t)tot(b)eo 10fnee 2- 2- 22t2 2 t 2 4 4 第一个过零点第一个过零点谱线间隔谱线间隔22t)0(0satf 谱线间隔减小一倍谱线间隔减小一倍第一个过零点不变第一个过零点不变幅值减小一倍幅值减小一倍 周期周期t扩展一倍扩展一

12、倍21nf16120脉冲宽度脉冲宽度 不变不变, 周期周期t变化变化 4tnf8120 8t 16tnf412022结结 论论l 不变，fn 的第一个过零点频率不变，即 ， 带宽不变。lt 由小变大，谐波频率成分丰富，并且频谱的幅度变小。l t 时，谱线间隔 0 ，这时： 周期信号 非周期信号；离散频谱 连续频谱1f223周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点l唯一性：l一个周期信号与它的频谱（幅度频谱和相位频谱）之间一个周期信号与它的频谱（幅度频谱和相位频谱）之间存在一一对应的关系。存在一一对应的关系。 l离散性：l频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量，频谱由不连续的线条组成，每一条

13、线代表一个正弦量，故称为离散频谱。故称为离散频谱。l谐波性：l频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。l收敛性：l各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小。渐减小。l一般将最大的频谱幅度形象化称为一般将最大的频谱幅度形象化称为主峰高度。主峰高度。24周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点l频带宽度l理论上周期信号的谐波分量无限多。实际只考虑频率理论上周期信号的谐波分量无限多。实际只考虑频率较低的一部分分量。较低的一部分分量。l周期信号的频带宽度周期信号的频带宽度从零频率开始到需要

14、考虑的从零频率开始到需要考虑的最高分量的频率间的这一频率范围，简称最高分量的频率间的这一频率范围，简称带宽带宽。l包络线为抽样函数包络线为抽样函数的频谱的频带宽度的频谱的频带宽度从从零频率零频率开始到频谱包开始到频谱包络线络线第一次过零点的频率第一次过零点的频率(2/)之间的频率范围。之间的频率范围。l一般信号一般信号的频谱的的频带宽度的频谱的的频带宽度从从零频率零频率开始到频谱振幅降为开始到频谱振幅降为包络线最大值（主峰高度）的包络线最大值（主峰高度）的1/10的频率之间的频率范围。的频率之间的频率范围。l一切脉冲信号的脉宽一切脉冲信号的脉宽（脉冲宽度脉冲宽度 ）与频宽成反比；与频宽成反比；

15、时间函数中变化较快的信号必定具有较宽的频带。时间函数中变化较快的信号必定具有较宽的频带。l减小，频宽加大，当减小，频宽加大，当0时，时，频宽频宽也也无限趋大无限趋大，此时，此时，信信号能量号能量就不再集中在低频分量中，而就不再集中在低频分量中，而均匀分布于零到无限均匀分布于零到无限大的全频段大的全频段。)(1hzbf25周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点l离散频谱与连续频谱l时域时域中中连续的周期函数连续的周期函数，它的频谱在，它的频谱在频域频域中是中是离散离散的非周期函数。的非周期函数。l当周期增大，频谱也相应地渐趋密集，频谱的幅当周期增大，频谱也相应地渐趋密集，频谱的幅度也相应的渐趋减小

16、。当度也相应的渐趋减小。当 t （周期函数变成非（周期函数变成非周期函数）时，频谱线无限密集，频谱幅度无限趋周期函数）时，频谱线无限密集，频谱幅度无限趋小。这时，小。这时，离散频谱就变成连续频谱离散频谱就变成连续频谱。即，。即，时域时域中中连续的非周期函数连续的非周期函数，它的频谱在，它的频谱在频域频域中是中是连续的非连续的非周期函数。周期函数。263 非周期信号的频谱与傅里叶变换非周期信号的频谱与傅里叶变换l非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换l非周期信号的频谱非周期信号的频谱l周期信号与非周期信号的频谱比较周期信号与非周期信号的频谱比较27非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变

17、换非周期信号：非周期信号：t趋于无限大，谱线间隔趋于无穷小量趋于无限大，谱线间隔趋于无穷小量d，离散频离散频率率n变成连续频率变成连续频率。在这种极限情况下，在这种极限情况下，fn趋于无穷小量，但趋于无穷小量，但fnt 可望趋于有限值，且为一个连续函数，通常记为可望趋于有限值，且为一个连续函数，通常记为f(j)。单位频带上的频谱值单位频带上的频谱值（复振幅）。（复振幅）。可理解成各频率可理解成各频率分量沿频率轴的分布分量沿频率轴的分布，具有，具有密度密度的量纲和的量纲和概念，故称为概念，故称为频率密频率密度函数度函数。简称。简称频谱密频谱密度度，或在不发生混淆，或在不发生混淆时简称时简称频谱频

18、谱。但与周。但与周期信号的频谱概念上期信号的频谱概念上的不一样。的不一样。28非周期信号的傅里叶变换对非周期信号的傅里叶变换对dtetfjftj )()( dejftftj)(21)()()( jftf1f一般来说，傅里叶变换存在的一般来说，傅里叶变换存在的充分条件充分条件为为 f(t) 应满足绝应满足绝对可积，对可积， 即要求即要求 dttf)(29与周期信号的傅里叶级数类似，与周期信号的傅里叶级数类似， 一般为复函数一般为复函数)( jf)()()( jejfjf )( jf )(称为称为幅频幅频特性；特性；称为称为相频相频特性。特性。频率特性频率特性30傅里叶变换的三角形式傅里叶变换的三

19、角形式0cos)(sin)(21cos)(21)(21)(21)( dtjfdtjfjdtjfdejfdejftftjtj 求和求和 振幅振幅 正弦信号正弦信号无穷多个振幅为无穷多个振幅为 无穷小的连续余弦信号之和，无穷小的连续余弦信号之和，频域范围：频域范围： djf)(10无穷多个振幅为无穷多个振幅为 无穷小的连续余弦信号之和，无穷小的连续余弦信号之和，频域范围：频域范围： djf)(211( )22jtjtfjf tfjedde31解：据傅里叶变换的定义有解：据傅里叶变换的定义有)2( saa222222()( )sin2()2j tj tj tjjf jf t edta ea edtj

20、aeeaj )(tfat2232)(tfat22()()2f ja sasa2fja幅度频谱：幅度频谱：相位频谱：相位频谱： , 2 , 1 , 022212212240nnnnn33ftt( )122tt周期信号周期信号 与频谱与频谱 一一对应一一对应fnftftn( ) ftt( )nf1/424240)2(sat例如例如时域时域：连续、周期：连续、周期频域频域：离散、非周期：离散、非周期34非周期信号非周期信号 与频谱与频谱f f(j(j ) )一一对应一一对应f t ( )f ttff jtn( )lim()ft( ) 122t1/4244)2(satf j()时域时域：连续、非周期：

21、连续、非周期频域频域：连续、非周期：连续、非周期例如例如351/4244)2(satf j() 周期周期t改变时，频谱的振幅和谱线间隔改变，但包络形状不改变时，频谱的振幅和谱线间隔改变，但包络形状不变，即各频率分量振幅的比例关系不变。变，即各频率分量振幅的比例关系不变。周期信号周期信号非周期信号非周期信号nf1/424240)2(sat频谱连续；频谱连续；频率分量的复振幅为无穷小量；频率分量的复振幅为无穷小量；信号信号能量分布能量分布在所有频率分量上在所有频率分量上，但每个频率分量所包含的能量，但每个频率分量所包含的能量为无穷小量。为无穷小量。频谱离散；频谱离散；频率分量的复振幅为有限值；频率

22、分量的复振幅为有限值；信号能量集中在一些离散的谐信号能量集中在一些离散的谐波分量中。波分量中。nftjf)( 大部分能量集中在低频段，即信号频带有限；大部分能量集中在低频段，即信号频带有限； 脉冲的频带宽度和脉冲持续时间成反比；当脉宽足够小（窄脉冲的频带宽度和脉冲持续时间成反比；当脉宽足够小（窄脉冲）时，其频谱函数为一个等于脉冲面积的常数。脉冲）时，其频谱函数为一个等于脉冲面积的常数。36傅里叶变换的解释傅里叶变换的解释基本思想基本思想tjnntjejnfdejftf )(21lim)(21)(0 tje 2)(djf dejftftj)(21)(tjejh )( 2)(djftje 线性非时

23、线性非时变系统变系统(零状态零状态) 2)(djf dejytytj)(21)()()()( jfjhjy dejhjftytj)()(21)(374 常用信号的傅里叶变换常用信号的傅里叶变换l矩形脉冲（门函数）矩形脉冲（门函数）l三角脉冲信号三角脉冲信号l单边指数信号单边指数信号l双边指数信号双边指数信号l冲激信号冲激信号l冲激偶冲激偶l特殊信号特殊信号l直流信号直流信号l符号函数符号函数l阶跃信号阶跃信号38矩形脉冲（门函数）矩形脉冲（门函数） 22jde teft22jej tej2ee.22j2j e22sin e 2sa e 2sa ef幅度频谱：幅度频谱：相位频谱：相位频谱： ,

24、2 , 1 , 022212212240 nnnnn eo tft2 2 39 tttatatf0)1()()(2 )2(tat0a()( )( )cos( )sinj tf jf t edtf ttjf ttdt是实偶函数，故由于此处)(tf)2()2(sin4cos2cos2cos)1(2cos)(22220000 saaatdttatdtatdttatdttfa22()f j频谱频谱cuuuuduucuuuuduucossinsinsincoscos40 j( )eedttf jf tettf 0 000ettetft 单边指数函数单边指数函数 jde0 j etet tfote41频谱

25、图频谱图22ef j0,0efjfj arctan 2,2,0, 0 幅度频谱：幅度频谱：相位频谱：相位频谱： fo e o 2 242otae-ateat(a 0)f (t)f(jw)woa2a( )000tttf taeaetaet0022()2tjttjttjtfjaeedtae edtaeedtaajja43求求f(t)的频谱函数。的频谱函数。of(t)t1e-at-eat(a 0)-1x(w)woa1a1-0022e eee112tj ttj tfjdtdtjjj000)( tetetftt44 ttjftde)(j冲激函数冲激函数冲激函数积分是有限值，可以用公冲激函数积分是有限值，

26、可以用公式求。而式求。而(t)不满足绝对可积条件，不满足绝对可积条件，不能用定义求。不能用定义求。 to 1 tf1 脉冲宽度无限趋小后，频带具有无脉冲宽度无限趋小后，频带具有无限宽度：限宽度：(t)中包含了所有的频率分中包含了所有的频率分量，而各频率分量的频谱密度都相量，而各频率分量的频谱密度都相等。等。(t)实际上无法实现。实际上无法实现。时域无限窄，频带无限时域无限窄，频带无限宽宽 j f1 o45冲激函数傅里叶反变换冲激函数傅里叶反变换 dtftje121)(不满足绝对可积不满足绝对可积条件，不能直接条件，不能直接用定义求用定义求借助于双边指数函数借助于双边指数函数频谱在频谱在0时的极

27、限：时的极限：0)( taetfejf0lim1)(则则220000001lim1121lim21lim21lim)(tjtjtdddtftjtjtj eeeeeeotae-ateat(a 0)f(t) t=0时无穷大，其余时刻都为时无穷大，其余时刻都为0冲激函数性质。冲激函数性质。1arctanlim11lim11lim020220 tdtttddtt冲激强度冲激强度)(21)(tdtftj e46 tetf,)(直流信号直流信号不满足绝对可积条不满足绝对可积条件，不能直接用定件，不能直接用定义求义求jfto tf1 e to tfedtejftj1)(47直流信号直流信号 sinlim2sin2limlimlimdlimjeeeeeejejetefjjtjt e2 ee2)(salim 时域无限宽，频带无限时域无限宽，频带无限窄窄 o e