2019年中考数学二次函数专项教案和典型习题

1、2019年中考数学二次函数专项教案和典型习题1 .定义：一般地，如果y ax2 bx c（a,b,c是常数，a 0）,那么y叫做x的二次函数2 .二次函数y ax2的性质1抛物线y ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.2函数y ax2的图像与a的符号关系.当a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a 0时抛物线开口向下顶点为其最高点.3顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为 y ax2 （a 0）.3 .二次函数 y ax2 bx c的图像是对称轴平行于包括重合y轴的抛物线.4 .二次函数y ax2 bx c用配方法可化成：y a x h 2 k的形式，其中b 4ac b2ax2

2、 ； y ax2 k ;2? k b5 .二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y2.2, 广、2 I y ax h ；y ax h k； y ax bx c.6 .抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 a的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0时，开口向上；当 a 0时，开口向下;a相等，抛物线的开口大小、形状相同平行于y轴或重合的直线记作 x h.特别地，y轴记作直线x 0.7 .顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同8 .求抛物线的顶点、对称轴的方法,2,. 222 .b 4ac b ./ b 4ac

3、 b .1公式法：y ax bx c a x ,，顶点是（,）2a 4a2a 4a对称轴是直线x .2a2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y ax h 2 k的形式，得到顶点为（h, k）,对称轴是直线x h.所以对称轴的连线3运用抛物线的对称性： 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9.抛物线y ax2 bx c中，a,b,c的作用1a决定开口方向及开口大小，这与y ax2中的a完全一样.2b和a共同决定抛物线称轴的位置 .由于抛物线y ax2 bx c的对

4、称轴是直线bbx故：b 0时，对称轴为y轴；b 0即a、b同号时，对称轴2aa在y轴左侧；b 0即a、b异号时，对称轴在 y轴右侧. a3c的大小决定抛物线 y ax2 bx c与y轴交点的位置.当x 0时，y c,，抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点0, c：c 0 ,抛物线经过原点；c 0,与y轴交于正半轴； c 0 ,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y轴右侧，那么0.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2y ax当a 0时开口向上当a 0时开口向卜x 0 y 轴0,02y ax kx 0 y

5、轴(0, k),2 y ax hx h(h,0),2.y a x h kx h(h, k)2y ax bx cbx 2ab 4ac b2(，)2a 4a11.用待定系数法求二次函数的解析式1一般式：y ax2 bx c .图像上三点或三对 x、y的值，通常选择一般式2顶点式：y ax h 2 k.图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式3交点式：图像与 x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y ax x1 x x212.直线与抛物线的交点1y轴与抛物线y ax2 bx c得交点为(0, c).2与y轴平行的直线x h与抛物线y ax2 bx c有且只有一个交点2(h , ah bh c).3抛物

6、线与x轴的交点二次函数y ax2 bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标 x1、x2，是对应一元二次方程ax2 bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点顶点在 x轴上0 抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离.4平行于x轴的直线与抛物线的交点同3一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ,那么横坐标是ax2 bx c k的两个实数根.5一次函数y kx n k 0的图像l与二次函数y ax2 bx c a 0的图像G的、kx n交点，由方程组12的解

7、的数目来确定：方程组有两组不同的解时y ax bx cl与G只有一个交点；方程组无y ax2 bx c与x轴两交点为l与G有两个交点；方程组只有一组解时解时 l与G没有交点.6抛物线与 x轴两交点之间的距离：假设抛物线0的两个根，故A x1,0 , B x2,0 ,由于 x1、x2 是方程 ax2 bx c第二部分典型习题1 .抛物线y=x2+2x 2的顶点坐标是D A.2, 2 B. 1, 2C. 1, 3 D. 一1, 32 .二次函数y ax2bx c的图象如下图，那么以下结论正确的选项是 C A. ab0, c0 B. ab0, cv 0 C. ab0D. abv 0, c0, b0

8、B 、a0, b0C a0, c0 D 、a0, c04 .如图， ABC中，BC=& BC上的高h 4, D为BC上一点，EF/BC,交AB于点E, 交AC于点FEF不过A、B，设E到BC的距离为x,那么 DEF的面积y关于x的函 数的图象大致为D 5 .抛物线y x2 2x 3与x轴分别交于 A、B两点，那么AB的长为 4.6 .二次函数y=kx2+(2k1)x 1与x轴交点的横坐标为 与、x2x1x2时，y0;方程kx2+(2k 1)x 1= 0有两 人生山上-i 1+4k2右个不相等的头数根 x1、x2；x1 1；x2 x1=,其中所有正确k的结论是只需填写序号.7 .直线y 2x b

9、 b 0与x轴交于点 A,与y轴交于点 B； 一抛物线的解析式为2y x b 10 x c.1假设该抛物线过点 B,且它白顶点P在直线y 2x b上，试确定这条抛物线的解 析式；2过点B作直线BCAB交x轴交于点C,假设抛物线的称轴恰好过C点，试确定直线y 2x b的解析式.2-b 16b 100、),由题息得4解：1y x2 10或 y x2 4x 6将(0, b)代入，得c b .顶点坐标为(b02b 102b216b 1004,解得bi10,b26.2y 2x 28 .有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y,且y是x的二次函数，输入值为 2,0, 1时，相应的输出值分别为 5,3,

10、 4 .1求此二次函数的解析式；2在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象，并根据图象写出当输出值 y为正数时输入值x的取值范围.解：1设所求二次函数的解析式为y ax2 bx c,a 14 ,解得b21 c32a( 2)2 b( 2) c 5 c 3那么 a 02 b 0 c 3 ,即 2aba b c 4a b故所求的解析式为：y x2 2x 3.2）函数图象如下图.由图象可得，当输出值 y为正数时，输入值x的取值范围是9 .某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同.他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成以下图.

11、请根据图象回答：第三天12时这头骆驼的体温是多少 ？兴趣小组又在研究中发现，图中 10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式.体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时第三天12时这头骆驼的体温是 39 C410 .抛物线y ax （一 3a）x 4与x轴交于A、 3B两点，与y轴交于点C、是否存在实数a,使得 ABC为直角三角形.假设存在，请求出a的值；假设不存在，请说明理由.解：依题意，得点 C的坐标为0, 4.设点A、B的坐标分别为x1, 0，x2, 0，2 ,44由 ax （- 3a）x 4 0,解得 x13, x2一33a4点A B的坐标分别为-3 , 0， ，0.3ai

12、当 AB2 AC2 BC2 时，/ACB= 90 .由 AB2 AC2 BC2,解得1682 9 25 ( 9a a1a -.169a241 I_时,4点B的坐标为16、2-6,0，AB23瞑 AC225,BC2 等于是AB2AC24时, ABE直角三角形.ii当AC2AB2BC2 时，/ ABC= 90 .由AC2AB2BC2168 9) a16M 16).解得43a4 一 一3 ,点 B39-3 , 0与点A重合，不合题意.BC2_ 2_ 2.AC AB 时,/ BAC= 90由BC2AC2216AB2,得一2 9a21616 25 ( 2 9a2解得 a4 一人升一 不合题意.9综合i、

13、 ii、 ,当 a1r, 3一时， ABE直角三角形.411.抛物线 y=x2+mx2.1假设抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且 AB= J5 ,试求m的值;2设C为抛物线与y轴的交点，假设抛物线上存在关于原点对称的两点M N,并且MNC勺面积等于27,试求m的值.解：(1) Ax，0，B(x2, 0). 那么 x1 , x2是方程 x2 mx+2=0 的两根.xi + x2 = m , x i x2 =m- 2 0 即 m 2 ;又 AB= I x1 x2 I = J(x1+x2)24x x2 V5 ,mr 4m 3=0 .解得：m=1或m=3(舍去)，m的值为1 .2M(a

14、, b),那么 N(-a, b).M N是抛物线上的两点，+得：-2a2-2m 4 = 0 . /=m 2 .当m 2时，才存在满足条件中的两点M N.这时M N到y轴的距离均为J2m,又点C坐标为0, 2m，而Sam n c = 27 ,12 x x 2 ni x 22 m =27 .2，解得m=- 7 .12.：抛物线y= ax2+ 4ax + t与x轴的一个交点为 A1, 0.t=-2 A.V1求抛物线与x轴的另一个交点 B的坐标；/2D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以 AB为 一一底的梯形ABCM面积为9,求此抛物线的解析式；系乂 仃广3E是第二象限内到 x轴、y轴的距离

15、的比为 5 : 2的点，如果 /点E在2中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，八问：在抛物线的对称轴上是否存在点巳使 APE的周长最小？假设存在，求出点 P的坐标；假设不存在，请说明理由.解法一：1依题意，抛物线的对称轴为 x=2.抛物线与x轴的一个交点为 A一 1, 0，由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点 B的坐标为一3, 0.2抛物线y= ax2+ 4ax+t与x轴的一个交点为 A一 1, 0,y= ax2+ 4ax +3a 上,1 1(2+4)3a=9.a( 1)2+4a( 1)+t = 0.t = 3a,y= ax2+4ax +3a.D0, 3a. 梯形 ABCD

16、43, AB/ CD 且点 C在抛物线C4, 3a.AB =2, CD= 4.,，一1 一 一 一梯形 ABCD勺面积为 9, -(AB CD) OD=9.2所求抛物线的解析式为 y= x2+4x+3或y= x2 4ax 3.3设点E坐标为x0, y0.依题意，x0 0, y00,期=5x025 一y0 _x0 2设点E在抛物线y = x2+ 4x + 3上,、,二5 -解方程组y02x0,2 ,y0= x0+4x0+ 3得仇y0=i5；Xo =y0= 41,2515点E与点A在对称轴x= 2的同侧， 点E坐标为 一，.24设在抛物线的对称轴x= 2上存在一点 P,使 APE的周长最小.AE长

17、为定值，要使 APE的周长最小，只须 PA+ PE最小.点A关于对称轴x=-2的对称点是B一3, 0,由几何知识可知,P是直线BE与对称轴x=2的交点.设过点E、B的直线的解析式为 y=mx+n,1,5-m+ n=一,243m+ n=0.m=1,解得 2n=a2 13. 1直线BE的解析式为y=1x+ 3.把x= 2代入上式，得y=-.222一 _1、 点P坐标为一2,一.2设点E在抛物线y= x2 4x 3上，y0= x2 4x0 3 . ,5、， y0 x0, ,9 3解方程组2消去y0,得x0 -x0+3= 0.22y= x 4x0 3. 0 时，c0;当 a0 时，c0.2证明：设点A

18、的坐标为x1, 0，点B的坐标为x2 , 0，那么0 x10 , a 0.a a解法一：AB= OB- OA= X2 Xi=J(k + X2)24XiX2 ,AB 4A/3, 空=473 .得 a 1. c=2. a2解法二：由求根公式,x=4114aC = 411432a2aaAB = 43,2=4 ,得 a=1 . . c =2.a2317 .如图，直线y X 底分别与x轴、y轴交于点A、B, OE经过原点。及A、B两点.31C是。E上一点，连结 BC交OA于点D,假设/ COD= / CBQ求点A、R C的坐标；2求经过。C A三点的抛物线的解析式：3假设延长BC到P,使DP= 2,连结AP,试判断直线PA与。E的位置关系，并说明理解：1连结EC交X轴于点N如图.3A、B是直线y x m分别与x轴、y轴的交点.A3, 0，B、（0,寸3）3又 / COD= / CBO/CBO= /ABC，C 是&的中点.EC OA3 3.3连结OE EC OE寸3 . NC EC EN ./. C点的坐标为一，