度量空间的定义与极限

1、度量空间的定义与极限作者：日期：第一章度量空间若在实数集 R中点列xn的极限是 x时，我们使用|Xix |来表示xn和x的接近程度，事实上，|xnx |可表示为数轴上xn和x这两点间的距离，那么实数集 R中点列xn收敛于x也就是指x.和x之间的距离随着 n而趋于o，即lim d(xn,x) 0 . 于是人们就想1n在一般的点集 X中如果也有“距离，那么在点集 X中也可借这一 “距离来定义极限，而究竟什么是“距离”呢 ？或者说“距离的本质是什么 ？诗人顾城的一首诗远和近对距离的感受又如何呢？远和近你一会看我一会看云我觉得你看我时很远你看云时很近这首诗诗似乎是纯理性的，十分冷静，但细细品味，其中暗

2、暗催动着一股热流：呼唤一种相互理解、相互信任、和谐融洽的人际关系.现实距离和心理距离并不总是一致的.现实距离很远，但心理距离却可能很近 ，海内存知己，天涯若比邻即是此意.也可能现实距离很近，而心理距离却很远，所谓 咫尺天涯大概就是指此而言了.那么如何给出距离这一概念？1.1度量空间的定义与极限1. 1.1度量空间的定义与举例定义1.1.1设X为一非空集合.若存在二元映射 d : X XR,使得x, y,z X，均满足以下三个条件:Po s itivity )；(1)d (x, y) 0,且d(x,y) 0当且仅当x y (非负性(2)d(x,y) d(y,x)(对称性Sy mme t ry);

3、 d(x,z) d(x, y)d(y,z) (三角不等式 Tria ng 1 e inequalit y ),则称d为X上的一个距离函数称 (X,d) 为距离空间 或度量空间(Metic Spa ce s), d(x,y) 称为x和y两点间的距离.口注1：在不产生误解时,(X ,d)可简记为X .下面我们来看一些具体的例子1.1.1欧氏空间Rn .Rn (x,X2,|,xn)|Xi R,i 1,2，川,n,定义nd(x, y)(Xiyi)2 .i 1其中x(X1,X2,|,xn),y (y1,y2,在证明之前，引入两个重要的不等式 .11, yn)Rn，可以验证(Rn, d)是一个度量空间.引

4、理1.1.1 (许瓦兹(Schw arz)不等式)任给2n个实数ai,a2,|,an,b,b2,|,bn,有n ；(1.1)(ai2/( b2)i 1证明任取实数，则由知右端二次三项式的判别式不大于零，0即n(ai 1bi)2n2i 1bi22nnaba2i 1i 12nn -n2aibi4b 1a20i 1i 1i 1于是可得(1.1)式成立.进一步有H ?lder不等式nn1n1n_ n_i ii ii i1 1其中p,q 1且一 1,称这样的两个实数p,q为一对共轭数.p q引理1 .1.2闵可夫斯基(M in k ow sk i)不等式的和形式 任给2n个实数1n2(aibi)2a1

5、, a2|，an 及 b，b2，|,bn，有1n 22ai 1(1.2)证明由(1.1)式得nn23inn(3ib)22 abb2i 1i 1i 1i 11 1nnn2n23i22.2aibb2i 1i 1i 1i 111 2n2na21：b2i 11i 1i 1n丄(a b k)ki 1R,i 1,2，川,n,定义 k 1这就证明了 (1.2)式.进一步可有 Minkows ki不等式的一般形式，其中k 1n 丄 n 1 (ai|kNbi|k)ki 1i 1例 1.1.1 欧氏空间 Rn.设 Rn(X1,X2,|,Xn)|Xd (x, y)(1.3)其中 x(为必,|,人)，y (y,y2,

6、|,yn)Rn，可以验证(Rn, d)是一个距离函数.证明 非负性(1)和对称性(2)显然成立，下面仅验证(3)也成立.对于任意的 z(乙乙,川,厶)Rn,由闵可夫斯基不等式(1. 2)有yiyii 1即 d(x, z)d(x, y) d(y, z).从而得证d是一个距离函数.注2 :称(Rn, d)为n维欧氏空间，d称为欧氏距离或标准欧氏距离今后若不作特殊申明，凡提到度量空间Rn，均指由(1. 3 )式的欧氏距离所定义的.注3:在nR中我们还可以定义其他的距离:d1(x,y) max|Xk yk | ；d2（x,y）|Xkykk 1可以验证距离 di、d2均满足条件（1 ）、（2 ）和（3

7、）.2注4：在r中比较上述三种距离 d、d1和d2,可看看他们各表示什么？由此知道，在一个集合上，定义距离的方法可以不止一种 .但务必注意的是，由于定义的距离不同， 所以即使基本集相同，也应视他们为不同的度量空间. 下面的例子说明任何一个集合上均可定义距离，使其成为度量（距离）空间.例1. 1.2离散度量空间设X为非空集合,X, y X，定义距离0当xy时do（x,y）（）1当xy时容易验证d0满足距离的三个条件，并称之为离散距离,（X ,d0）为离散度量空间.例1. 1.3连续函数空间 Ca,bCa,b f :a,b R| f 连续 , f ,g Ca,b,定义d(f,g)吓佥|飞)g(t)

8、|，t a,b证明 显然d满足非负性(1 )和对称性(2),下面验证(3)也成立.f(t),g(t),h(t) Ca,b及 t a,b均有|f(t) h(t)| |f(t) g(t)| |g(t) h(t)|max| f (t) g(t)| max|g(t) h(t) |t a,bt a,bd(f,g) d(g,h)，故 d(f ,h) max| f(t) h(t)| d( f, g) d(g, h).称(Ca,b, d) 为连续函数空间，简记为Ca, b .t a,b注5:在 Ca,b 中我们还可以定义如下的距离：bddf,g) a f(x) g(x) dx .可以验证d,均满足条件（1）、

9、（2）和（3 ），所以 （Ca,b,dJ 也为一度量空间.例 1. 1.4有界数列空间|l x (X!,X2, 1 ,xj 1)(X ) | sup| Xi |，对于 Xi 1(X)，y (yi)l ，定义d(x,y) sup | Xii 1y |，可以验证d是一个距离函数，并称（l例1. 1.5 p次幂可和的数列空间|p,d)为有界数列空间，简记为l .lpx(X,X2, 1 ,斗,川)(X)|i|x|p1,1 px (Xi),y (yi) lp，定义1dp(x, y)|xi 1y|p P(1.5)（1.5）式是有意义的，因为由闵可夫斯基不等式及lp的定义知其右端有界.可以证明dp是一个距离

10、函数称 （l p,dp）为p次幂可和的数列空间，简记为l P.例1.1.6 p次幂可积函数空间 Lpa,b (p 1)LPa,b f (t) | f(t) |p 在a,b上L可积Lpa,bf(t)| a,b| f(t)|pdt在Lpa,b中，我们把几乎处处相等的函数视为同一函数.对于f ,g Lpa,b，定义距离1d(f,g)(爲 f(t) g(t)lpdtf那么(Lpa,b,d)为度量空间.并称(Lpa,b,d)为p次幂可积函数空间，简记为Lpa,b.分析 集合Lpa, b具有下列重要性质：(1)对线性运算是封闭的.即若f , gLpa,b,是一常数f Lpa,b,，则f g Lpa,b.(

11、2)Lpa,bLa,b(p 1).设 fLpa,b 令 A E(| f | 1),B E(|f |b| f dma1)，Ea,b,则A| f dm B| f dm(b a)| f |pdmA 11(b a)b p| f | dma故 f L(a,b) 引理1.1.3闵可夫斯基(Mink owsk i)不等式(积分形式):f(x) g(x)kdxg(x)是可测集E1dxk上的可测函数且 k 11k Tg(x) dx k(1 .6)证明因为d(f,g)bpa| f(t) g(t)| dt1f(x)pdx?g(x)dx所以(1.6 )式有意义.显然非负性(1)和对称性(2 )成立，下面验证三角不等式

12、(3)也成立.对于任意的f (x), g (x), z(x)LPa,b有d(f,g)b| f(t)a1p 7g(t)| dtb| f(t)az(x)z(x)pg (t) | dtE f(x) z(x) pdx1z(x) g(x)p dxd(f,z) d(z,g) 上述例子涉及到常用的六个度量空间：n维欧氏空间 (Rn,d) ；离散度量空间 (x,d) ;连续函数空间 C a, b ;有界数列空间I ; P次幕可和的数列空间|p ； p次幕可积函数空间 (Lpa,b,d).1. 1.2度量空间中的极限极限理论是数学分析的基础，数学分析主要研究微分和积分,而极限又是微积分学大厦的基石，在数学分析中

13、,利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分等概念，可见极限思想贯穿于整个数学分析课程，它也是高等数学必不可少的一种重要思想.同样地,在度量空间中也可定义极限，而且分析中的数列极限可看成下列度量空间中点列极限的特例.定义1.1.2设(X, d)是度量空间，X X,Xn是X中点列,lim d (Xn, x)n0，则称点列 Xn 收敛于X，称 X为点列 Xn的极限.记作lim xnnx(n)或Xnx(n ). xn 收敛于X用“散.N 语言描述是：0, N，当n N时，恒有d (xn, x) 成立.若点列xn不收敛，则

14、称其发例1.1.7 设X是实数集,数列xn 1(nn n1,2dll).若在X上定义欧氏距离d(x,y)|x y|(X,y X),显然，数列 Xn 在度量空间(X,d) 中收敛于0.若在X上定义离散距离do(X,y)0,x1,xy(x,y X),y则数列 Xn 在度量空间 (X,do) 中是发散的.1因为对任意给定的XoX，只要_nXo，就有 d0 1,xn1，所以无论n多么大，有lim d0n可见数列 Xn 不收敛于X).虽然 (X,du) 与(X,d0)有共同的基本集 X，但由于定义的距离的不同，它们是两个不同的度量空间,可见同一点列xn在一个度量空间中收敛，在另一度量空间中却发散.口定义

15、1. 1. 3 设(X,d)为度量空间，A X，若将距离限制在 A A上，显然A也是一个度量空间，称作X的子空间. 若x X ,A X，则点x到A的距离定义为：d(X,A)infA d(x,y)(1 . 7)集合A的直径定义为:diaAsup d(x,y)x,y A(1.8)若diaA有限，则称 A为有界集；若diaA，则称A为无界集.在离散度量空间(R,d。)中点X0A , A R,那么d (Xd , A)和diaA分别是多少？显然(1)当A是单点集时，有d (x。, A)1及diaA 0;(2)当A不是单点集时，有d(Xj, A) 1及diaA 1.定理i.i .1极限的性质 设(X,d)

16、是度量空间，Xn是X中的一个点列.(1)若点列Xn收敛,则其极限唯一；Xo(k);(2)若点列xnx：)(n)，则xn的任何子列xnk(3)若收敛点列Xn看作是X的子集，则它是有界的.证明(i)设 Xnx(n )且 xn y(n)，由定义知:0,N，当n时，有叫，2，d(Xn，y)故当n时,我们有xnd(x,y) d(Xn,x) dX,y)的任意性知，d(X, y) 0,从而x y .(2 )设 XnX(n),Xnk是Xn的子列.XnX1,X2,X3,X4,X5,X6,X7 J|,Xn|,| Xnk : Xn1 ，xn3，由定义，x(k(3 )设 xn0,xo(nd(Xn，x)，故 d(Xnk

17、，X)，即d(Xn，X0)0当 n时，)maxd(x,X0),d(X2,X0),|,d(x 必),1d(Xn,Xm) d(Xn,X0)d(Xm,X) 2M .即 Xn作为点集有界例 1.1.8证明其中d(Xn,xo) Mn, m设 fn(X) 是连续函数空间 Ca,b(d(f ,g) max| f(t)t a,bg(t)l )中的点列，那么fn(x)fn(x)f(x)(nd(fn(x), f (x)于是 fn(x)f (x) (nfn(x) f (x) f(x) (函数列一致收敛)当且仅当 fn (x)f(x) (度量空间中的点列收敛).)等价于0,N，当n时，有 d(fn(x), f (x)，等价于 d(fn, f) max| fn(x)x a,bf(x)|.进一步等价于x a,b,有 | fn(x)f(x)|)等价于0,N ，当n 时，x a,b，有 | fn(x)f(x)|d(x,y)1 d(x,y)证明 显然非负性和对称性成立，下面仅证三角不等式