2021-2021版高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理(一)学案新人教B版选修1-2

1、2.1.1合情推理(一)【明目标、知重点】1. 了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理2 了解归纳推理在数学开展中的作用.2. 合情推理前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理3. 归纳推理根据一类事物的局部对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳).4. 归纳推理具有如下的特点(1) 归纳推理是从特殊到一般的推理;(2) 由归纳推理得到的结论不一定正确;(3) 归纳推理是一种具有创造性的推理.選要 情境导学佛教?百喻经?中有这样一那么故事.从前有一位富翁想吃芒果，打发他的仆人到果园去买，并 告诉他：“要甜的，好吃的，你才买.仆人拿好钱

2、就去了.到了果园，园主说：“我这里树上的芒果个个都是甜的， 你尝一个看.仆人说：“我尝一个怎能知道全体呢？我应当个个都 尝过，尝一个买一个，这样最可靠.仆人于是自己动手摘芒果，摘一个尝一口，甜的就都买回去.带回家去，富翁见了，觉得非常恶心，一齐都扔了想一想：故事中仆人的做法实际吗？换作你，你会怎么做？学习了下面的知识，你将清楚是 何道理.探究点一归纳推理的定义思考1在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断一一天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断一一张三生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯等，像上面的思维方式就是推

3、理，请问你认为什么是推理？答 根据一个或几个的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理思考2观察下面两个推理，答复后面的两个问题：(1)哥德巴赫猜测：6 = 3+ 38 = 3+ 510= 5+ 512= 5+ 714= 7+ 716= 5+ 111 000 = 29+ 9711 002 = 139 + 863猜测：任何一个不小于 6的偶数都可写成两个奇质数之和(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜测：一切金属都能导电问题：以上两个推理在思维方式上有什么共同特点？其结论一定正确吗？答共同特点：局部推出整体，个别推出一般.(这种推理称为归纳推理)其结论不一定正确探究点二归纳推理的应用例1数

4、列an的第1项a1 = 1,且an+1= 丑(n= 1,2,3，)，试归纳出这个数列的通1 + an项公式解当n= 1时,a1 = 1;1 1a2；1 + 1 2121a3=131 +2131a4=141 +3当n = 2时,当n = 3时,当n = 4时,通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出an= 1.反思与感悟归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜测).归纳推理在数列中应用广泛，我们可以从数列的前几项找出数列项的规律，归纳数列的通项公式或探求数列的前n项和公式跟踪训练1数列an满足ai= 1,

5、an+1= 2an+ 1(n= 1,2,3，)(1) 求 a2, a3, a4, a5；(2) 归纳猜测通项公式 an.解 (1)当 n= 1 时，知 a1 = 1,由 an+1 = 2an+1 得 a2= 3,a3= 7, a4 = 15, a5= 31.12(2)由 a1= 1 = 2 - 1, a2 = 3=2 - 1,345a3= 7 = 2 - 1, a4= 15= 2 - 1, &= 31 = 2 - 1,可归纳猜测出 an= 2n- 1( n N+).例2在法国巴黎举行的第 52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成假设干堆“正三棱锥形的展品，其中第 1堆只有一层，就一个球

6、；第 2,3,4，堆最底层(第一层)分别 按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，那么f(3) =; f( n)=(答案用含n的代数式表示).答案10n n+ 1 n+26解析观察图形可知:f(1) = 1 , f(2) = 4, f(3) = 10, f(4) = 20,，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数,即 f (2) = f(1) + 3 ； (3) = f(2) + 6;f (4) = f (3) + 10 ;；f (n) = f(n 1) +n+12n+ 12将以上(n- 1)个

7、式子相加可得f(n) = f (1) + 3+ 6+ 10 + +1 2 2 2=尹1 2 + 22 + n2) + (1 + 2 + 3+-+ n)1 1n n+ 1=小 n+ 1)(2 n+ 1) +n+ 2n n+ 1反思与感悟 解本例的关键在于寻找递推关系式：f(n) = f(n 1) + -_n2巴一，然后用“叠n项和加法求通项，而第一层的变化规律，结合图利用不完全归纳法可得，即为正整数前的变化规律.跟踪训练2在平面内观察:凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,凸六边形有9条对角线,由此猜测凸n(n?4且n N+)边形有几条对角线?解凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线，

8、比凸四边形多 3条,凸六边形有9条对角线，比凸五边形多 4条,于是猜测凸n边形比凸(n 1)边形多(n 2)条对角线因此凸n边形的对角线条数为2+ 3+4+ 5 + + (n 2) = *n(n 3)( n?4 且 n N+).当堂测欄查疑缺3,1. 2+ 3= 233+ 8 = 33，4+ 15 =,，右(a、b均为实数)请推测a=答案 635解析 由前面三个等式，发现被开方数的整数与分数的关系：整数和这个分数的分子相同,而分母是这个分子的平方减1，由此推测6+ :中，a= 6, b= 62 1 = 35. b2将全体正整数排成一个三角形数阵:7 8 91()1112131415按照以上排列的规律，第 n行(n?3)从左向右的第3个数为答案n2 n+ 62解析前n- 1行共有正整数1 + 2 + + (n 1)个,n2个,因此第n行第3个数是全体正整数中