n阶行列式性质与展开定理PPT课件

1、第一节第一节n 阶行列式阶行列式第1页/共64页2021-10-232 行列式行列式 （Determinant）是线性代数中的一个最是线性代数中的一个最基基本、最常用的本、最常用的工具工具，最早出现于求解线性方程组，最早出现于求解线性方程组. .它被它被广泛地应用于数学、物理、力学以及工程技术等领域广泛地应用于数学、物理、力学以及工程技术等领域 . .了解：关于行列式了解：关于行列式第2页/共64页2021-10-233设设 二元线性方程组二元线性方程组用消元法知：用消元法知：当当 时时，11 2212 210a aa a11 1122121 12222a xa xba xa xb（1）方程组

2、方程组(1)有解有解,12212211 2121121122122111221221baa ba bbaxxa aa aa aa a且且 把由四个数排成两行两列把由四个数排成两行两列, ,并定义为数并定义为数 的式子的式子 , , 叫做叫做二阶行列式二阶行列式 . .11 2212 21a aa a11122122aaDaa 数数 称为行列式的元素，元素称为行列式的元素，元素第一个下标称为行标，表明该元素位于第第一个下标称为行标，表明该元素位于第 i 行；行；第二个第二个下标称为列标，表明该元素位于第下标称为列标，表明该元素位于第 j j 列列 . .(1,2;1,2)ija ijija111

3、2112212212122aaDa aa aaa+- - 运算符运算符主对角线主对角线一、二阶与三阶行列式一、二阶与三阶行列式1、基本概念、基本概念行列式是一个行列式是一个数数第3页/共64页2021-10-23412212211 2121121122122111221221baa ba bbaxxa aa aa aa a由二阶行列式的定义，得：由二阶行列式的定义，得：1112112212212122aaDa aa aaa 称为称为方程组（方程组（1）的的系数行列式系数行列式122122baa b1121222baDba11111 21212212aba bbaDabExample 2 求解二

4、元线性方程组求解二元线性方程组1212322121xxxx由于由于323( 4)70,21D 1212( 2)141121D 23324212121D 121214212,377DDxxDD 因此，Solution:11 112 2121 122 22a xa xba xa xb（1）11211122221212121112111221222122baabbaabDDxxaaaaDDaaaa用行列式形式表示方程组的解用行列式形式表示方程组的解第4页/共64页2021-10-235类似地，定义三阶行列式类似地，定义三阶行列式111213212223313233aaaaaaaaa112233122

5、331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a+-计算（定义）规则称为对角线规则（或沙流氏规则）计算（定义）规则称为对角线规则（或沙流氏规则）. .Example 3 计算三阶行列式计算三阶行列式141253111141253111= -5+12 -2 -5 +8 +3 =11Solution:1、基本概念、基本概念第5页/共64页2021-10-236二、二、 n 阶行列式阶行列式 用递归的方法来定义用递归的方法来定义 n 阶行列式阶行列式 . 由由 n2 个元素个元素 aij ( i , j = 1,2,n ) 排成排成

6、n 行行 n 列，列，111212122212nnnnnnnaaaaaaDaaa（2）称为称为 n 阶行列式阶行列式 .数数111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a112233233212233121331321322231()()()aa aa aaa aa aaa aa a222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa行数与列数相等行数与列数相等特点？特点？1、基本概念、基本概念在在 (2) 式中，式中

7、，a11,a22,ann 所在的对角线称为行列式的主对角线所在的对角线称为行列式的主对角线 .第6页/共64页2021-10-237222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa111112121313a Ma Ma M111213212223313233aaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa111112121313a Aa Aa AM11M12M13Definition 1 在在 n 阶行列式阶行列式 D 中，将中，将 aij 所在的所在的第第 i 行第行第 j 列划去后，余下的元素按原相对位置构成的一列划去后，余

8、下的元素按原相对位置构成的一个个 n -1 阶行列式，称为阶行列式，称为 aij 的的余子式余子式，记作，记作 Mij .称称 Aij = (-1)i+jMij，称为元素，称为元素 aij 的的代数余子式代数余子式 .二、二、 n 阶行列式阶行列式第7页/共64页2021-10-238Definition 2 当当 n = 1 时，定义一阶行列时，定义一阶行列式式 , 若定义了若定义了 n-1 ( n 2) 阶行列式，则定义阶行列式，则定义 n 阶行列式为阶行列式为 1111aa111(3)nkkka A11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaa

9、aaaDn = a11A11 + a12A12 + +a1nA1n 也称也称 (3) 为为 n 阶行列式关于第一行的展开式阶行列式关于第一行的展开式 . 数数 aij 称为行列式称为行列式 Dn 的第的第 i 行第行第 j 列元素列元素 .Note : 当当 n 4 时时，对角线法则不再对角线法则不再适用适用 Dn 的计算的计算 .如如 4 阶行列式：阶行列式：按对角线法共有按对角线法共有 8 项代数和；项代数和；4! = 24 项项 . 但但按定按定义，共有义，共有n 阶行列式？阶行列式？二、二、 n 阶行列式阶行列式第8页/共64页2021-10-239Example 4 证明证明 n 阶

10、下三阶下三角行列式角行列式 (当当 i j 时，时，aij = 0）利用利用 Pro . 1 和和 Ex . 4 得得= a11a22 ann .Property 2 互换行列式的两行互换行列式的两行( (列列) )，行列式值变号，行列式值变号.1412531111111125311141 三三、行列式的性质、行列式的性质第18页/共64页2021-10-2319Property 2 的证明的证明Proof : 对行列式的阶数用数学归纳法对行列式的阶数用数学归纳法. 阶数为阶数为 2，结结论显然成立论显然成立 .假设假设 阶数为阶数为 n 1 时，结论成立时，结论成立 .当阶数为当阶数为 n

11、时时，设11121121212niiinjjjnnnnnaaaaaaDaaaaaa1112112*1212niiinjjjnnnnnbbbbbbDbbbbbb交换第交换第 i 行与第行与第 j 行为行为其中其中 bi1 = aj1，bj1 = ai1，bk1 = ak1 (k = 1,2,n; k i，j)三三、行列式的性质、行列式的性质第19页/共64页2021-10-2320= (-1)i+1 (-1)(j-1)-i Mj1对对 D* 按第一列展开，得：按第一列展开，得：*1111111111iijjnnDb Bb Bb Bb B11121121212niiinjjjnnnnnaaaaaa

12、Daaaaaa1112112*1212niiinjjjnnnnnbbbbbbDbbbbbb其中其中 Bk1 为为 D* 的元素的元素 bk1 的代数余子式的代数余子式 .对对 k = 1,2,n; k i，j，由归纳假设，由归纳假设，Bk1 = - -Ak1 ;Bi1 = (-1)i+1M*i1由归纳假设由归纳假设= - - (-1)j+1Mj1 = - - Aj1同理可得：同理可得：Bj1 = - -Ai1D* = b11B11 + + bi1Bi1 + + bj1Bj1 + + bn1Bn1 = a11(-A11)+aj1(-Aj1)+ai1(-Ai1)+an1(-An1) = - - (

13、a11A11 + +ai1Ai1 + + aj1Aj1 + + an1An1) = - - D三三、行列式的性质、行列式的性质第20页/共64页2021-10-2321 Corollary 1 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此此行列式为零行列式为零 .只需把这相同的两行（列）互换，得只需把这相同的两行（列）互换，得DD 0D Corollary 2 11220kikikninDkia Aa Aa Aki11220kjkjnknjDkja Aa Aa Akj 行列式某行（列）的元素乘另一行（列）行列式某行（列）的元素乘另一行（列）对应元素的代数余子式之和等于

14、零对应元素的代数余子式之和等于零 . 即即2324218635661111D 313233343566AAAA31323334?AAAA232421860111111110 k i0 k j三三、行列式的性质、行列式的性质第21页/共64页2021-10-2322行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即元素的代数余子式乘积之和等于零，即., 02211ikAaAaAainknikik 推论证明：证明：由前面的定理，行列式等于某一行的元素分别与它们由前面的定理，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和。

15、代数余子式的乘积之和。在在nnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaaD21212111211 中，如果令第中，如果令第 i 行的元素等于行的元素等于另外一行，譬如第另外一行，譬如第 k 行的元素行的元素第22页/共64页2021-10-2323则，则， inknikikAaAaAa2211nnnnknkkknkknaaaaaaaaaaaa21212111211第第i行行右端的行列式含有两个相同的行，值为右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 。证毕证毕行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即元素的代数余子

16、式乘积之和等于零，即推论., 02211ikAaAaAainknikik 第23页/共64页2021-10-2324综上，得公式综上，得公式 inknikikAaAaAa2211 ），（当，（当）（当（当ikikD0 , njnljljlAaAaAa2211 ），（当，（当）（当（当jljlD0 ,注：注： 直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算， 因为把一个因为把一个n阶行列式换成阶行列式换成n个（个（n1 1）阶行列）阶行列 式的计算并不减少计算量；式的计算并不减少计算量； 只是在行列式中某一行或某一列含有较多的只是在行列式中某一行或某一列含有较多的

17、 零零时，应用展开定理才有意义。时，应用展开定理才有意义。 但展开定理在理论上是重要的。但展开定理在理论上是重要的。第24页/共64页2021-10-2325Property 3 用数用数 k 乘以行列式，相当于用数乘以行列式，相当于用数 k 乘以乘以行行列式的某一行（列）的所有元素列式的某一行（列）的所有元素.111211212=niiinnnnnaaakakakaaaa即即111211212niiinnnnnaaak aaaaaa第第 i 行（列）乘以行（列）乘以 k ，记作，记作 ()iirkckCorollary 1 行列式中某一行（列）的所有元素的公行列式中某一行（列）的所有元素的公

18、因子，可以提到行列式符号外面因子，可以提到行列式符号外面 . .三三、行列式的性质、行列式的性质第25页/共64页2021-10-2326Corollary 2 如果行列式中一行（列）为零，则该如果行列式中一行（列）为零，则该行行列式为零列式为零 .( ( 取取 k = 0 )Corollary 3 行列式中如果有两行（列）元素成比例行列式中如果有两行（列）元素成比例, ,则则 此行列式为零此行列式为零 .( 由由 Pro. 3 Co. 1 及及 Pro. 2 Co.1 )Property 411121111211112111221212121212nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaa

19、aaaaaabcbcbcbbbcccaaaaaaaaa由由Th.1，按该行（列）展开可得，按该行（列）展开可得 .该行每个元素为该行每个元素为两个元素之和两个元素之和三三、行列式的性质、行列式的性质第26页/共64页2021-10-2327Theorem 1 行列式等于它的某一行（或列）的元素行列式等于它的某一行（或列）的元素与与其对应的代数余子式的乘积之和，即其对应的代数余子式的乘积之和，即11221.(4)nniiiiininikikkDa Aa Aa Aa A11221.(5)nnjjjjnjnjkjkjkDa Aa Aa Aa A或或行列式的性质小结行列式的性质小结第27页/共64页2

20、021-10-2328111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaaProperty 1行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. . 由由 Pro.1 可知，在行列式中，行与列具有相等的可知，在行列式中，行与列具有相等的地位地位 . 因而，行列式对其行具有的性质，对列也成立因而，行列式对其行具有的性质，对列也成立 .行列式的性质小结行列式的性质小结第28页/共64页2021-10-2329 Corollary 1 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此此行列式为零行列式为零 . C

21、orollary 2 11220kikikninDkia Aa Aa Aki11220kjkjnknjDkja Aa Aa Akj 行列式某行（列）的元素乘另一行（列）行列式某行（列）的元素乘另一行（列）对应元素的代数余子式之和等于零对应元素的代数余子式之和等于零 . 即即Property 2互换行列式的两行互换行列式的两行( (列列) )，行列式值变号，行列式值变号.行列式的性质小结行列式的性质小结第29页/共64页2021-10-2330综上，得公式综上，得公式 inknikikAaAaAa2211 ），（当，（当）（当（当ikikD0 , njnljljlAaAaAa2211 ），（当，

22、（当）（当（当jljlD0 ,注：直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，注：直接应用行列式展开公式并不一定简化计算， 因为把一个因为把一个n阶行列式换成阶行列式换成n个（个（n1 1）阶行列）阶行列 式的计算并不减少计算量；式的计算并不减少计算量； 只是在行列式中某一行或某一列含有较多的只是在行列式中某一行或某一列含有较多的 零零时，应用展开定理才有意义。时，应用展开定理才有意义。 但展开定理在理论上是重要的。但展开定理在理论上是重要的。第30页/共64页2021-10-2331Property 3 用数用数 k 乘以行列式，相当于用数乘以行列式，相当于用数 k 乘以乘以行行列式的某一行（列

23、）的所有元素列式的某一行（列）的所有元素.111211212=niiinnnnnaaakakakaaaa即即111211212niiinnnnnaaak aaaaaa第第 i 行（列）乘以行（列）乘以 k ，记作，记作 ()iirkckCorollary 1 行列式中某一行（列）的所有元素的公行列式中某一行（列）的所有元素的公因子，可以提到行列式符号外面因子，可以提到行列式符号外面 . .行列式的性质小结行列式的性质小结第31页/共64页2021-10-2332Corollary 2 如果行列式中一行（列）为零，则该如果行列式中一行（列）为零，则该行行列式为零列式为零 .( ( 取取 k =

24、0 )Corollary 3 行列式中如果有两行（列）元素成比例行列式中如果有两行（列）元素成比例, ,则则 此行列式为零此行列式为零 .( 由由 Pro. 3 Co. 1 及及 Pro. 2 Co.1 )Property 411121111211112111221212121212nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabcbcbcbbbcccaaaaaaaaa由由Th.1，按该行（列）展开可得，按该行（列）展开可得 .行列式的性质小结行列式的性质小结第32页/共64页2021-10-2333Property 5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以把行列式的某一行（列）的各元

25、素乘以数数 k ，然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式，然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变不变 .即即111211112111221212121212nnijijinjniiinjjjnjjjnnnnnnnnnaaaaaaakaakaakaaaaaaaaaaaaaaaa以数以数 k 乘第乘第 j 行加到第行加到第 i 行，记作行，记作 ijrkr（由（由 Pro .4、Pro .3 Co.3即得）即得）注意表示！注意表示！三三、行列式的性质、行列式的性质第33页/共64页2021-10-2334Example 8 计算计算25123714107274612DSolution:

26、化行列式为上化行列式为上（下）三角行列（下）三角行列式是一重要方法式是一重要方法13ccD1522173427107164221rr312rr41rr152202560363012033r 32rr15220121302560120322rr42rr15220121300140041434rr152201213001400015= - -45改为改为 6，如何？，如何？4阶及以上行列式阶及以上行列式不能用对角线法不能用对角线法 三三、行列式的性质、行列式的性质第34页/共64页2021-10-2335Example 8 计算计算25123714107274612DSolution:化行列式为上

27、化行列式为上（下）三角行列（下）三角行列式是一重要方法式是一重要方法13ccD1522173427107164221rr312rr41rr152202560363012033r 32rr15220121302560120322rr42rr15220121300140041434rr152201213001400015= - -45改为改为 6，如何？，如何？4阶及以上行列式阶及以上行列式不能用对角线法不能用对角线法 三三、行列式的性质、行列式的性质第35页/共64页2021-10-2336Example 9 计算计算4abbbbabbDbbabbbbaSolution:方法一方法一D41234

28、cccc3333abbbbababbabbababbba1(3 )cab11(3 )11bbbabbabbabbba21rr31rr41rr1000(3 )000000bbba baba ba b= (a+3b)(a-b)3方法二方法二D41irr2,3,4i 000000abbbb a a bb aa bb aa b412iicc3000000000abbbba ba ba b= (a+3b)(a-b)3方法一、方法二方法一、方法二对对 n 阶也很适阶也很适用用三三、行列式的性质、行列式的性质第36页/共64页2021-10-2337方法三方法三将将 a = b+(a-b) 则则4()000

29、0()0000()0000()babbbbbbabbbDbbbabbbbbbab利用利用 Pro. 5 进行拆项，几项进行拆项，几项 ? 应有应有 16 项项 .但包含两个或两个以上第一个子列，则为零但包含两个或两个以上第一个子列，则为零 .30000000000000000000000000000000000000(3 )()00000000000babbabbbabbabbbabbabbbabbabbababbababbabab ababbabbab三三、行列式的性质、行列式的性质4abbbbabbDbbabbbba第37页/共64页2021-10-2338Example 10 试证试证

30、32222()22abcaabbcababccccab Proof ：分析特点分析特点: 列之和相等列之和相等(实质是计算)确定方法确定方法左边左边123rrr2222a b c a b c a b cbb c abccc a b 1()rabc111()2222a b c b b c abccc a b 21cc31cc100()2()020()a b c ba b cca b c 3()abc= = 右边右边三三、行列式的性质、行列式的性质第38页/共64页2021-10-2339Example 11 n 阶行列式阶行列式 ， 满足满足 aij = - aji i，j = 1 ndet()

31、ijDa证明：当证明：当 n 为奇数时，为奇数时，D = 0 .Proof ：由条件可知由条件可知 ：aii = -aii i = 1n 得得 aii = 01213112232132331230000nnnnnnaaaaaaDaaaaaa D = (-1)-1)n nD Pro.11213112232132331230000nnnnnnaaaaaaaaaaaa12131122321323312300( 1)00nnnnnnnaaaaaaaaaaaaPro. 3( 1)nD 因为因为 n 为奇为奇数，数，D = - -D,所以所以 D = 0 .三三、行列式的性质、行列式的性质第39页/共64

32、页2021-10-2340Example 12 计算计算123111000022000001(1)nnnDnnSolution:方法一方法一将各列加到第一列，得将各列加到第一列，得(1)223101000022000001(1)n nnnnDnn10002200(1)2001(1)n nnn1(1)!( 1)2nn 方法二方法二 Dncj+cj+1j=n-1,1(1)(1)221210100000(1)n nn nnnn1(1)!( 1)2nn 三三、行列式的性质、行列式的性质第40页/共64页2021-10-2341Example 13 计算计算1212111111(0)111nnnaaDa

33、 aaaSolution: 方法一方法一每行减去第一行，得每行减去第一行，得112111100nnaaaDaa11jajacc2,3,.,jn111221110000jnajnaaaa111(1)jnnjajja方法二方法二121111011101110111nnaDaa1irr2 1in121111100100100naaa11jjcca2 1jn11121111000000000jnajnaaa111(1)jnnjajja三三、行列式的性质、行列式的性质第41页/共64页2021-10-2342Example 14 计算计算012211000100000001000nnnaaxaxDaxa

34、xSolution: 方法一方法一 从第二行起，前行乘以从第二行起，前行乘以 x 加到后加到后一一行，得行，得00120122301212011100001000000.0001.0000nnnnnnnaa xaa xa xaDa xa xaa xa xa1120111( 1)(.)1nnnna xa xa (1)(1)12011( 1)( 1)(.)nnnnna xa xa 12011.nnna xa xa三三、行列式的性质、行列式的性质第42页/共64页2021-10-2343012211000100000001000nnnaaxaxDaxax按最后一行展开，得：按最后一行展开，得：Dn

35、= xDn-1+ an-1Dn-1 = xDn-2+ an-2方法二方法二 ( 递推法递推法 ). D2 = xa0 + a1Dn = xDn-1 + an-1= x2Dn-2 + an-2x + an-1所以所以= x3Dn-3 + an-3x2 + an-2x + an-1 = = = xn-2D2 + a2xn-1 + + an-3x2 + an-2x + an-1Dn-2 = xDn-3+ an-3= a0 xn-1 + a1xn-2 + + an-2x + an-1三三、行列式的性质、行列式的性质第43页/共64页2021-10-2344Example 15 设设1111111111

36、110000mmmmmnnnmnnnaaaaDccbbccbb11111mmmmaaDaa11121nnnnbbDbb证明：证明： D = D1D2 .对对 m 用数学归纳法即可证用数学归纳法即可证明明1111111111110000mmmmnmnnnnnmaaaaDbbccbbcc= ？三三、行列式的性质、行列式的性质第44页/共64页2021-10-2345Example 16 证明证明 范德蒙德（范德蒙德（Vandermonde）行列式）行列式122221211112111nnnnnnnxxxDxxxxxx1()ijj i nxx 3323121()()()Dxxxxxx三三、行列式的性

37、质、行列式的性质3123222123111=Dxxxxxx如：第45页/共64页2021-10-2346Example 16 证明证明 范德蒙德（范德蒙德（Vandermonde）行列式）行列式122221211112111nnnnnnnxxxDxxxxxx1()ijj i nxx Proof : 用数学归纳法用数学归纳法当当 n = 22211211Dxxxx结论成立；结论成立；假设对于假设对于 n-1 阶阶 V- 行列式，结论成立；行列式，结论成立； 对于对于 n 阶阶 V-行列式，从第行列式，从第 n 行开始，后行减去前行开始，后行减去前行的行的 x1倍倍 .三三、行列式的性质、行列式的

38、性质第46页/共64页2021-10-2347Dn2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnxxxxxxx xxx xxxxxxxxxxxxxx11iirxr,1,.,3,2in n232131122223111()()()nnnnnnxxxxxxxxxxxx上式右端行列式是上式右端行列式是 n-1 阶阶 V- 行列式，由归纳假设，得行列式，由归纳假设，得213112()()()()nnijj i nDxxxxxxxx 1()ijj i nxx 三三、行列式的性质、行列式的性质第47页/共64页2021-10-2348Example 17

39、 计算计算41111231449116827164DSolution: D4 为为 4 阶阶 V- 行列式行列式4222233331111231( 4)231( 4)231( 4)D其中其中12342,3,1,4xxxx 故故4434241323121()()()()()()420Dxxxxxxxxxxxx 三三、行列式的性质、行列式的性质第48页/共64页2021-10-2349第三节第三节克莱姆（克莱姆（Cramer）法则）法则第49页/共64页2021-10-2350 首次讨论线性方程组的求解问题，利用行列式得首次讨论线性方程组的求解问题，利用行列式得出出一类特殊方程的求解公式一类特殊方

40、程的求解公式 .克莱姆法则：克莱姆法则：如果线性方程组如果线性方程组11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb(1)其系数行列式其系数行列式1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa则方程组则方程组(1)有唯一解有唯一解12(2)jjDxjD， ， ,n简记为简记为11nijjija xbin 其中其中 Dj 是用常数项是用常数项(自由项自由项) b1，b2，bn 替替换换 D 中第中第 j 列所成的行列式列所成的行列式 .111(1)11(1)1212(1)22(1)21(1)(1)jjnjj

41、njnn jnn jnnaabaaaabaaDaabaa1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa一一、克莱姆法则、克莱姆法则第50页/共64页2021-10-2351Proof : 是解是解；jjDxD 唯一性唯一性 .11221njjjnnjkkjkDb Ab Ab Ab A111nnjijijjjjDaa DDD111nnijkkjjkab AD 111nnijkjkjka A bD111nnijkjkkja A bD111()nnijkjkkja AbD 1iiD bbD所以，（所以，（2）是（）是（1）的解）的解 .设设 是方程组（是方程组（1）的一个解）的一个解 .

42、1jjxcjn 代入方程代入方程 得得11(3)nkiikia cbkn 用用 D 中第中第 j 列元素的代数余子式列元素的代数余子式 依次乘方程组（依次乘方程组（3）的）的 n 个方程，再相加个方程，再相加 ，得，得 12,.,jjnjAAA111nnnkiikjkkjkika c Ab A左边左边= 右边右边= Dj11()nnkikjiika Ac 由由 Th. 1.2 可知可知 Dcj = Dj0D 1jjDcjnD一一、克莱姆法则、克莱姆法则第51页/共64页2021-10-2352Example 18 解方程组解方程组1234134123123422244321224xxxxxxx

43、xxxxxxx Solution:1112201432101212D142420100441032101212rrrr0102 44132141231 20 该位置展开一该位置展开一定带正号定带正号D1 = -2 ，D2 = 4 ，D3 = 0 ，D4 = -1 所以，所以， x1 = 1，x2 = -2，x3 = 0，x4 = 1/2 .二二、克莱姆法则应用实例、克莱姆法则应用实例第52页/共64页2021-10-2353 克莱姆法则的意义在于它给出了解与系数的关系克莱姆法则的意义在于它给出了解与系数的关系,在方程理论上很有价值在方程理论上很有价值 . 但用它来求解是很不方便的但用它来求解是

44、很不方便的 .因为，它求解一个因为，它求解一个 n 个未知量、个未知量、n 个方程的线性方程个方程的线性方程组，需计算组，需计算 n+1 个个 n 阶行列式，计算量很大阶行列式，计算量很大 .Definition 1.8 在方程组（在方程组（1）中，如果自由项）中，如果自由项 b1，b2，bn 不全为零，则称（不全为零，则称（1）为）为非齐次非齐次线性方程组线性方程组;否则，称为否则，称为齐次齐次线性方程组线性方程组 . Corollary 1 零一定是它的解，零一定是它的解，更关心的是非零解更关心的是非零解如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组101nijjja xin的系数行列式的系数行列式

45、 , , 0D 则方程组只有零解则方程组只有零解 . Corollary 2 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组101nijjja xin有非零解的必要条件是有非零解的必要条件是 D = 0 .第三章将证明第三章将证明这也是充分的这也是充分的三三、克莱姆法则应用、克莱姆法则应用11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb(1)第53页/共64页2021-10-2354Example 19 设方程组设方程组 123123123000 xxxaxbxcxbcxcaxabx问问 a、b、c 满足什么条件，方程组有非零解满足什么条件，方程组有非零解 .Solution:111Dabcbc caab100ab ac abc ca bcab bc()()()a b b c c a由由 D = 0a、b、c 至少有两个相等至少有两个相等 . 不难验证，当不难验证，当 a、b、c 中至少有两个相等，方中至少有两个相等，方程程组有非零解组有非零解 .第54页/共64页2021-10-2355小小 结结行列式计算、证明的常用方法行列式计算、证明的常用方法定义定义性质性质降（升）阶降（升）阶递推递推V- 行列式行列式数学归纳法数学归纳法第55页/共64页2021-10-2356第第 二二 章章 行