第四节平面及其方程

1、第四节第四节 平面及其方程平面及其方程一、图形与方程一、图形与方程二、平面的点法式方程二、平面的点法式方程三、平面的一般方程三、平面的一般方程四、两平面的夹角四、两平面的夹角 在空间直角坐标系中，设曲面在空间直角坐标系中，设曲面s（或曲线（或曲线l)与与三元方程（或方程组）三元方程（或方程组）0),(zyxf或或0),(0),(21zyxfzyxf),(zyx都是都是有下述关系：有下述关系： （1）曲面）曲面s（或曲线（或曲线l)上任意一点的坐标都满足上任意一点的坐标都满足 上述方程（或方程组）上述方程（或方程组）. （2）满足上述方程（或方程组）的）满足上述方程（或方程组）的 曲面曲面s（或

2、曲线（或曲线l)上的坐标上的坐标.那么，上述方程（或方程组）叫曲面那么，上述方程（或方程组）叫曲面s（或曲线（或曲线l)的方程的方程，而曲面，而曲面s（或曲线（或曲线l)叫做上述方程（或方程组）的图形叫做上述方程（或方程组）的图形.一、一、图形与方程图形与方程xyzo0mm 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征： 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知,cban ),(0000zyxm设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxmnmm 0必有必有00 nmmn二、平面的点

3、法式方程二、平面的点法式方程,0000zzyyxxmm 0)()()(000 zzcyybxxa平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形平面称为方程的图形其中法向量其中法向量,cban 已知点已知点).,(000zyx例例 1 1 已知点已知点)4 , 1, 2(1 m和和)7 , 2 , 6(2m，求过点，求过点1m且与且与21mm垂直的平面方程垂直的平面方程. ,6 , 4 , 3211 mmn所求平面的一个法向量为所求平面的一

4、个法向量为, 0)1(6)2(4)3(3 zyx即即. 07643 zyx由点法式方程，得由点法式方程，得解解例例 2 2 求过三点求过三点)4 , 1, 2( a、)2, 3 , 1( b和和)3 , 2 , 0(c的平面方程的平面方程. 解解6, 4, 3 ab1, 3, 2 ac取取acabn ,1, 9,14 所求平面方程为所求平面方程为, 0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得. 015914 zyx由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzcyybxxa0)(000 czbyaxczbyaxd 0 dczbyax平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.

5、,cban 三、平面的一般方程三、平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：, 0)1( d平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( a , 0, 0dd平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0)3( ba平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 cbca0, 0 cb类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.例例 3 3 一平面过点一平面过点)2, 3, 4( 和和)1, 1 , 4( 且平行且平行于于x轴，求其方程轴，求其方程. , 0 dczby从从而而所所求求平平面面为为：解解得得,

6、4,3dcdb 解解所以设平面方程为：所以设平面方程为：所求平面平行于所求平面平行于x轴，可知轴，可知, in),(cban 设设，0 a则则将已知两点代入得将已知两点代入得 0023dcbdcb0143043 zyddzdy即即，例例 4 4 设设平平面面与与zyx,三三轴轴分分别别交交于于)0 , 0 ,(ap、)0 , 0(bq、), 0 , 0(cr（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.设平面为设平面为, 0 dczbyax将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0dccdbbdaa,ada ,bdb .cdc 解解,ada ,bdb ,cdc 将将

7、代入所设方程得代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角. ., 0:11111 dzcybxa, 0:22222 dzcybxa,1111cban ,2222cban 四、两平面的夹角四、两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|coscbacbaccbbaa 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1

8、( ; 0212121 ccbbaa21)2( /.212121ccbbaa 例例5 5解法（解法（1）)2 , 2 , 2(21 mm垂直垂直及及)3 , 2 , 1(21 nmm所求平面的法向量与所求平面的法向量与求其方程.求其方程.垂直于垂直于且且和和一平面经过点一平面经过点, 0532)5 , 1 , 4()3 , 1, 2(21 yyxmm)2, 4 , 2(22232121 kjimmn取为取为0)3(2)1(4)2(2 zyx所求平面方程为：所求平面方程为：072 zyx即即)2(解法解法，),( cban 设所求平面法向量为设所求平面法向量为 2111 )3 , 2 , 1( mmnnnn）（则则 0320222cbacbacbca2, 得得：所求平面方程为所求平面方程为0)3()1()2( zcybxa0)3()1(2)2( zyx：即即072 zyx例例 6 6 设设),(0000zyxp是是平平面面byax 0 dcz 外外一一点点，求求0p到到平平面面的的距距离离. ),(1111zyxp|pr|01ppjdn 1pnn0p 00101prnppppjn ,10101001zzyyxxpp 解解 2222222220,cbaccbabcbaan00101prnppppjn 22210222