空间点线面之间的关系

1、备考方向要明了备考方向要明了1.直线、平面位置关系是历年高考考直线、平面位置关系是历年高考考 查的重点内容之一，既有客观题，查的重点内容之一，既有客观题， 又有主观题其中客观题主要是空又有主观题其中客观题主要是空 间线、面位置关系的判定如间线、面位置关系的判定如2012 年重庆年重庆t9，陕西，陕西t5等主观题中往等主观题中往 往作为其中一问来考查，如往作为其中一问来考查，如2012年年 陕西陕西t18，安徽，安徽t18(1)等等2.公理和定理一般不单独考查，而是公理和定理一般不单独考查，而是 作为解题过程中的推理依据作为解题过程中的推理依据.1.理解空间直线、平理解空间直线、平 面位置关系的

2、定义面位置关系的定义2.了解四个公理和等角了解四个公理和等角 定理，并能以此作为定理，并能以此作为 推理的依据推理的依据3.能运用公理、定理和能运用公理、定理和 已获得的结论证明一已获得的结论证明一 些空间图形的位置关些空间图形的位置关 系的简单命题系的简单命题.怎怎 么么 考考考考 什什 么么归纳归纳知识整合知识整合 1四个公理四个公理 公理公理1：如果一条直线上的：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这在一个平面内，那么这条直线在此平面内作用：可用来证明点、直线在平面内条直线在此平面内作用：可用来证明点、直线在平面内 公理公理2：过：过 的三点，有且只有一个平的三点，有且只有一个平面面 作

3、用：作用：可用来确定一个平面；可用来确定一个平面；证明点线共面证明点线共面 公理公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们们 过该点的公共直线作用：过该点的公共直线作用：可用来确定可用来确定两个平面的交线；两个平面的交线；判断或证明多点共线；判断或证明多点共线；判断或证明多判断或证明多线共点线共点两点两点不在一条直线上不在一条直线上有且只有一条有且只有一条 公理公理4：平行于同一条直线的两条直线：平行于同一条直线的两条直线 作作用：判断空间两条直线平行的依据用：判断空间两条直线平行的依据 探究探究1.平面几何中成立的有关结论在空间立体几何平面几

4、何中成立的有关结论在空间立体几何中是否一定成立？中是否一定成立？ 提示：不一定例如，提示：不一定例如，“经过直线外一点有且只有一经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直条直线和已知直线垂直”在平面几何中成立，但在立体几在平面几何中成立，但在立体几何中就不成立而公理何中就不成立而公理4的传递性在平面几何和立体几何中的传递性在平面几何和立体几何中均成立均成立互相平行互相平行2直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系平行平行相交相交任何任何 (2)异面直线所成的角异面直线所成的角 定义：设定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点是两条异面直线，经过空间中任一点o作直线作直线aa，bb，把，

5、把a与与b所成的所成的_ 叫做异面直线叫做异面直线a与与b所成的角所成的角(或夹角或夹角)锐角锐角(或直角或直角) (3)定理定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角角 探究探究2.不相交的两条直线是异面直线吗？不相交的两条直线是异面直线吗？ 提示：不一定，不相交的两条直线可能平行，也可能提示：不一定，不相交的两条直线可能平行，也可能异面异面 3不在同一平面内的直线是异面直线吗？不在同一平面内的直线是异面直线吗？ 提示：不一定，不在同一平面内的直线可能异面，也提示：不一定，不在同一平面内的直线可能异面，也可能平行可能平行相等或互补相等

6、或互补3空间直线与平面、平面与平面的位置关系空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言图形语言符号语言符号语言公共点公共点直线直线与平与平面面相交相交aa 个个平行平行a 个个 在平面内在平面内a 个个平面平面与平与平面面平行平行 个个相交相交l 个个10无数无数0无数无数自测自测牛刀小试牛刀小试1(教材习题改编教材习题改编)下列命题：下列命题：经过三点确定一个平面；经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重

7、合其中正确命题的个数是其中正确命题的个数是 ()a0 b1c2 d3解析：对于解析：对于，未强调三点不共线，故，未强调三点不共线，故错误；错误；正确；正确；对于对于，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故定三个平面，故正确；对于正确；对于，未强调三点共线，则，未强调三点共线，则两平面也可能相交，故两平面也可能相交，故错误错误答案：答案：c答案：答案：d2(教材习题改编教材习题改编)分别在两个平面内的两条直线的位分别在两个平面内的两条直线的位置关系是置关系是 ()a异面异面 b平行平行c相交相交 d以上都有可能以上都有可能解析：由直线、平

8、面的位置关系分析可知两条直线解析：由直线、平面的位置关系分析可知两条直线相交、平行或异面都有可能相交、平行或异面都有可能3如果如果a，b，laa，lbb，那么下列关系，那么下列关系 成立的是成立的是 ()al bl cla dlb解析：解析：a ，laa，a，al，同理，同理b，bl，l.答案：答案：a4若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成个平面把空间分成_个部分个部分解析：三个平面解析：三个平面，两两相交，交线分别是两两相交，交线分别是a，b，c，且，且abc，则，则，把空间分成把空间分成7部分部分答案：答案：75如图所

9、示，在正方体如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，中，e、f分别是分别是ab，ad的中点，则异的中点，则异面直线面直线b1c与与ef所成的角的大小为所成的角的大小为_解析：连接解析：连接b1d1，易证，易证b1d1ef，从而，从而d1b1c即为异即为异面直线面直线b1c与与ef所成的角，连接所成的角，连接d1c，则，则b1d1c为正为正三角形，故三角形，故d1b1c60.答案：答案：60平面的基本性质及应用平面的基本性质及应用 例例1以下四个命题：以下四个命题： 不共面的四点中，其中任意三点不共线；不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点若点a、b、c、d共面，点共面，点a、b、c、

10、e共面，则点共面，则点a、b、c、d、e共面；共面； 若直线若直线a、b共面，直线共面，直线a、c共面，则直线共面，则直线b、c共面；共面； 依次首尾相接的四条线段必共面依次首尾相接的四条线段必共面 其中正确命题的个数是其中正确命题的个数是 () a0 b1 c2 d3 自主解答自主解答正确，可以用反证法证明；正确，可以用反证法证明；不正确，不正确，从条件看出两平面有三个公共点从条件看出两平面有三个公共点a、b、c，但是若，但是若a、b、c共线则结论不正确；共线则结论不正确；不正确，共面不具有传递性；不正确，共面不具有传递性；不正确，空间四边形的四条边不在一个平面内不正确，空间四边形的四条边不

11、在一个平面内 答案答案b由所给元素确定平面的关键点由所给元素确定平面的关键点 判断由所给元素判断由所给元素(点或直线点或直线)确定平面时，关键是分确定平面时，关键是分析所给元素是否具有确定唯一平面的条件，如不具备，析所给元素是否具有确定唯一平面的条件，如不具备，则一定不能确定一个平面则一定不能确定一个平面 1下列如图所示是正方体和正四面体，下列如图所示是正方体和正四面体，p、q、r、s分别分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_解析：解析：中可证四边形中可证四边形pqrs为梯形；为梯形；中，如图所示取中，如图所示取a1a与与bc的中点为的中点为m、n，可证

12、明，可证明pmqnrs为平面图形，为平面图形，且且pmqnrs为正六边形为正六边形中可证四边形中可证四边形pqrs为平行四为平行四边形；边形；中，可证中，可证q点所在棱与面点所在棱与面prs平行，因此，平行，因此，p、q、r、s四点不共面四点不共面答案：答案：(1)证明：四边形证明：四边形bchg是平行四边形；是平行四边形；(2)c，d，f，e四点是否共面？为什么？四点是否共面？为什么？本例条件不变，如何证明本例条件不变，如何证明“fe、ab、dc共点共点”？证明共面问题的常用方法证明共面问题的常用方法 纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在

13、此平面内在此平面内 辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证，再证明其余元素确定平面明其余元素确定平面，最后证明平面，最后证明平面、重合重合2如图所示，正方体如图所示，正方体abcda1b1c1d1中，中，e、f分别是分别是ab和和aa1的中点求证：的中点求证：(1)e、c、d1、f四点共面；四点共面；(2)ce、d1f、da三线共点三线共点证明：证明：(1)连接连接ef，cd1，a1b.e、f分别是分别是ab、aa1的中点，的中点，efba1.又又a1bd1c，efcd1，e、c、d1，f四点共面四点共面(2)efcd1，efcd1，ce与与d1f必

14、相交，设交点为必相交，设交点为p，则由则由pce，ce平面平面abcd，得得p平面平面abcd.同理同理p平面平面add1a1.又平面又平面abcd平面平面add1a1da，p直线直线da.ce、d1f、da三线共点三线共点 空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系例例3如图，在正方体如图，在正方体abcda1b1c1d1中，中，m，n分别是分别是bc1，cd1的中点，则下列判断错误的是的中点，则下列判断错误的是()amn与与cc1垂直垂直bmn与与ac垂直垂直cmn与与bd平行平行dmn与与a1b1平行平行自主解答自主解答由于由于mn与平面与平面dcc1d1相交于相交于n点，点，d1c1

15、平面平面dcc1d1，且，且c1d1与与mn没有公共点，所以没有公共点，所以mn与与c1d1是异面直线又因为是异面直线又因为c1d1a1b1，且，且a1b1与与mn没没有公共点，所以有公共点，所以a1b1与与mn是异面直线，故选项是异面直线，故选项d错误错误答案答案d 异面直线的判定方法异面直线的判定方法 (1)定义法：依据定义判断定义法：依据定义判断(较为困难较为困难)； (2)定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使此结论可作为定理使用用) (3)反证法：先假设两条直

16、线不是异面直线，即两直反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.3已知空间四边形已知空间四边形abcd中，中，e、h分别是边分别是边ab、ad的中的中点，点，f、g分别是边分别是边bc、cd的中点的中点(1)求证：求证：bc与与ad是异面直线；是异面直线；(2)求证：求证：eg与与fh相交相交证明：证明：(1)假设假设bc与与ad共面，不妨设它们所共平面为共面，不妨设它们所共平面为，则，则b、c、a、d.所以四边形所以

17、四边形abcd为平面图形，这与四边形为平面图形，这与四边形abcd为空间四边形相矛盾所以为空间四边形相矛盾所以bc与与ad是异面直线是异面直线(2)如图，连接如图，连接ac，bd，则，则efac，hgac，因此，因此efhg；同理；同理ehfg，则，则efgh为平行四边形为平行四边形又又eg、fh是是 efgh的对角线，的对角线，所以所以eg与与hf相交相交.异面直线所成的角异面直线所成的角 例例4(2012银川模拟银川模拟)如图所示，在正方体如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，中， (1)求求a1c1与与b1c所成角的大小；所成角的大小； (2)若若e、f分别为分别为ab、ad的中

18、点，求的中点，求a1c1与与ef所成所成角的大小角的大小 自主解答自主解答(1)如图，连接如图，连接ac、ab1，由由abcda1b1c1d1是正方体，知是正方体，知aa1c1c为平行四边形，所以为平行四边形，所以aca1c1，从而，从而b1c与与ac所成的角就是所成的角就是a1c1与与b1c所成的角所成的角由由ab1acb1c可知可知b1ca60， 即即a1c1与与b1c所成角为所成角为60. (2)如图，连接如图，连接bd，由，由aa1cc1，且，且aa1cc1可知可知a1acc1是平行四边形，所以是平行四边形，所以aca1c1. 即即ac与与ef所成的角就是所成的角就是a1c1与与ef所

19、成的角所成的角 因为因为ef是是abd的中位线，所以的中位线，所以efbd. 又因为又因为acbd，所以，所以efac，即所求角为，即所求角为90.求异面直线所成角的步骤求异面直线所成角的步骤平移法求异面直线所成角的一般步骤：平移法求异面直线所成角的一般步骤：4已知三棱锥已知三棱锥abcd中，中，abcd，且直线，且直线ab与与cd成成60角，点角，点m、n分别是分别是bc、ad的中点，求直线的中点，求直线ab和和mn所成的角所成的角men为异面直线为异面直线ab与与cd所成的角所成的角(或补角或补角)，且，且men为等腰三角形为等腰三角形当当men60时，时，emn60，即异面直线，即异面直

20、线ab和和mn所成的角为所成的角为60.当当men120时，时，emn30，即异面直线，即异面直线ab和和mn所成的角为所成的角为30.直线直线ab和和mn所成的角为所成的角为60或或30. (1)“不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交 (2)不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线直线为异面直线 (3)异面直线的公垂线有且仅有一条异面直线的公垂线有且仅有一条 (1)平移法：即选点平移其中一条或两条直

21、线使其转平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法 (2)补形法：即采用补形法作出平面角补形法：即采用补形法作出平面角 (1)证明共面问题一般有两种途径：证明共面问题一般有两种途径： 首先由条件中的部分线首先由条件中的部分线(或点或点)确定一个平面，再证其他确定一个平面，再证其他线线(或点或点)在此平面内；在此平面内； 将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合两个平面重合 (2)证明共线问题一般有两种途径：证明共线问题一般有两种途径：

22、先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上； 直接证明这些点都在同一条特定直线上直接证明这些点都在同一条特定直线上 (3)证明共点问题常用方法：先证其中两条直线交于一点，证明共点问题常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点再证其他直线经过该点.易误警示易误警示求解线线角中忽视隐含条件而致错求解线线角中忽视隐含条件而致错 典例典例(2013临沂模拟临沂模拟)过正方体过正方体abcda1b1c1d1的顶点的顶点a作直线作直线l，使，使l与棱与棱ab，ad，aa1所成的角都相等，所成的角都相等，这样的直线这样的直线l可以作可以作 (

23、) a1条条 b2条条 c3条条 d4条条答案答案d 1易忽视异面直线所成的角，且没有充分认识正方易忽视异面直线所成的角，且没有充分认识正方体中的平行关系而错选体中的平行关系而错选a. 2求解空间直线所成的角时，还常犯以下错误：求解空间直线所成的角时，还常犯以下错误： (1)缺乏空间想象力，感觉无从下手；缺乏空间想象力，感觉无从下手； (2)忽视异面直线所成角的范围忽视异面直线所成角的范围答案：答案：90“演练知能检测演练知能检测” ” 见见“限时集训限时集训（四十四）（四十四）”1平面平面、的公共点多于两个，则的公共点多于两个，则、垂直垂直、至少有三个公共点至少有三个公共点、至少有一条公共直线至少有一条公共直线、至多有一条公共直线至多有一条公共直线以上四个判断中不成立的个数是以上四个判断中不成立的个数是 ()a0 b1c2 d3解析：由条件知，平面解析：由条件知，平面与与重合或相交，重合时，公共重合或相交，重合时，公共直线多于一条，故直线多于一条，故错误；相交时不一定垂直，故错误；相交时不一定垂直，故错错误误答案：答案：c2如图，在四面体如图，在四面体abcd中，截面中，截面pqmn是正方形，则是正方形，则在下列命题中，错误的为在下列命题中，错误的为()aacbdbac截面截面pqmncacbdd异面直线异面直线pm与与bd所成的角为