弹性力学教学课件1-有限元位移法的基本概念

1、有限元位移法的基本概念有限元位移法的基本概念 一、一个连续梁的简例一、一个连续梁的简例 单元分析单元分析 单元单元：14babmi 单元单元：24bcbmi 整体分析整体分析 bambcm0,bm babcbmmm即：即：12(44 )bbiim 1244bbmii 基本思路：基本思路： 有限单元法：有限单元法：“先分后合先分后合”先分：首先将连续梁分成单元，进行单元分析，用结点位移先分：首先将连续梁分成单元，进行单元分析，用结点位移b 表示单元内力表示单元内力mba、mbc。后合：然后将单元再合成结构，进行整体分析，建立结构整体后合：然后将单元再合成结构，进行整体分析，建立结构整体 平衡条件

2、平衡条件mb0，由此可以求出结点位移，由此可以求出结点位移b 。（位移法基本方程）（位移法基本方程）bmbbmb 单元刚度系数的概念：单元刚度系数的概念：bb(1)k(2)k当结点当结点b产生单位转角产生单位转角b 1时，在时，在单元单元所需施加的杆端力矩为所需施加的杆端力矩为k(1)、在单元在单元所需施加的杆端力矩为所需施加的杆端力矩为k(2)。单元单元：(1)babmk 单元单元：(2)bcbmk 其中：其中：(1)(2)124 ,4kiki称为单元称为单元和单元和单元的的 刚度系数。刚度系数。 整体刚度系数的概念整体刚度系数的概念 位移法基本方程可写成：位移法基本方程可写成：bbkm (

3、1)(2)1244kiikk其中：其中：k称作结构的整体刚度系数，即整个结构在结点称作结构的整体刚度系数，即整个结构在结点b产生单位位产生单位位 移移b 1时，在结点时，在结点b所需施加的结点力偶。所需施加的结点力偶。 刚度集成规律刚度集成规律 可由相关单元的单元刚度系数集成。可由相关单元的单元刚度系数集成。k1b二、单元刚度矩阵二、单元刚度矩阵 1m2m3m123单元分析：单元分析：单元两个端点重新编码为单元两个端点重新编码为1、2。由转角位移方程得：由转角位移方程得：( )( )( )( )( )1111122( )( )( )( )( )2211222eeeeeeeeeemkkmkk 其

4、中：其中：( )( )1122( )( )122142eeeeeekkikki系数系数k(e)的物理意义：的物理意义：( )11e ( )20e ( )11ek( )21ek这些系数称作单元这些系数称作单元(e)的刚度系数。的刚度系数。将转角位移方程写成矩阵形式：将转角位移方程写成矩阵形式： ( )( )( )111121221222eeemkkmkk 杆端力矩列矩阵杆端力矩列矩阵 结点转结点转角列矩角列矩阵阵单元刚度矩阵单元刚度矩阵 1m2m3m123 ( )( )( )111121221222eeemkkmkk 三、整体刚度矩阵三、整体刚度矩阵 结点转角结点转角 123 结点力偶结点力偶

5、123mmmm 它们之间的转换关系可表示为：它们之间的转换关系可表示为： mk 或：或：111213112212223233313233kkkmmkkkmkkk k称为整体刚度矩阵称为整体刚度矩阵 k中的元素中的元素kij称为整体刚度系数，它表示当结点称为整体刚度系数，它表示当结点 j 产生单位转产生单位转角角j 1 (其它结点没有转角其它结点没有转角)时，在结点时，在结点 i 所需施加的力偶所需施加的力偶mi。111213112212223233313233kkkmmkkkmkkk 1m2m3m123 ( )( )( )111121221222eeemkkmkk 11121311221222

6、3233313233kkkmmkkkmkkk 先分别考虑每个结点单独转动，先分别考虑每个结点单独转动， 然后叠加。然后叠加。结点结点1单独转动单独转动1：1 14i 1 12i 01231 结点结点2单独转动单独转动2：122(44 )ii 1 22i 1232 222i 结点结点3单独转动单独转动3：232i 1233 234i 01m2m3m123 ( )( )( )111121221222eeemkkmkk 111213112212223233313233kkkmmkkkmkkk 先分别考虑每个结点单独转动，先分别考虑每个结点单独转动， 然后叠加。然后叠加。1 14i 1 12i 012

7、31 122(44 )ii 1 22i 1232 222i 232i 1233 234i 0即：即：111123211122233122234202(44 )2024miimiiiimii 或：或：111121122232234202442024miimiiiimii 1m2m3m123 ( )( )( )111121221222eeemkkmkk 先分别考虑每个结点单独转动，先分别考虑每个结点单独转动， 然后叠加。然后叠加。1 14i 1 12i 01231 122(44 )ii 1 22i 1232 222i 232i 1233 234i 0即：即：11112321112223312223

8、4202(44 )2024miimiiiimii 或：或：111121122232234202442024miimiiiimii 111121122232234202442024miimiiiimii 1m2m3m123 ( )( )( )111121221222eeemkkmkk 111121122232234202442024miimiiiimii 先分别考虑每个单元单独变形，先分别考虑每个单元单独变形， 然后叠加。然后叠加。首先写出单元刚度矩阵，得出单元刚度方程如下：首先写出单元刚度矩阵，得出单元刚度方程如下：其次进行叠加，叠加前对单元刚度矩阵进行改造：其次进行叠加，叠加前对单元刚度矩阵

9、进行改造：单元的贡献矩阵：单元的贡献矩阵：1m2m3m123 ( )( )( )111121221222eeemkkmkk 111121122232234202442024miimiiiimii 先分别考虑每个单元单独变形，先分别考虑每个单元单独变形， 然后叠加。然后叠加。单元的贡献矩阵：单元的贡献矩阵：最后，将各单元的贡献矩阵最后，将各单元的贡献矩阵叠加，即得出整体刚度矩阵叠加，即得出整体刚度矩阵，刚度方程为：，刚度方程为：111121122232234202442024miimiiiimii ( )( )( )111121221222eeemkkmkk 111121122232234202

10、442024miimiiiimii 111121122232234202442024miimiiiimii 四、支承条件的引入四、支承条件的引入 第一步：暂不引入支承条件，第一步：暂不引入支承条件，和荷载情况，先建立整体刚和荷载情况，先建立整体刚度矩阵度矩阵k，写出，写出m与与之之间的转换关系。间的转换关系。第二步：在结点第二步：在结点1和和2引入荷引入荷 载值载值p1和和p2，在固定端引入，在固定端引入支承条支承条 件件30，将整体刚，将整体刚度方程度方程 改写为矩阵方程：改写为矩阵方程： 111111222222342024420240iipiiiipiim 取出前面两个纯量方程：取出前面

11、两个纯量方程：11121111222422(44 )iipiiip 即：即：11111122242244iipiiip 五、非结点荷载的处理五、非结点荷载的处理 ( )( )( )111121221222eeemkkmkk 求等效结点荷载求等效结点荷载 第一步：在各结点加约束，第一步：在各结点加约束， 阻止结点转动。阻止结点转动。01m02m03m各单元产生的固端力矩：各单元产生的固端力矩：(1)01(1)02mm单元单元(2)01(2)02mm单元单元各结点的约束力矩分别为该各结点的约束力矩分别为该结点相关单元固端力矩之和：结点相关单元固端力矩之和：(1)0101(1)(2)020201(2)0302mmmmmmm第二步：去掉各结点的约束。第二步：去掉各结点的约束。101pm 202pm 303pm (1)011(1)(2)20201(2)302mppmmpm ( )( )( )111121221222eeemkkmkk 五、非结点荷载的处理五、非结点荷载的处理 求等效结点荷载求等效结点荷载 第一步：在各结点加约束，第一步：在各结点加约束， 阻止结点转动。阻止结点转动。01m02m03m各单元产生的固端力矩：各单元产生的固端力矩：(1)01(1)02mm单元单元(2)01(2