北航水力学课件s2 第二章流体静力学

1、第二章第二章 流体静力学流体静力学第二章第二章 流体静力学流体静力学本章研究：本章研究：静止流体的平衡规律及其在工程上的静止流体的平衡规律及其在工程上的应用应用流体静止（平衡）流体静止（平衡）： 流体流体相对某一坐标系（惯性系或非惯性系相对某一坐标系（惯性系或非惯性系） 静止不静止不动动; ;或者或者说流体质点之间没有相对运动。说流体质点之间没有相对运动。 回顾：回顾： 作用力分类：分成质量力和表面力两大类作用力分类：分成质量力和表面力两大类1. 质量力质量力(体积力体积力)： 外力场作用在流体微团上的非接触力，与流体质量外力场作用在流体微团上的非接触力，与流体质量(或体积或体积)成正比成正比

2、，流体力学中一般只考虑地球吸引力，惯性力。流体力学中一般只考虑地球吸引力，惯性力。单位质量力：单位质量流体受到的质量力。单位质量力：单位质量流体受到的质量力。, , , RXiYjZkX Y ZR的投影量 nA 微面积元的法线方向 2. 表面力：作用在所取流体体积表面上的力，与作用的表面积大小成正表面力：作用在所取流体体积表面上的力，与作用的表面积大小成正比，是其它物体所直接施加的表面接触力比，是其它物体所直接施加的表面接触力 PA 微面积元上 所受的法向表面力 TA 微面积元上 所受的切向表面力一般分解为两部分：一般分解为两部分： FA 微面积元上所受的表面力法向应力：垂直于作用表面的分量法

3、向应力：垂直于作用表面的分量切向应力：平行于作用表面的分量切向应力：平行于作用表面的分量0limAPpA 0limATA 静止流体中没有切向力，只存在法向力，因此，定义静止流体中没有切向力，只存在法向力，因此，定义 法向应力为流体静压强法向应力为流体静压强。第二章第二章 流体静力学流体静力学2.12.1 流体静压强的特性流体静压强的特性 1 1、流体静压强垂直指向作用面；流体静压强垂直指向作用面； 2、流体静压强大小与所取作用面的方向无关、流体静压强大小与所取作用面的方向无关各向同性各向同性 第二章第二章 流体静力学流体静力学2-1-1 2-1-1 流体静压强垂直指向作用面流体静压强垂直指向作

4、用面 QQ 流体分子之间吸引力很小，流体质点间几乎不能承受拉力流体分子之间吸引力很小，流体质点间几乎不能承受拉力 如果存在如果存在 任何微小的切应力和拉力的话，液体就要流动，液体任何微小的切应力和拉力的话，液体就要流动，液体 的平衡将受到破坏，这与静止液体的前提不符。的平衡将受到破坏，这与静止液体的前提不符。 流体静压强方向只能沿着作用面的内法线方向流体静压强方向只能沿着作用面的内法线方向 第二章第二章 流体静力学流体静力学2-1-2 2-1-2 流体静压强大小与所取作用面的方向无关流体静压强大小与所取作用面的方向无关各向同性各向同性 流体静压强仅是空间位置和时间的标量函数，与所取作用面的方向

5、无流体静压强仅是空间位置和时间的标量函数，与所取作用面的方向无关关各向同性各向同性 证明：证明：如图所示，取一五面体如图所示，取一五面体(1)表面力：作用静止表面力：作用静止(或相对静止或相对静止)流体上无拉力和切力，表面力只有压力，流体上无拉力和切力，表面力只有压力，在左面上：在左面上：py d dx d d z 在底面在底面上：上：pz d dx d dy在斜在斜面上：面上：pn d dx d ds12微元体重量gx y zd d d(2)质量力：质量力：在左面上力ypx zd dsinnnnpxpx zspxzssddddd ddd 在斜面上力0在底面上力 0微元体达到平衡，ynpx z

6、px zd dd dQ ynppy在 方向：12质量力gx y zd d d0在左面上力cosnnnpxpx yspxyssddddd ddd 在斜面上力在底面上力zpx yd dz在 方向： Q 微元体达到平衡，则 znzzppddQ是小量，则可忽略， 10 2nzpx ypx ygx y zd dd dd d d10 2nzppgzdx yd d消去： pn是作用于斜面上的压强，该斜面倾角是作用于斜面上的压强，该斜面倾角 , , x, y, z轴的选择是任轴的选择是任意，该证明可扩展到意，该证明可扩展到z轴，即轴，即 px= py= pz = pn 又微元体很小，可认为是一点，这就证明了：

7、又微元体很小，可认为是一点，这就证明了： 任一点流体静压强的大小与作用面方向无关，只与该点的任一点流体静压强的大小与作用面方向无关，只与该点的位置有关，即位置有关，即 p = f(x, y, z) 静压强各向同性。静压强各向同性。 yznppp最后得：或者说压强值大小与作用面的方位无关或者说压强值大小与作用面的方位无关 P1P2P1= P2第二章第二章 流体静力学流体静力学2.22.2 欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程 1 1、欧拉平衡微分方程、欧拉平衡微分方程 2、重力作用下流体的压强分布规律、重力作用下流体的压强分布规律 2-2-1欧拉静平衡方程欧拉静平衡方程 在平衡流体中，任取一点在平衡

8、流体中，任取一点M(x, y, z) 的压强为的压强为p， 以以M为中心取一微小正六面体，各为中心取一微小正六面体，各边长边长dx, dy, dz。 对六面体建立外力平衡关系式，可得流体平衡微分方程式。作用对六面体建立外力平衡关系式，可得流体平衡微分方程式。作用于六面体上的外力：于六面体上的外力：1、表面力：沿、表面力：沿x轴向，作用于前面的压力：轴向，作用于前面的压力：, ,212ppdx dyddxp xy z dydzzx作用于后面的压力：作用于后面的压力：,212,ppddxp xy z dydx dydzxz( , , ), , ,222dxp x y z dxp dxp xy zp

9、 x y zpxx 222 . 1.2ff xxf xxxfxx泰勒公式：( , , ), , ,222dxp x y z dxp dxp xy zp x y zpxx2、质量力：、质量力：设作用于六面体单位质量力：（设作用于六面体单位质量力：（X, Y, Z）六面体质量力在六面体质量力在x轴的分力：轴的分力：X dxdydzx轴向力平衡方程：轴向力平衡方程：11-220ppdxppddydzxXdxdydzx dydzx: -0dxdydzpXx用除以上式: -0: -0: -0pxpypzZzXxYy 对 轴流体平衡微分方程式同样对 轴（欧拉平衡方程）同样对 轴0, 0ppXYxy(1)

10、如果 则特例：特例：0, 0pppXYZxyz(2) 如果 则表示：表示：压强在压强在x, y方向上无变化，则方向上无变化，则xy面是面是等压面等压面相等相等压强在压强在x, y, z三方向都无变化，表示流体空间各点压强三方向都无变化，表示流体空间各点压强表示：表示：把流体平衡微分方程改写为：把流体平衡微分方程改写为： pXxpYypZz结论：压强递增率的方向，就是结论：压强递增率的方向，就是如，静止液体，压强增加的方向，就是重力作用的垂直向下的方向。如，静止液体，压强增加的方向，就是重力作用的垂直向下的方向。单位质量力在各轴向分力的方向，单位质量力在各轴向分力的方向，即质量力作用的方向就是压

11、强递增的方向。即质量力作用的方向就是压强递增的方向。对不可压缩流体，对不可压缩流体， 为常数，将上方程中各式分别乘以为常数，将上方程中各式分别乘以dx, dy, dz后相加，得：后相加，得：pppXdxYdyZdzdxdydzdpxyz dpXdxYdyZdz pXxpYypZz2-2-2 重力作用下流体的压强分布规律重力作用下流体的压强分布规律代入式代入式 dp = (Xdx+Ydy+Zdz) = - gdz = -g gdz积分上式得：积分上式得：p = -g gz + c c：积分常数，由边界条件确定：积分常数，由边界条件确定如图，均匀液体：如图，均匀液体：容器：容器：开口开口液体密度：

12、液体密度： 容器和液体：容器和液体：静止静止流体所受质量力：流体所受质量力：重力重力单位质量力：单位质量力： X=0, Y=0, Z= -g在自由液面上：在自由液面上： z = H： p = po代入式：代入式：p = -g gz + c po= -g gH + c, c = po+ g gH再代入式：再代入式：p = -g gz + c p= po+ g g(H z) = po+ g gh在重力作用下：在重力作用下：静止液体内部压强的分布规律静止液体内部压强的分布规律(1) 液体内部压强随深度按液体内部压强随深度按线性线性规律变化规律变化(2)深度相同的各点，压强也相同，所以深度相同的各点，

13、压强也相同，所以等压面是水平面等压面是水平面。(3)静止液体中任一点压强静止液体中任一点压强p由由po和和g gh组成。组成。第二章第二章 流体静力学流体静力学 1212PPzzggPzcgz位置水头位置水头- 单位重力 液体所具有的位能，即单位位能Pg压强水头压强水头- - - 单位重力 液体所具有的压能， Pzg测压管水头测压管水头单位势能对于均质液体，密度为常数对于均质液体，密度为常数pzcg说明：说明：静止流体中任一点流体压力能和位能之和静止流体中任一点流体压力能和位能之和是一常数，压力能和位能可以互相转换，但总能是一常数，压力能和位能可以互相转换，但总能量不变量不变。是能量守恒定律在

14、流体静力学中的具体体现是能量守恒定律在流体静力学中的具体体现。 ppzczcgg 由 第二章第二章 流体静力学流体静力学【例题】 一封闭水箱如图所示，液面上压强一封闭水箱如图所示，液面上压强 ，求液面以下，求液面以下 处处A A点的压强。点的压强。解：解： 30120/pkNm0.4hm301209.8 0.4123.92/ApphkN mg第二章第二章 流体静力学流体静力学2.32.3 液体压强的测量液体压强的测量 2-3-12-3-1 绝对压强、相对绝对压强、相对压强、真空度压强、真空度 p p = = p po o+ + g gh hp po o 自由面上压强，对开口容器为大气压强自由面

15、上压强，对开口容器为大气压强p pa ag gh h 相对压强或表压：从大气压强量起的压强。相对压强或表压：从大气压强量起的压强。p p 绝对压强：从绝对真空量起的压强。绝对压强：从绝对真空量起的压强。第二章第二章 流体静力学流体静力学 绝对压强：绝对压强：以完全真空为基准算起的压强 相对压强：相对压强：以大气压强为基准算起的压强 真空度：真空度：绝对压强不足一个大气压的不足部分 理论上最大的真空度为一个大气压，事实上由于液体的压强降低，例如负压强值超过大气压的0.6 - 0.7倍时，液体将发生汽化，其连续性遭到破坏，所以最大的真空度约为（ 0.6 - 0.7 ）p 第二章第二章 流体静力学流

16、体静力学【例题】 求标准大气压的水柱高度和水银柱高度，其工程大气压的相对应值是多少？ 解: 一标准大气压 为 2101.3/kN matmp23101.3/10.33 ()9.8/atmpkN mhmkN mg水柱23m101.3/0.76760()133/atmpkN mhmmmkN mg水银柱第二章第二章 流体静力学流体静力学 解: 一工程大气压 为 298/kN map2398/10 ()9.8/apkN mhmkN mg水柱23m98/0.736736()133/apkN mhmmmkN mg水银柱第二章第二章 流体静力学流体静力学【例题】 水体某点压强产生8m的水柱高度，该点的相对压

17、强为多少？相当于多少工程大气压和标准大气压？解：该点的相对压强为 工程大气压的倍数 标准大气压的倍数 29.8 878.4/phkN mg78.40.898aappp78.40.774101.3atmatmppp第二章第二章 流体静力学流体静力学【例题】 一封闭水箱如图，箱内水面到N-N面的距离 ，N-N面到M点的距离 ，求M点的绝对压强和相对压强。箱内液面 为多少？箱内液面处若有真空，求出其真空值 。 10.2hm0p20.5hm第二章第二章 流体静力学流体静力学解：N-N为等压面， 2,2989.8 0.5102.9/abs MapphkN mg绝对压强绝对压强 相对压强相对压强 2,10

18、2.9984.9/Mabs MapppkN m或或229.8 0.54.9/MphkN mg第二章第二章 流体静力学流体静力学2,12()102.99.8(0.20.5)96.04/absabs MpphhkN mg箱内液面的绝对压强为箱内液面的绝对压强为 ，故有真空存在，其值为，故有真空存在，其值为absapp或或29896.041.96/vaabspppkN m219.8 0.21.96/vphkN mg 箱内液面高于箱外的测压管液面，说明有真空存在箱内液面高于箱外的测压管液面，说明有真空存在第2讲AB基准面hAhB测压管zZAoAPg2-3-22-3-2液体中某点压强的测量液体中某点压强

19、的测量-测压管测压管则压强可用测压管中则压强可用测压管中液柱的高度液柱的高度h h 来表示来表示由由PhgPhg由由Pzcg 可得可得Pzcg（常数）（常数） 重力场中均质流体平衡基本方程重力场中均质流体平衡基本方程 压强水头压强水头（headhead）或）或压强高度压强高度 PgPgZ Z 测压管水头测压管水头 或或 测压管高度测压管高度Z Z 位置水头位置水头 或或 位置高度位置高度第2讲任意两点任意两点 1212PPzzgg测压管高度不变测压管高度不变AB基准面hAhB测压管zZAoAPgBPgZ ZB BPg单位重量液体的单位重量液体的压力势能压力势能Z 单位重量液体的单位重量液体的重

20、力势能重力势能测压管高度不变测压管高度不变总势能不变总势能不变第2讲2-3-32-3-3 水银测压计水银测压计已知已知12, ,mmh h hg g求求,AoP PA基准面12hmh1h2gmg水 银 测 压 计P01mmPhg12PPQ212()oPPhhg1212()ommAommPhhhPPhhhggggg第二章第二章 流体静力学流体静力学 第四节第四节 静止流体对平面的作用力静止流体对平面的作用力在实际工程中，设计和分析挡水堤坝、路基、桥墩、闸门以及其他的水工设施的尺寸和强度时，不仅要分析建筑物某点净水压强的大小和分布，而且也要知道作用在建筑物上的总压力的大小、方向和作用点。 2.4.

21、1 解解析法析法 倾斜平板：倾斜平板：与水平面夹角与水平面夹角a a左上侧：左上侧：受水压力受水压力水面大气压：水面大气压：pa图中图形：图中图形：平面绕平面绕oy轴旋转轴旋转90o作用在平面上各点水静压强：作用在平面上各点水静压强：指向作用面，指向作用面，垂直作用面，垂直作用面，即相互平行即相互平行。可用平行力系求和原理求解。可用平行力系求和原理求解。受压平面上：受压平面上：任取一微小面积任取一微小面积dAdA中心位置：中心位置：在液面下深度在液面下深度h，用相对压强计算，用相对压强计算，整个面上作用着整个面上作用着同向平行力：同向平行力：sinsinAAAPdPydAydAgagadA上水

22、静压强：上水静压强： dA上水静压力：上水静压力： dP = pdA = g ghdA=g gysina adAp = g gh AAydAx 受压面 对 轴的面积静距由理论力学：它等于受压面积由理论力学：它等于受压面积A与其形心坐标与其形心坐标yc的乘积：的乘积：cAydAy AsinsincAccPydAy Ah Ap Agagaghc=ycsina A 受压面积受压面积pc 受压面形心在水下深度受压面形心在水下深度受压面形心处水静压强受压面形心处水静压强结论：结论：ccPh Ap Ag作用在任意位置、任意形状平面上的水静压力值等于作用在任意位置、任意形状平面上的水静压力值等于方向：方向：

23、沿着受压面的内法线方向沿着受压面的内法线方向。受压面积与其形心点所受水静压强的乘积。受压面积与其形心点所受水静压强的乘积。水静压力的作用点（水静压力的作用点（压力中心压力中心）：）：Q p=g gh，压强与水深成正比，深度越深，压强压强与水深成正比，深度越深，压强越大压力中心压力中心D在在y轴上的位置必轴上的位置必 低于形心低于形心c。力矩平衡原理：力矩平衡原理：各微小面积各微小面积dA A上水静压力上水静压力dP对对x轴轴力矩之和力矩之和整个受压面上的水静压力整个受压面上的水静压力P对对x轴的轴的力矩力矩sinAAAAydPy pdAyhdAyydAgga左边左边2 xAJy dAAx 受压

24、面面积 对 轴的惯性矩2sinsinxAy dAJgaga右边右边水静压力水静压力P对对x轴力矩轴力矩sinDcDcDcDPyp A yh A yyAyggaQQ左边右边，左边右边，即即 各分力对某轴的力矩合力对同轴力矩之和各分力对某轴的力矩合力对同轴力矩之和sin sinxcDxDcJyAyJyy AgagayD 压力中心压力中心D至至x轴的距离轴的距离2由平形移轴定理：xcxcJJy A 平面 对 轴惯性矩平面 对过形心 并与 轴平行轴的惯性矩xcxAxACxJJ2xcxcccDccxcJyyy AJJy Ay Ay A0 cxDccJyyDcy AQ说明压力中心点 总低于形心yD 压力中

25、心压力中心D至至x轴的距离轴的距离yc 受压面形心至受压面形心至x轴距离轴距离2.4.2 图解法：图解法： 主要用于求解主要用于求解矩形平面矩形平面上的水静压力问题。上的水静压力问题。 解析法：可求解解析法：可求解任意形状平面任意形状平面上的水静压力问题。上的水静压力问题。采用图解法：采用图解法：(1)能直接反映力的实际分布能直接反映力的实际分布 (2)有利于对受压结构进行结构计算有利于对受压结构进行结构计算图解法步骤：图解法步骤：(1)先绘水静压强分布图先绘水静压强分布图 (2)由这个分布图计算水静压力由这个分布图计算水静压力1、水静压强分布图、水静压强分布图由基本方程由基本方程 p = p

26、a+g gh，直接绘在受压面上表示各点压强直接绘在受压面上表示各点压强大小及方向的图形。大小及方向的图形。 画出平板画出平板AB上水静压强分布图：上水静压强分布图：根据压强与水深成直线变化的规律：根据压强与水深成直线变化的规律：B点：点：hB = H左侧左侧 ：pB = pa+g gH右侧右侧 ：pB = pa(1)定出定出A、B两点上压强：两点上压强：A点：点：hA = 0左侧：左侧：pA = pa右侧：右侧： pA = paAB左侧水静压强分布图：左侧水静压强分布图：ACDB受到大气压受到大气压pa的作用。的作用。大小相等，大小相等，方向相反，方向相反，正好抵消，正好抵消，对对AB面不产生

27、力学效应。面不产生力学效应。三角形三角形ABE：平行四边形平行四边形AEDC：水深引起的压强水深引起的压强g gh水面大气压水面大气压paAB右侧：右侧：由大气引起的压强，在两侧：由大气引起的压强，在两侧：在工程计算中，在工程计算中，只考虑相对压强的作用只考虑相对压强的作用，即水深所造成，即水深所造成的压强的压强g gh，也就是也就是水静压强分布图三角形水静压强分布图三角形ABE。2、由水静压强分布图计算水静压力、由水静压强分布图计算水静压力A点：点：在水面上在水面上B点：水下点：水下h处处AB：垂直矩形平面垂直矩形平面AABB矩形宽度：矩形宽度：b水静压强分布图：水静压强分布图：AEB， E

28、B = g gh由解析法，水静压力：由解析法，水静压力：P = g ghCA 2 矩形形心在水面下深度CAA B Bhh 1222ChPh Abhh bggg11222hhhgg 212Vbh bPg 水静压力分布图形面积：水静压力分布图形面积：结论：结论：作用于平面的水静压力水静压强分布图形的体积作用于平面的水静压力水静压强分布图形的体积水静压力分布图形体积：水静压力分布图形体积：3、求水静压力作用点、求水静压力作用点过水静压力分布图过水静压力分布图ABE的的形心形心，并位于，并位于对称面对称面上。上。D点在点在对称轴上对称轴上，位于，位于水面下水面下2/3h处。处。【例题】 一一铅直矩形闸

29、门，顶边水平，所在水深铅直矩形闸门，顶边水平，所在水深h1=1m，闸门高闸门高h=2m，宽宽b=1.5m，用解析法和图解法求水静压力用解析法和图解法求水静压力P的大小的大小及作用点。及作用点。解解：1.解析法：水静压力解析法：水静压力22 1.53()Ahbm矩形面积：水静压力水静压力:9810 2 358842()CPh ANg 矩形形心矩形形心C水深：水深：hCh1+1/2h=1+2/2 = 2(m)P = ghCA122.167( )2 3CDCCJhhmh A压力作用点压力作用点D在水面下深度：在水面下深度：hD2.167(m)DCCChhJh A压力中心 334111.5 21()1

30、212矩形对形心惯性矩CJbhm2. 图解法：图解法：步骤步骤1111122219810 22239228()2hhh hhhhN mgggg 39228 1.558842()PbN 3)水静压力水静压强分布图体积水静压力水静压强分布图体积2)水静压强分布图面积水静压强分布图面积：A点：点：B点：点：pA= g gh1 pB= g g(h+h1)1)画出水静压强分布图画出水静压强分布图最后，最后，过过E点作垂直于受压面的向点作垂直于受压面的向量量P，得交点得交点D 压力中心压力中心。求压力作用点：求压力作用点：(1)用作图法找到梯形形心用作图法找到梯形形心E(2)将梯形分成三角形和矩形将梯形分

31、成三角形和矩形总面积对某轴之矩总面积对某轴之矩三角形和矩形对同轴之矩之和三角形和矩形对同轴之矩之和1132矩形梯形三角形DhAhAhA第二章第二章 流体静力学流体静力学 第五节第五节 静止流体静止流体对曲面对曲面的作用力的作用力 曲面各点的切平面上的内法线方向不同，因此不能进行简单的积分求合力的分析。 第二章第二章 流体静力学流体静力学2.5.1 2.5.1 总压力的大小、方向、作用点总压力的大小、方向、作用点 柱体曲面：柱体曲面：受压曲面受压曲面AB：垂直于纸面柱体垂直于纸面柱体垂直纸面长度：垂直纸面长度：b左侧受水静压力：左侧受水静压力：垂直于垂直于AB曲面曲面分为分为垂直分力垂直分力 水

32、平分力水平分力作用在作用在dA上水静压力：上水静压力：dP = pdA =g ghdAdP：垂直于面积垂直于面积dA，与水平面夹角与水平面夹角 ，dP分解为：分解为：sinsinsincoscoscosxzdPdPhdAh dAdPdPhdAh dAgggg垂水直分力：平分力微元面积微元面积A：在曲面在曲面AB上上，水深水深h处处dA在垂直面上投影：在垂直面上投影：dAz= dAcos dPx= gh(dAcos) = ghdAz dPz = gh(dAsin) = ghdAxdA在水平面上投影：在水平面上投影：dAx= dAsin zzxxxzAzxzzAxAxAPdPhdAdPPhddAA

33、dhh Agggg积分上式：积分上式：zzAhdA 曲面曲面AB在铅直平面上投影面积在铅直平面上投影面积Az 对对水面的水面的水平轴水平轴y的静矩的静矩hc Az的形心在水面下深度的形心在水面下深度zzczAhdAh AxczPh Ag 类比：cAydAy APx 部分：部分：xczPh Ag结论：结论： 作用作用曲面曲面上水静压力上水静压力P的的水平分力水平分力Px = 该曲面该曲面边界线边界线在在铅直投影面上的水静压力铅直投影面上的水静压力。即：可以用平面水静压力即：可以用平面水静压力P的求解方法求曲面水静压力的的求解方法求曲面水静压力的水平分力。水平分力。 Pz部分：部分： hdAx 底

34、面积底面积dAx，柱体积高柱体积高hxxAhdA柱体体积柱体体积ABCD，受压曲面，受压曲面AB与其在自由与其在自由面上的面上的投影面积投影面积CD这两个面这两个面之间的体积之间的体积 压力体积xxAVhdA xzxAPhdAVgg结论：作用于结论：作用于曲面曲面水静压力水静压力P的的铅直分力铅直分力Pz 其其压力体内的液体重量压力体内的液体重量zP的作用线通过该压力体的重心22xzPPPP的作用线过xP和zP的交点P的作用线与曲壁的交点,即为合力在曲壁上的作用点 ozxFxFzF 总压力p的作用线必通过 和 交点M，但M点不一定在曲面上，P的作用线与曲面的交点即为总压力的作用点。 对于不规则的曲面，不存在单一的合力，其分力也可能不在一个平面上。 xPzP第二章第二章 流体静力学流体静力学2.5.2 2.5.2 压力体压力体 压力体是压力体是三种面三种面所封闭的体