高等数学大学课件9习题课

1、第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系（三）场论初步（三）场论初步 一、主要内容曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定义定义计算计算定义定义计算计算联系联系联系联系（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义 niiiilsfdsyxf10),(lim)

2、,( ldyyxqdxyxp),(),(),(),(lim10iiiniiiiyqxp 联联系系dsqpqdypdxll)coscos( 计计算算 dtfdsyxfl22,),()( dtqpqdypdxl),(),( (与方向有关)与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域d上上),(),(yxqyxp具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . lqdypdxd与路径无关与路径无关内内在在)1( cdcqdypdx闭曲线闭曲线, 0)2(qdypdxduyxud 使使内存在内存在在在),()3(xqypd

3、 ,)4(内内在在等等价价命命题题 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiisrdxdyzyxr)( ),(lim),(10 联联系系 rdxdyqdzdxpdydz计计 算算一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关) dsrqp)coscoscos( dszyxf),( xydyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxr),( xyddxdyyxzyxr),(,定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计

4、算计算green公式公式stokes公式公式guass公式公式（二）（二）各种积分之间的联系各种积分之间的联系理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系)()()()()(xfxfafbfdxxfba 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系)()(的正向的正向沿沿lqdypdxdxdyypxqld 格林公式格林公式3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系 rdxdyqdzdxpdydzdvzryqxp)(高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系 dxdyypxqdzdxxrzpdydzzq

5、yr)()()( rdzqdypdx斯托克斯公式斯托克斯公式梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度环流量环流量zryqxpadiv rdxdyqdzdxpdydzkypxqjxrzpizqyrarot)()()( rdzqdypdx散度散度（三）（三）场论初步场论初步例例1 计算计算 12llxy dsxy dx :1,1,00,1lxy从从到到。 二、 例题（1，0）（0，1）1.解解 21:1,12l yx dsy dxdx 10122lxy dsdx 12lllxy dsdsds或或 2:1,:10,l yx x 0111lxy dxdx 解解xxyxyyp2)2(2 知

6、知xyxxxq2)(42 ,xqyp 即即所以积分与路径无关所以积分与路径无关xyo11a ldyyxdxxyxi)()2(422由由bd 104102)1(dyydxx.1523 xyo11a baobldyyxdxxyxdyyxdxxyxdyyxdxxyxi)()2()()2()()2(422422422所以所以bd例例3 计算曲线积分计算曲线积分 , 其中其中 lyydyexdxxei 222)1()1(为为 在第一象限沿逆时针方向的半圆弧在第一象限沿逆时针方向的半圆弧.l4)2(22 yx解：记解：记 , . 则由于则由于 ,yxep21 122 yexqxqxeypy 22 1 22

7、2)1()1(lyydyexdxxe.12)1(0 4 dxx则所给积分与路径无关。现取则所给积分与路径无关。现取 , 从从 变到变到 ;0 :1 yl40 x lyydyexdxxei 222)1()1(则有则有分析分析 本题若直接转化为定积分计算是比较繁的。我们可以本题若直接转化为定积分计算是比较繁的。我们可以先看先看 ,以决定是否用格林公式或其他的方法计算。以决定是否用格林公式或其他的方法计算。,ypxq ypxq4cossinxxleydxeydy 例例 计计算算 22(0)1,00,0lxyx yao其其中中 ：从从到到的的上上半半圆圆周周. .sinxqpeyxx 解解积积分分与与

8、路路径径无无关关ao:0,:0aoyx a另另选选直直线线 0cossin1cos012xxlxaaeydxeydyedxe 25x ds例 求2222xyzr：，第一卦限部分.222222221:1xyzrxyrdxdydszzdxdyrxy解解法法222222222:,0,0 xyxydrx dxdyx dsdxyr xyrxy32422200cos6rrrdrrr解解 法法2 由对称性（轮换性）由对称性（轮换性）222x dsy dsz ds2222222411433386rrx dsxyz dsdsrr22226xyzxy dxdy例，22:10.zxyz 的下侧22:1xyxoydx

9、y下下解解向向面面的的投投影影区区域域22222221200=23xydxyzxy dxdyxy dxdydr dr 曲面面积的计算法曲面面积的计算法sdxy),(yxfz xyoz dss xydyxdxdyzz221dsyxfsbal ),(),(dxyyxfba 21),(zxoy),(yxfz slabab解解由对称性由对称性 lldsyxzdss2218, 1:3232 yxl)20(,sin,cos33 ttytx参数方程为参数方程为,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttscossin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 在第四卦限部分的上侧在第四卦限部分的上侧为平面为平面为连续函数为连续函数其中其中计算计算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfi例例8xyoz111 解解利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系,1:yxz .31cos,31cos,31cos dszzyxfyzyxfxzyxfi),(31),(231),(31 dszyx)(31 xyddxdy3131.21 解解22101xzyyxyz 轴轴旋旋转转面面方方程程为为