七章立体表面的交线

1、第七章立体表面的交线第七章立体表面的交线7-2 相贯线相贯线7-3 立体表面交线的分析立体表面交线的分析7-1 截交线截交线内容提纲内容提纲立体表面交线分为两类立体表面交线分为两类平面和立体相交在立体表面形成交线平面和立体相交在立体表面形成交线截交线截交线立体和立体相交在立体表面形成交线立体和立体相交在立体表面形成交线相贯线相贯线截交线截交线相贯线相贯线p7-1平面与立体相交平面与立体相交7-1-1 概述概述7-1-2 平面与平面立体相交平面与平面立体相交7-1-3 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交截交线基本性质截交线基本性质 2 共有性共有性：截交线即在截平面上，又在立体表面上，：截交线

2、即在截平面上，又在立体表面上，是截平面与立体表面共有点的集合。是截平面与立体表面共有点的集合。 1 封闭性封闭性: 因为被截割的立体占有一定的空间，所以因为被截割的立体占有一定的空间，所以截交线为封闭的平面图形。截交线为封闭的平面图形。请注意！截平面截平面截平面截平面7-1-1截交线截交线截交线截交线1 1平面与平面与平面立体相交平面立体相交所得截交线形状所得截交线形状 2 2平面与平面与平面立体相交平面立体相交的求法的求法 3 3平面与平面与平面立体相交平面立体相交截交线例题截交线例题7-1-2 平面与平面立体相交平面与平面立体相交平面与平面与平面立体相交平面立体相交所得截交线形状所得截交线

3、形状 3 3 截截平面平面相对投影面有平相对投影面有平行行, , 垂直垂直, ,一般位置。一般位置。 2 2 截截平面平面由一个或多个组成由一个或多个组成1 1 截交线形状截交线形状是封闭的平面多边形是封闭的平面多边形平面立体是由平面所围成的平面立体是由平面所围成的. .截交线是一个封闭的平面多边形。截交线是一个封闭的平面多边形。多边形的顶点是截平面与各棱线多边形的顶点是截平面与各棱线的交点。的交点。如图所示：平面与三棱锥相交如图所示：平面与三棱锥相交 截交线其各边是截平截交线其各边是截平面与三棱锥各面与三棱锥各棱面的交线棱面的交线, ,也就是截平面与三棱锥各棱也就是截平面与三棱锥各棱线的线的

4、交点的连线。交点的连线。 截交线是一个封闭的截交线是一个封闭的平面三角形。平面三角形。smabc求截交线的关键：求截交线的关键： 截平面与棱线的交点，截平面与棱面的交线截平面与棱线的交点，截平面与棱面的交线。截交线的特点：截交线的特点：1 平面立体形体分析（棱柱，棱锥，积聚性）平面立体形体分析（棱柱，棱锥，积聚性）2 截平面相对投影面的位置（平行，垂直）截平面相对投影面的位置（平行，垂直）3 截交线的空间分析及投影分析（积聚性）截交线的空间分析及投影分析（积聚性）4 求棱线的交点连线或求棱面的交线求棱线的交点连线或求棱面的交线 (线上取点或棱面上取线）线上取点或棱面上取线）5 检查漏线和多线检

5、查漏线和多线 6 判断可见性判断可见性平面与平面与平面立体相交平面立体相交的求法的求法截交线截交线投影分析投影分析:例例7-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。截平面截平面截交线空间及截交线空间及投投影分析影分析:截平面是正垂面，截平面是正垂面，截交线在正立面内截交线在正立面内积聚为一线积聚为一线水平投影和侧面水平投影和侧面投影是小于原形投影是小于原形的类似形的类似形截交线空间是三边形截交线空间是三边形截交线的正面投影截交线的正面投影例例7-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。截平面截平面三棱锥表面上取截交三棱锥表面上

6、取截交线的各顶点线的各顶点 s231132abcs123bacsabc作图步骤：作图步骤：abc1. 找出有积聚性的投影找出有积聚性的投影 2. 从已知投影开始，从已知投影开始，确定各棱线的交点确定各棱线的交点1 23。 3. 用线上取点的方法求用线上取点的方法求得其余各投影。得其余各投影。 4. 连接棱面上的交线并连接棱面上的交线并判断可见性。判断可见性。 例例7-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。s完成作图：将多余的线擦去，将不可见的线画成虚线。完成作图：将多余的线擦去，将不可见的线画成虚线。3. 截交线的空间分析及截交线的空间分析及 投影分析（积聚

7、性）投影分析（积聚性） 1. 平面立体形体表平面立体形体表 面性质面性质的分析（积聚性）的分析（积聚性） 124241356712345（6）（7）（3 ）（5 ）6（7 ）例例7-2 ：求四棱柱被截切截交线的投影。求四棱柱被截切截交线的投影。侧平面侧平面正垂面正垂面侧平面侧平面 正垂面正垂面2. 截平面相对投影面的位置截平面相对投影面的位置（平行，垂直）（平行，垂直）4. 求棱线的交点求棱线的交点连线或求棱面的连线或求棱面的交线交线 ( 线上取点或线上取点或棱面上取线）棱面上取线）5. 检查漏线和多检查漏线和多线线 .6. 判断可见性判断可见性.分析：分析：作图：作图：例例7-3 试求正四棱

8、锥被两平面切割后的三面投影试求正四棱锥被两平面切割后的三面投影空间分析：空间分析：四棱锥被正垂面切割，四棱锥被正垂面切割，截交线也应是平面多边截交线也应是平面多边形，其正面投影积聚为形，其正面投影积聚为一条线，水平投影侧面一条线，水平投影侧面投影小于实形的类似形投影小于实形的类似形。空间分析：空间分析：四棱锥被水平面切割，四棱锥被水平面切割，截交线应是平面多边形截交线应是平面多边形，其水平投影反映实形，其水平投影反映实形。侧面投影是一条线。侧面投影是一条线。水平面水平面正垂面正垂面56（8）74（3）1（2）例例7-3 试求正四棱锥被两平面切割后的三面投影试求正四棱锥被两平面切割后的三面投影5

9、6（8）7876231454（3）121578346（2） 四棱锥表面上取四棱锥表面上取截交线的各顶点截交线的各顶点作图步骤：作图步骤：1. 找出有积聚性的投影找出有积聚性的投影 2. 确定截平面的特点确定截平面的特点，数量。，数量。 3. 各棱线的交点各棱线的交点1,2,3,4,5,6,7,8。 3. 用线上取点的方法用线上取点的方法求得其余各投影。求得其余各投影。 4. 连接棱面上的交线连接棱面上的交线并判断可见性。并判断可见性。ssc(d )absaabcdbc完成作图完成作图:1.1.将各点连成线将各点连成线2.2.检查漏线和多线检查漏线和多线3.3.判断可见性判断可见性多线擦除多线擦

10、除注意不可见的线7-1-3 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交二二、 平面与平面与 圆柱圆柱相交相交三三、平面与平面与 圆锥圆锥相交相交四四、平面与平面与 圆球圆球相交相交一一 、 概述概述五五、综合题综合题一一 、 概述概述 平面与曲面立体的交线一般为封闭的平面曲线。平面与曲面立体的交线一般为封闭的平面曲线。 截交线上的点是曲面上的素线与截平面的交点。截交线上的点是曲面上的素线与截平面的交点。曲面体曲面体截交线的性质：截交线的性质： 1、封闭的平面图形（曲、平线围成）。封闭的平面图形（曲、平线围成）。 2、截交线为立体表面和截平面的共有线。截交线为立体表面和截平面的共有线。 3、截交线上的

11、点为立体表面和截平面的共有点。截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。求曲面体的求曲面体的截交线的方法：截交线的方法： 找出立体表面和平面上的若干共有点，然后找出立体表面和平面上的若干共有点，然后依依 次连线。次连线。曲面曲面立立体的体的截交线截交线求曲面体的截交线的作图步骤求曲面体的截交线的作图步骤1.投影分析投影分析2.2.求特殊位置点求特殊位置点3.求一般位置点求一般位置点4.连接各点连接各点5.判断可见性判断可见性6.6.整理轮廓线整理轮廓线辅助平面辅助平面ab求求共有点的方法：共有点的方法：1、利用投影的积聚性利用投影的积聚性2、素线法素线法3、纬圆法纬圆法 4、辅助平面辅助平面截平

12、面截平面cde截平面截平面1 1 平面与圆柱相交所得截交线形状平面与圆柱相交所得截交线形状 2 2 圆柱截交线的求法圆柱截交线的求法 3 3 圆柱截交线例题圆柱截交线例题二、二、 平面与平面与 圆柱相交圆柱相交1 1、平面与、平面与 圆柱相交所得截交线形状圆柱相交所得截交线形状一对平行直线一对平行直线椭圆椭圆圆圆 圆柱截交线圆柱截交线求求共有点的方法共有点的方法 1 1、利用积聚性法、利用积聚性法 2 2、素线法、素线法上一级3 3 圆柱截交线例题圆柱截交线例题aaadc3434dc2112bbb2143dc3421cdab例例7-4 圆柱截交线圆柱截交线 1例例7-5 圆柱截交线圆柱截交线

13、2例例7-6 圆柱截交线圆柱截交线3分析：分析：1. 截平面数量截平面数量及相对投面影面的位置及相对投面影面的位置2.截交线的空间形状及投影形状截交线的空间形状及投影形状正垂面正垂面侧平面侧平面水平面水平面正垂面正垂面25687943侧平面侧平面水平面水平面1（6） 531（2）（4）7（8）9例例7-6 圆柱截交线圆柱截交线3作图作图:1.求特殊点求特殊点2.求一般点求一般点正垂面正垂面25687943侧平面侧平面水平面水平面11（6） 531（2）（4）97（8）912345678例例7-6 圆柱截交线圆柱截交线32yyy。y。956(8)(7)作图作图:1.求特殊点求特殊点 2.求一般点

14、求一般点3 判断可见性判断可见性4.检查检查256879431 g1（2）34b（d cf ）e4（3）2b121bgfecdae gayc d fa例例7-7 圆柱截交线圆柱截交线 4 分析：分析：2. 截平面数量截平面数量及相对位置及相对位置3.截交线的形状截交线的形状1.分析形体特征分析形体特征y作图作图:1.求特殊点求特殊点 2.求一般点求一般点3 判断可见性判断可见性4.检查检查bagfedc1432 101（2）347（6 811 ）94（3）2716859 10 115例例7-7 圆柱截交线圆柱截交线 4 y完成作图完成作图: 判断可见性判断可见性检查轮廓线检查轮廓线 是否多线和

15、漏线是否多线和漏线 bagfedc1432例例7-8 圆柱截交线圆柱截交线 5 1 1、平面与、平面与 圆球相交所得截交线形状圆球相交所得截交线形状 2 2、 圆球截交线的求法圆球截交线的求法 3 3、 圆球截交线例题圆球截交线例题三三、平面与平面与 圆球相交圆球相交1 1、平面与、平面与 圆球相交所得截交线形状圆球相交所得截交线形状圆圆2 2 、圆球上的截交线圆球上的截交线求求共有点的方法共有点的方法纬圆法纬圆法3 3、 圆锥截交线例题圆锥截交线例题3 3、 圆锥截交线例题圆锥截交线例题qvrraa例例7-9 圆球截交线圆球截交线1分析：分析： 2. 截平面的相截平面的相对位置对位置3.截交

16、线的形状截交线的形状 1.分析形体特征分析形体特征 作图作图:1.求特殊点求特殊点 2.求一般点求一般点3 判断可见性判断可见性4.检查检查例例7-10 圆球截交线圆球截交线2分析：分析：1. 截平面数量截平面数量及相对投面影面的位置及相对投面影面的位置2.截交线的空间形状及投影形状截交线的空间形状及投影形状侧平面侧平面正垂面正垂面水平面水平面例例7-10 圆球截交线圆球截交线26(7)4(5)2(3)1a8(9)10作图作图:1.求特殊点求特殊点2.求一般点求一般点例例7-10 圆球截交线圆球截交线26(7)4(5)2(3)1a8(9)101235498610aa776109815432作图

17、作图:1.求特殊点求特殊点 2.求一般点求一般点3 判断可见性判断可见性4.检查检查例例7-10 圆球截交线圆球截交线26(7)4(5)2(3)18(9)10176109154328注意：注意：轮廓线多线轮廓线多线2354986107完成作图完成作图: 判断可见性判断可见性检查轮廓线检查轮廓线 是否多线和漏线是否多线和漏线 例例7-11 圆球截交线圆球截交线 31 1、平面与、平面与 圆锥相交所得截交线形状圆锥相交所得截交线形状2 2、 圆锥截交线的求法圆锥截交线的求法3 3、 圆锥截交线例题圆锥截交线例题四、四、平面与平面与 圆锥相交圆锥相交1 1 平面与平面与 圆锥相交所得截交线形状圆锥相

18、交所得截交线形状圆圆椭圆椭圆一对相交直线一对相交直线双曲线双曲线抛物线抛物线圆锥上的截交线圆锥上的截交线求求共有点的方法共有点的方法素线法素线法纬圆法纬圆法3 3 圆锥截交线例题圆锥截交线例题例例7-12 圆锥截交线圆锥截交线 1分析：分析： 2. 截平面与圆锥截平面与圆锥 体及投影面相体及投影面相对位置对位置3.截交线的形状截交线的形状1.分析形体特征分析形体特征作图作图:1.求特殊点求特殊点 2.求一般点求一般点3 判断可见性判断可见性4.检查检查例例7-13 圆锥截交线圆锥截交线 2rv分析：分析： 2. 截平面与圆锥截平面与圆锥 体及投影面相体及投影面相对位置对位置3.截交线的形状截交

19、线的形状1.分析形体特征分析形体特征作图作图:1.求特殊点求特殊点 2.求一般点求一般点3 判断可见性判断可见性4.检查检查abcbcarv12bca1212a12mnmnmn分析：分析： 2. 截平面与圆锥截平面与圆锥 体及投影面相体及投影面相对位置对位置3.截交线的形状截交线的形状1.分析形体特征分析形体特征作图作图:1.求特殊点求特殊点 2.求一般点求一般点3 判断可见性判断可见性4.检查检查例例7-14 圆锥截交线圆锥截交线3bc例例7-15 圆锥截交线圆锥截交线 4b11bbaaa2212例例7-16 圆锥截交线圆锥截交线 4分析：分析： 2. 截平面数量及截平面数量及相对投影面位置

20、相对投影面位置3.截交线的空间截交线的空间形状及投影形状形状及投影形状1.分析形体特征分析形体特征作图作图:1.求特殊点求特殊点 2.求一般点求一般点3 判断可见性判断可见性4.检查检查例例7-17 圆锥截交线圆锥截交线 5分析：分析： 2. 截平面数量截平面数量及相对位置及相对位置3.截交线的形状截交线的形状 1.分析形体特征分析形体特征作图作图:1.求特殊点求特殊点 2.求一般点求一般点3 判断可见性判断可见性4.检查检查例例7-18 圆锥截交线圆锥截交线 63（4）c（b）5（6）ae（f）71（2）分析：分析：2. 截平面数量截平面数量及相对位置及相对位置3.截交线的形状截交线的形状1

21、.分析形体特征分析形体特征作图作图:1.求特殊点求特殊点 2.求一般点求一般点3 判断可见性判断可见性4.检查检查例例7-18 圆锥截交线圆锥截交线 63（4）c（b）5（6）ae（f）7a5643121（2）1234afecbbc7fe分析：分析：2. 截平面数量截平面数量及相对位置及相对位置3.截交线的形状截交线的形状1.分析形体特征分析形体特征作图作图:1.求特殊点求特殊点 2.求一般点求一般点3 判断可见性判断可见性4.检查检查例例7-18 圆锥截交线圆锥截交线 63（4）c（b）5（6）ae（f）7a5643121（2）1234afecbbc7fe分析：分析：2. 截平面数量截平面数

22、量及相对位置及相对位置3.截交线的形状截交线的形状1.分析形体特征分析形体特征作图作图:1.求特殊点求特殊点 2.求一般点求一般点3 判断可见性判断可见性4.检查检查例例7-19 圆锥截交线圆锥截交线 72. 截平面数量截平面数量及相对位置及相对位置分析：分析：3.截交线的形状截交线的形状1.分析形体特征分析形体特征作图：作图：在回转面上作一系列辅助纬园如图所示，即可求出截交线上的点。abccabdeab c d e de五五、平面与平面与任意回转体任意回转体相交相交分析分析：轴线垂直h的任意回转面与qh正平面相交截交线的水平投影积聚在qh上，侧面投影积聚为一条线qh辅助平面辅助平面分析：分析：2. 截平面数量截平面数量 及截平面与每一及截平面与每一个基本体及投影个基本体及投影面的相对位置面的相对位置;3.截交线的空间截交线的空间形状及投影形状形状及投影形状;正垂面正垂面水平面水平面a(i) h