微积分学基本公式

1、记记,max21nxxx ，bxxxxxann 1210在在各各小小区区间间上上任任取取作作和和iinixfS )(1 ， 一一. 定积分的定义定积分的定义1. 分割分割2. 作和作和3. 取极限取极限 badxxf)(iinixf )(lim10 在在区区间间, ba上上的的 定定积积 分分，记为记为二二. .定积分的性质定积分的性质 babadxxfkdxxkf)()(2. bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()( badxxf)( bccadxxfdxxf)()(. 3.3.积分对区间的可加性积分对区间的可加性则则 )()()(abMdxxfabmba . .如如果果函函

2、数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 5.5.定积分中值定理定积分中值定理积分中值公式积分中值公式y=f(x)aboxy )(f)(d)(abfxxfbaxadttfx )()( )( )()( bxaxfdttfdxdxxa三、原函数存在定理三、原函数存在定理变限积分求导变限积分求导: :bxttfxd)(dd?d)(dd)(xattfxxattfxd)(dd)(xf?d)(dd)()(xxttfx问：问： 变限积分求导变限积分求导: :)(xfbxttfxd)(d

3、dbxttfxd)(ddxbttfxd)(dd)(xf)()(xxf)(d)(ddxattfx)d)(dd)(uaxuttfxdxduttfuua)d)(dd)(d)(ddxattfx)()(xxf)()(d)(ddxxttfx)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx)(d)(ddxattfx)(d)(xattf)()()()(xxfxxf)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf例例1 xatdt)sin(=？ 2)(xadttf=？ 2)d)sin(2xextt=？ 2)d)sin(2xextt4sin2xx xatdt)sin(xsin 2)(xadttf2x)(2

4、xf 20202)d)sin(d)sin(xettttxxxee22sin 020tanlim xxt dtxxdttxx020cos lim例例3 3 求求.lim21cos02xdtextx 例例3 3 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cosxex 21cos02limxdtextx xxexx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.定理定理3.33.3（微积分基本公式）（微积分基本公式）如如果果)(xF是是连连

5、续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已知已知)(xF是是)(xf的一个原函数，的一个原函数，CxxF )()(,bax 证证四、牛顿四、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式).()()(aFbFdxxfba 令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ),()()(aFdttfxFxa 令令 bx牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式CxxF )()()()()(aFbFdxxfba 微积分基本公式

6、表明：微积分基本公式表明： baxF)( 一一个个连连续续函函数数在在区区间间,ba上上的的定定积积分分可可用用它它的的任任意意一一个个原原函函数数在在区区间间,ba端端点点上上的的值值来来表表示示. 注意注意当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.例例4 4 求求 .) 1sincos2(20 dxxx例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 解解例例5 5 设设 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf例例5 5 设设 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102

7、120)()()(dxxfdxxfdxxf102152dxxdx. 6 xyo12例例6 6 求求 .1122dxx 例例6 6 求求 .1122dxx 解解21)1(112122 xdxx202cos1dxx202cos1dxx解：原式20sindxx20)sin(sindxxdxx20coscosxx4cos2cos0coscos3.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfx )()()(aFbFdxxfba 四、小结四、小结牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之

8、间的关系之间的关系, )()(, ,)(xfxFbaCxf且设则有则有xxfbad)(积分中值定理积分中值定理( )()baF)()(aFbF微分中值定理微分中值定理()afb牛顿牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式一一、 填填空空题题：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ . .4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2xxxxxf . . 练练 习习 题题 5 5、 94

9、)1(dxxx_ . . 6 6、 33121xdx_ . . 7 7、 xdttxx020coslim_ . . 二、二、 求导数：求导数：1 1、 设函数设函数)(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所确所确定，求定，求dxdy ；2 2、 设设 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求22dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、设、设 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 三三、 计计算算下下列列各各定定积积分分：1 1、 2122)1(dxxx; ; 2 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; ; 4 4、 20sindxx . .四、四、 求下列极限：求下列极限：1、 xtxtxdtedte022022)(lim; 2、2502021)cos1(limxdttxx .一、一、1 1、0 0； 2 2、)()(afxf ； 3 3、)1ln(23 xx ； 4 4、65； 5 5、(1)(1) ,； (2)0,0 (2)