2021届高考数学二轮考前复习第二篇破解中档大题保提分必须锤炼的7个热点专题专题2数列求和及等差等比数列的综合学案文含解析

1、专题2数列求和及等差、等比数列的综合1.错位相减求和的三个注意事项一是判断模型,判断cn=anbn中的数列an,bn中一个为等差数列,一个为等比数列;二是错开位置,一般先乘公比,再把前n项和退后一个位置来书写,这样避免两式相减时看错列;三是错位相减,相减时一定要注意式中最后一项的符号,考生常在此步出错,一定要细心.2.分组并项求和的两点提醒(1)要善于识别题目类型,注意合理拆分通项.(2)出现(-1)n时一般多用并项求和法,特别注意项数的奇偶.3.裂项相消求和的两个注意事项(1)利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.(2)将通项公式

2、裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.数列求和的步骤第一步找关系:根据等差、等比数列基本量寻求关系;第二步求通项:确定等差、等比数列的通项公式;第三步构差式:写出前n项和的表达式,然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子,两式作差;第四步准求和:根据差式的特征准确求和.1.步骤分:(1)列出sn;(2)构建-2sn;(3)求出3sn.2.关键分:解题过程的关键点,有则给分,无则没分.如列出sn.3.计算分:计算准确是根本保证,如求出3sn,再求sn.4.区分公式:牢记等差、等比数列的相关公式,熟记等差、等比数列的通项公式及前n项和公式,解题时结合实

3、际情况合理选择.5.反思检验,规范解题步骤.【典例】(12分)(2020全国卷)设是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求的公比;(2)若a1=1,求数列nan的前n项和.(1)看到求an的公比,想到利用基本量法列出方程求解;(2)看到求数列nan的前n项和,想到利用错位相减法求数列的前n项和.【标准答案】(1)设的公比为q,已知a1为a2,a3的等差中项,所以2a1=a2+a3,a10,所以q2+q-2=0,2分因为q1,所以q=-2.4分(2)设nan的前n项和为sn,a1=1,an=(-2)n-1,6分sn=1+2(-2)+3(-2)2+n(-2)n-1,7分-2sn

4、=1(-2)+2(-2)2+3(-2)3+(n-1)(-2)n-1+n(-2)n,8分-得,3sn=1+(-2)+(-2)2+(-2)n-1-n(-2)n10分=-n(-2)n=,所以sn=.12分测试目标(1)直接利用基本量列方程求解;(2)确定错位相减模型,数列求和测试素养数据分析:利用数据分析列出方程;逻辑推理:利用逻辑推理写出-2sn;数学建模:建立错位相减模型,运用错位相减法解决问题;数学运算:求解sn的值设sn为数列an的前n项和,且a1=1,当n2时,(n-1)an=(n+1)sn-1+n(n-1),nn*.(1)证明:数列为等比数列;(2)记tn=s1+s2+sn,求tn.1.

5、(一般与特殊)sn为等比数列的前n项和,已知a4=9a2,s3=13,且公比q0.(1)求an及sn;(2)是否存在常数,使得数列是等比数列?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.2.(分组转化)已知在等比数列an中,a1=1,且a1,a2,a3-1成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=2n-1+an(nn*),数列bn的前n项和为sn,试比较sn与n2+2n的大小.3.(与不等式结合)已知数列是公比大于1的等比数列(nn*),a2=4,且1+a2是a1与a3的等差中项.(1)求数列的通项公式;(2)设bn=log2an,sn为数列的前n项和,记tn=+,证明:1t

6、n的最小正整数n.5.(错位相减法)已知等比数列,其公比q1,且满足a2+a3=12,a2和a4的等差中项是10.(1)求数列的通项公式;(2)若bn=nan,tn是数列的前n项和,求使tn-n2n+1+14=0成立的正整数n的值.6.(探索问题)已知数列的前n项和记为an,且an=,数列是公比为q的等比数列,它的前n项和记为bn.若a1=b10,且存在不小于3的正整数k,m,使得ak=bm.(1)若a1=1,a3=5,求a2的值;(2)求证:数列是等差数列;(3)若q=2,是否存在整数m,k,使得ak=86bm,若存在,求出m,k的值;若不存在,请说明理由.7.(与三角结合)已知函数f(x)

7、=,方程f(x)=在上的解按从小到大的顺序排成数列(nn*).(1)求数列的通项公式;(2)设bn=sin an,求数列的前n项和sn.8.在s2=6,an+1=sn+2;sn=2an-a1且a1,a2+1,a3成等差数列;log2(sn+2)=n+1这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中.设数列an的前n项和为sn,已知_,bn=,tn是数列bn的前n项和,问是否存在n(nn*),使得|tn-1|成立?若存在,求出n的最大值;若不存在,请说明理由.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.专题2数列求和及等差、等比数列的综合【模拟考场】【解析】(1)当n2时,an=sn-sn-1,所

8、以(n-1)(sn-sn-1)=(n+1)sn-1+n(n-1),即(n-1)sn=2nsn-1+n(n-1),则=2+1,所以+1=2,又+1=2,故数列是首项为2,公比为2的等比数列.(2)由(1)知+1=2n-1=2n,所以sn=n2n-n,故tn=(12+222+n2n)-(1+2+n).设m=12+222+n2n,则2m=122+223+n2n+1,所以-m=2+22+2n-n2n+1=2n+1-2-n2n+1,所以m=(n-1)2n+1+2,所以tn=(n-1)2n+1+2-./高考演兵场检验考试力/1.【解析】(1)由题意得,解得,所以an=a1qn-1=3n-1,sn=.(2)

9、存在.理由如下:假设存在常数,使得数列是等比数列,因为s1+=+1,s2+=+4,s3+=+13,又因为=,所以=,所以=,此时,sn+=3n,则=3,故存在=,使得数列是以s1+=为首项,公比为3的等比数列.2.【解析】(1)设等比数列an的公比为q,因为a1,a2,a3-1成等差数列,所以2a2=a1+(a3-1)=a3,所以q=2,所以an=a1qn-1=2n-1(nn*).(2)由(1)知bn=2n-1+an=2n-1+2n-1,所以sn=(1+1)+(3+2)+(5+22)+(2n-1+2n-1)=1+3+5+(2n-1)+(1+2+22+2n-1)=n+=n2+2n-1.因为sn-

10、(n2+2n)=-10,所以snn2+2n.3.【解析】(1)由题意得:2=a1+a3设数列的公比为q,则2=+a2q,即2q2-5q+2=0,解得:q=(舍去)或q=2,则a1=2,所以an=a1qn-1=2n.(2)由(1)得:bn=log22n=n,可知为首项为1,公差为1的等差数列,则sn=,所以=2,所以tn=2=2=2-,因为01,所以12-2,即1tn,可得n9,可得最小正整数n为10.5.【解析】(1)等比数列,其公比q1,且满足a2+a3=12,a2和a4的等差中项是10,即有a1q+a1q2=12,20=a2+a4=a1q+a1q3,解得:a1=q=2,所以an=2n.(2

11、)由(1)知:bn=nan=n2n,则tn=12+222+323+n2n,2tn=122+223+324+n2n+1,相减可得:-tn=2+22+23+2n-n2n+1=-n2n+1,化简可得:tn=2+2n+1,tn-n2n+1+14=0,即为16-2n+1=0,解得:n=3.6.【解析】(1)当n=3时,a3=a1+a2+a3=,因为a1=1,a3=5,所以a2=3.(2)由an=,得an+1=,两式相减,得an+1=,即(n-1)an+1-nan+a1=0,所以nan+2-(n+1)an+1+a1=0.两式相减,得2an+1=an+an+2,所以数列为等差数列.(3)存在.理由如下:依题

12、意:ak=bm=a12m-1,由ak=86bm得:k=86,即k=86,2m=-2,所以344-k=.因为29=512,且m3,所以2m-19,又因为516=4129=4343,且2m-1+1为奇数,所以2m-1+1=129时,是整数,此时m-1=7,所以m=8,k=340.7.【解析】(1)f(x)=tan 2x,解得f(x)=tan 2x=,2x=k+,kz,则x=+,kz,依题意,an=+=-,nn*.(2)bn=sin an=sin是周期t=4的数列,b1=,b2=,b3=-,b4=-,s1=,s2=,s3=,s4=0,从而s5=s4+b5=b1=,s6=s5+b6=b1+b2=s2=,所以sn是周期为4的数列,sn=(kn*).8.【