第5章滑模变结构控制PPT学习教案

1、会计学1第第5章滑模变结构控制章滑模变结构控制4 4）进入）进入2020世纪世纪8080年代，滑模变结构控制理论的研究进入了新阶年代，滑模变结构控制理论的研究进入了新阶段，以微分几何为主要工具的非线性控制思想推动了它的发段，以微分几何为主要工具的非线性控制思想推动了它的发展。展。在应用研究方面，滑模变结构控制已成功地应用于工业在应用研究方面，滑模变结构控制已成功地应用于工业机械手、非完整移动机器人系统，水下航空器、电机系机械手、非完整移动机器人系统，水下航空器、电机系统、航天器控制、电力系统等。统、航天器控制、电力系统等。第1页/共36页用二阶线性系统的相平面分析方法来说明用二阶线性系统的相平

2、面分析方法来说明 为了阐明变结构控制系统的基本概念，考虑下列简单的二阶系统，为了阐明变结构控制系统的基本概念，考虑下列简单的二阶系统， 设状态反馈为设状态反馈为 ，其中，其中 的值可取为的值可取为 或或 ， 。当当 时，系统的微分方程为时，系统的微分方程为 它是一个线性的二阶微分方程，其相应的特征方程为它是一个线性的二阶微分方程，其相应的特征方程为特征根则为特征根则为 ,0 xxuxu)0(0 xxx0221,224第2页/共36页0424221,224第3页/共36页极点分布奇点相迹图中心点稳定的 焦点稳定的 节点鞍 点不稳定的焦点不稳定的节点极点分布奇点相迹图第4页/共36页当当 时，系统

3、的微分方程为时，系统的微分方程为 其相应的特征方程为其相应的特征方程为特征根则为特征根则为 即即 时，相当于正反馈，系统的特征值为实数且一正一时，相当于正反馈，系统的特征值为实数且一正一负，相平面的原点是一个鞍点。负，相平面的原点是一个鞍点。0242210422200 xxx第5页/共36页第6页/共36页显然，对应这两种结构，系统均不稳定，仅在显然，对应这两种结构，系统均不稳定，仅在 时有收敛到原点的相轨时有收敛到原点的相轨迹，即沿着这一结构的稳定特征向量方向的相轨线。如果我们将上述两种反馈迹，即沿着这一结构的稳定特征向量方向的相轨线。如果我们将上述两种反馈方法按一定规律有机结合起来，则会产

4、生相轨线的变化。选取系统方法按一定规律有机结合起来，则会产生相轨线的变化。选取系统 按下列规按下列规律在稳定特征线及律在稳定特征线及x=0 x=0上进行切换上进行切换 其中其中 ， 则直线两侧的轨线都最终落在此直线并收敛到原点，因此相应的系统是渐进稳则直线两侧的轨线都最终落在此直线并收敛到原点，因此相应的系统是渐进稳定的。上述切换线直接由系统的参数定的。上述切换线直接由系统的参数 和切换参数和切换参数 决定，因而当参数决定，因而当参数 未未知或存在扰动时，这种参数方法就显得相当困难。为此，我们再考虑选取切换知或存在扰动时，这种参数方法就显得相当困难。为此，我们再考虑选取切换线为线为 x=0 x

5、=0及及 ， ）0 xs0 xssxcx42c2sxcx42, 0(c2第7页/共36页 s=0 s=0两侧的相轨线都引向切换线两侧的相轨线都引向切换线s=0s=0。因此，状态轨线一旦到达此直。因此，状态轨线一旦到达此直线上，就沿着此直线收敛到原点，这种沿线上，就沿着此直线收敛到原点，这种沿s=0s=0滑动至原点的特殊运动称之滑动至原点的特殊运动称之为为滑动模滑动模。直线。直线s=0s=0称之为称之为切换线或切换流形切换线或切换流形（switching manifoldswitching manifold），），相应的函数称之为相应的函数称之为切换函数切换函数。在滑动模下，系统的运动规律由简单

6、的微。在滑动模下，系统的运动规律由简单的微分方程分方程 来描述，其解为来描述，其解为 。显然，此时方程的。显然，此时方程的阶数比原系统低，而且仅与参数阶数比原系统低，而且仅与参数c c有关，即不受系统参数变化或干扰的影有关，即不受系统参数变化或干扰的影响，故此时系统具有很强的鲁棒性。响，故此时系统具有很强的鲁棒性。0 xcxcte )0(x) t (x第8页/共36页上例中，由于切换参数的取值为上例中，由于切换参数的取值为 和和- ,- ,即给出了即给出了两种控制结构，在控制过程中，结构在两者之间变两种控制结构，在控制过程中，结构在两者之间变化，故称之为变结构控制系统。这种控制方法称为化，故称

7、之为变结构控制系统。这种控制方法称为变结构控制方法。变结构控制方法。其基本思想是：其基本思想是：首先将从任一点出发的状态轨线通首先将从任一点出发的状态轨线通过控制作用拉到某一指定的直线上，然后沿着此直过控制作用拉到某一指定的直线上，然后沿着此直线滑动到原点。因此，这种具有滑动模态运动的控线滑动到原点。因此，这种具有滑动模态运动的控制也称为滑模控制制也称为滑模控制(Sliding Mode Control)(Sliding Mode Control)。第9页/共36页 下面给出变结构控制的定义。下面给出变结构控制的定义。 有一非线性系统有一非线性系统 我们需要确定切换函数向量我们需要确定切换函数

8、向量 s(x)s(x)， ，并且寻求变结构控制，并且寻求变结构控制 这里变结构体现在这里变结构体现在 。 从定义中可以看出，设计变构控制的基本步骤，它包括两个相对部分，从定义中可以看出，设计变构控制的基本步骤，它包括两个相对部分，即寻求切换函数即寻求切换函数s(x)s(x)和寻求和寻求 。f(x,u,t)x nxmutms),(u),(u)(uiiixxx0)(s0)(siixx当当(x)u(x)u(x)u第10页/共36页1 1）设计反馈）设计反馈u(x)u(x)，限定是变结构的，它能将系统的运动引导到一个超，限定是变结构的，它能将系统的运动引导到一个超平面平面S S或更一般地一个流形或更一

9、般地一个流形s(x)=0s(x)=0上。选择这样的上。选择这样的s(x)s(x)，使得其上，使得其上的运动是渐进稳定的。的运动是渐进稳定的。2 2）滑动模相轨迹限制在维数低于原系统的子空间内，对离线分析和算）滑动模相轨迹限制在维数低于原系统的子空间内，对离线分析和算法的在线实现都非常有利。法的在线实现都非常有利。3 3）滑动模的原点与控制量的大小无关，仅由对象特性及切换流形决定）滑动模的原点与控制量的大小无关，仅由对象特性及切换流形决定。4 4）在一定条件下，滑动模对于干扰与参数的变化具有不变性，这正是）在一定条件下，滑动模对于干扰与参数的变化具有不变性，这正是鲁棒性控制要解决的问题。变结构系

10、统的滑动模态具有完全自适应鲁棒性控制要解决的问题。变结构系统的滑动模态具有完全自适应性。这成为变结构系统的最突出的优点。性。这成为变结构系统的最突出的优点。 第11页/共36页5) 5) 变结构控制已被用来解决复杂的控制问题。这些问题有：理想运动变结构控制已被用来解决复杂的控制问题。这些问题有：理想运动的跟踪问题，理想模型的跟踪问题，模型跟踪的自适应控制问题的跟踪问题，理想模型的跟踪问题，模型跟踪的自适应控制问题，不确定系统的控制问题等等。，不确定系统的控制问题等等。 6 6）什么条件下可以确保滑动模态运动的存在以及系统在进入滑动）什么条件下可以确保滑动模态运动的存在以及系统在进入滑动模态运动

11、以后能具有良好的动态特性如渐近稳定等，是变结构模态运动以后能具有良好的动态特性如渐近稳定等，是变结构控制理论所要研究的主要问题。控制理论所要研究的主要问题。第12页/共36页最一般的非线性控制系统的数学模型为最一般的非线性控制系统的数学模型为 （5-45-4）采用变结构控制，要表述系统的特点，还应补充一个切换函数采用变结构控制，要表述系统的特点，还应补充一个切换函数s(x)s(x)，或切换，或切换面组：面组：s(y)=0s(y)=0 ， ， , , , , 如果采用状态反馈，则如果采用状态反馈，则s(y)=0s(y)=0应由应由s(x)=0s(x)=0代替。代替。设控制量设控制量 按下列逻辑在

12、切换流形按下列逻辑在切换流形 上进行切换上进行切换 ， （5-55-5）其中其中 分别是分别是 的第的第i i个分量；个分量； 及及 是是适当的光滑连续函数。适当的光滑连续函数。 称为切换函数，一般情况下其维数等于控制向称为切换函数，一般情况下其维数等于控制向量维数。量维数。t)u,f(x,x.) t ,(xgy nxmuly1tmsx),u(ut0), t (xS), t (u), t (u), t (uiiixxx0), t (S0), t (Siixxm,2, 1i), t (uix), t (Six,x)u(t,x)S(t, )(t,uix)(t,uix)(t,Sixx)S(t,第13

13、页/共36页 上述系统与通常的连续反馈控制系统不同，控制量按上述系统与通常的连续反馈控制系统不同，控制量按一定的逻辑进行切换，即系统的结构按一定规律变化。其一定的逻辑进行切换，即系统的结构按一定规律变化。其对应的微分方程右端是不连续的，我们关心此时微分方程对应的微分方程右端是不连续的，我们关心此时微分方程的解是否存在及如何描述系统在的解是否存在及如何描述系统在 =0=0的运动等问题。的运动等问题。许多学者研究了各种类型的具有不连续右端函数的微分方许多学者研究了各种类型的具有不连续右端函数的微分方程解的存在唯一性，其中概念上直观的方法由费里波夫（程解的存在唯一性，其中概念上直观的方法由费里波夫（

14、FilipovFilipov）给出。下面作一简单介绍。）给出。下面作一简单介绍。x)S(t,第14页/共36页当系统（当系统（5-45-4）为单输入系统时，控制规律（）为单输入系统时，控制规律（5-55-5）变为）变为 （5-65-6）此时系统（此时系统（5-45-4）在控制（）在控制（5-65-6）的作用下在切换曲线）的作用下在切换曲线s=0s=0上的运动由下列方程上的运动由下列方程描述描述 ，其中其中 为滑动模下状态轨线的切向量。为滑动模下状态轨线的切向量。设设 为梯度向量，若为梯度向量，若 及及 ，则由，则由 可可以解得以解得 其中其中 表示向量的内积。则此时系统在切换曲线表示向量的内积

15、。则此时系统在切换曲线s=0s=0上的解是唯一存在的上的解是唯一存在的。), t (u), t (u), t (u_xxx0), t ( s0), t ( sxx0f(1)ffxaa1a00f),ux,f(t,f),ux,f(t,fgradsds0),ds(f0),ds(f0),ds(0f),ds/(),ds(afff0) , ( 第15页/共36页 在多输入多输出情形下，方程（在多输入多输出情形下，方程（5-45-4）和方程（）和方程（5-55-5）在费里波夫意义下）在费里波夫意义下的解可表示为的解可表示为其中其中 ， ，但目前还没有一般求解，但目前还没有一般求解 的公式，因此必须的公式，因

16、此必须寻寻求其它更实用的方法。求其它更实用的方法。1( )f( ,x,( ,x)mjjjxa ttu t0) t (aj1) t (am1jj) t (aj第16页/共36页 变结构控制的重要问题之一就是要确定滑动模的描述变结构控制的重要问题之一就是要确定滑动模的描述方程。对于一般变结构控制系统，当系统发生滑动模时，方程。对于一般变结构控制系统，当系统发生滑动模时，其间断点在时间上构成测度不为零的点集，系统状态被限其间断点在时间上构成测度不为零的点集，系统状态被限制在切换流形上运动。在此情况下，不能采用衔接的思想制在切换流形上运动。在此情况下，不能采用衔接的思想求解，滑动模运动方程式需要新的方

17、法来求得，通常采用求解，滑动模运动方程式需要新的方法来求得，通常采用等效控制方法来确定。等效控制方法来确定。 从理论上讲，系统的状态轨线一旦达到切换流形就从理论上讲，系统的状态轨线一旦达到切换流形就沿着其运动，即此时系统轨线保持在此切换流形上，称沿着其运动，即此时系统轨线保持在此切换流形上，称这种滑动模为理想的滑动模。在理想情形，当系统进入这种滑动模为理想的滑动模。在理想情形，当系统进入滑动模运动后，由于系统的状态轨线保持在其上面，也滑动模运动后，由于系统的状态轨线保持在其上面，也即满足即满足s(x)=0s(x)=0，从而有，从而有 。 s0第17页/共36页1 1）单输入情况：）单输入情况：

18、先看以下切换函数先看以下切换函数s s（x x）的几种主要模型。）的几种主要模型。（1 1）线性模型。对象及切换函数都是线性的，其数学表达式为）线性模型。对象及切换函数都是线性的，其数学表达式为 其中其中A A为为 阵，阵，b b及及c c为为n n维向量，我们需要求出向量维向量，我们需要求出向量c c及变结构控制及变结构控制使闭环系统全局渐近稳定。使闭环系统全局渐近稳定。 因为线性系统已具有比较成熟的理论及综合方法，采用变结构控制因为线性系统已具有比较成熟的理论及综合方法，采用变结构控制这种复杂的非线性控制器，除非有其它方面的巨大优越性，一般这种复杂的非线性控制器，除非有其它方面的巨大优越性

19、，一般是不容易被接受的。是不容易被接受的。buAxx.xcsTnn),(),()(xuxuxu00)(x)s(xs当当第18页/共36页（2 2）线性对象，二次型切换函数）线性对象，二次型切换函数 是一特殊的二次型。这种系统的模型，是是一特殊的二次型。这种系统的模型，是5050年代发展起来的，早年代发展起来的，早期得到了系统的研究。这种形式的切换面，在很多场合仍然被应用，如期得到了系统的研究。这种形式的切换面，在很多场合仍然被应用，如模型跟踪系统。模型跟踪系统。（3 3）非线性对象，线性切换函数）非线性对象，线性切换函数 buAxx.xcxsT1xcxT1b(x)uA(x)x.xcsT第19页

20、/共36页1 1）多输入情况：多输入的各个控制是以什么方式起到控制作用）多输入情况：多输入的各个控制是以什么方式起到控制作用? ? 考虑考虑 ，于是系统在此切换流形上应满足下列方程，于是系统在此切换流形上应满足下列方程 （5-65-6）如果从方程（如果从方程（5-65-6）中可以确定或解出）中可以确定或解出u u，则由此得到的形式解，则由此得到的形式解u u就可视为系统就可视为系统（5-45-4）在切换流形）在切换流形s(x)=0s(x)=0上系统所施加控制的等效或平均作用量。用此形式上系统所施加控制的等效或平均作用量。用此形式解作为系统（解作为系统（5-45-4）右端函数在）右端函数在s=0

21、s=0上的取值，则可以消除描述变结构控制系上的取值，则可以消除描述变结构控制系统（统（5-45-4）的微分方程右端函数在）的微分方程右端函数在s=0s=0上的不确定性。我们把由式（上的不确定性。我们把由式（5-65-6）求出）求出的控制量的控制量u u称为等效或等价控制量，用记号称为等效或等价控制量，用记号 表示表示。0.s0u)x,f(t,xstss.eu第20页/共36页为讨论方便，我们仅讨论下列仿射控制系统为讨论方便，我们仅讨论下列仿射控制系统 （5-75-7）其中其中f, Bf, B为适当维数的连续光滑函数。对这类系统由式（为适当维数的连续光滑函数。对这类系统由式（5-65-6）及式（

22、）及式（5-75-7）可以推出可以推出 （5-85-8）因此，如果选取的切换函数因此，如果选取的切换函数s(t,x)s(t,x)满足满足可逆，则由（可逆，则由（5-85-8）可以得到唯一的等效控制量）可以得到唯一的等效控制量将此控制量代如式（将此控制量代如式（5-75-7）就得到在理想情形下滑动模应满足的微分方程）就得到在理想情形下滑动模应满足的微分方程 （5-95-9）f(t,x)B (t,x)ux 0u)x,f(t,xstss.BxsGf)xsts(Gu1e11ssIB GfB Gttx第21页/共36页2 2）多变量系统：）多变量系统： 相当于在切换流形的邻域内非线性系统状态轨线关于切相

23、当于在切换流形的邻域内非线性系统状态轨线关于切换流形换流形s=0s=0的稳定性。到达条件决定变结构控制律。就是说的稳定性。到达条件决定变结构控制律。就是说，在设计变结构控制器时，我们将用到达条件导出变结构控，在设计变结构控制器时，我们将用到达条件导出变结构控制律的数学表达式。制律的数学表达式。 1 1）单变量系统：）单变量系统： 直观上看要使系统轨线在有限时间内到达切换曲线，其直观上看要使系统轨线在有限时间内到达切换曲线，其切向量必须指向这条切换曲线，也即当切向量必须指向这条切换曲线，也即当s0s0 s0 时，时， 。因此，这就是单变量系统实现滑动模的充。因此，这就是单变量系统实现滑动模的充分

24、条件。分条件。0s 0s 第22页/共36页最先提出的到达条件为最先提出的到达条件为 ，当，当s(x)0s(x)0 s(x)0 （5-105-10）或它的等价表示式或它的等价表示式 （5-115-11） 当这种到达条件成立时，希望于当这种到达条件成立时，希望于 时从任意状态时从任意状态 出发的相轨线出发的相轨线 能于有限时刻到达切换面能于有限时刻到达切换面 s(x)=0s(x)=0。 切换函数切换函数s(x)s(x)应满足以下条件：可微；过原点，即应满足以下条件：可微；过原点，即s(0)=0s(0)=0。 条件（条件（5-105-10）中，）中，s(x)s(x)表示从表示从x x到切换面到切换

25、面s(x)=0s(x)=0的距离，的距离，s(x)0s(x)0时时x x位于位于s(x)=0s(x)=0的一侧，的一侧，s(x)0s(x)0时时x x位于位于s(x)=0s(x)=0的另一侧。的另一侧。(x )0s(x )0ss(x)s(x)00t0 x),(00tt xx第23页/共36页 由于由于x x取任意值，即取任意值，即x x离开切换面可以任意远，故到达条件（离开切换面可以任意远，故到达条件（5-105-10）是全）是全局到达条件。但是，这个条件有一个缺点，就是它不能保证有限时刻到达。局到达条件。但是，这个条件有一个缺点，就是它不能保证有限时刻到达。如当如当 时，到达条件（时，到达条

26、件（5-105-10）满足，但是积分上式后有）满足，但是积分上式后有即不管即不管 取什么值，总有取什么值，总有即即x x将随时间渐近地趋向切换面将随时间渐近地趋向切换面s(x)=0s(x)=0，而永远不能到达它。，而永远不能到达它。0,.sste0ss)(00 xss0)(limttxs第24页/共36页我们很容易对式（我们很容易对式（5-105-10）及（）及（5-115-11）进行修改，避免渐近趋近，如）进行修改，避免渐近趋近，如 ，当，当s0s0 s0 （5-10 a5-10 a）以及以及 （5-11 a5-11 a）这里这里 是某正数，它可以取的任意小。有了这样的理解后，到达条件仍可写

27、是某正数，它可以取的任意小。有了这样的理解后，到达条件仍可写成（成（5-105-10）及（）及（5-115-11）的形式。）的形式。 ，当，当s0s0 ，当，当s0s0s0时，从时，从 可解出可解出可以看出可以看出k k充分大时的趋近比按等速规律要快。为了减小抖动，可以减小到达充分大时的趋近比按等速规律要快。为了减小抖动，可以减小到达s(x)=0s(x)=0时的速度时的速度 ；即增大；即增大k k，减小，减小 可以加速趋近过程，减小抖可以加速趋近过程，减小抖动。动。sgn ,0ss )(xusgn,0,0ss kskkss.ksekskts)()(0.s第31页/共36页（3 3）幂次趋近律）幂次趋近律 （5-185-18）特别地，取特别地，取 当当 时积分得时积分得 逐渐减小到零，到达时间为逐渐减小到零，到达时间为 有限时间到达得到