复变函数第14讲x

1、1 1. 曲线的切线曲线的切线2. 导数的几何意义导数的几何意义3. 共形映射的概念共形映射的概念1 共形映射的概念2,)(: ttzzc.移移动动的的方方向向增增大大时时点点它它的的正正向向取取zt1. 曲线的切线曲线的切线.)()(000方方向向相相同同与与向向量量则则割割线线的的方方向向向向量量ttzttzpp ，的的参参数数分分别别为为对对应应取取若若ttppcppttz,),(, 0)( 00000 设连续曲线设连续曲线)(tzz :c oxy(z)0pp方方向向。增增大大的的对对应应于于参参数数割割线线tpp03 t)(tzz :c oxy(z)0pp的的极极限限位位置置：割割线线

2、方方向向pp0ttzttztzt )()(lim)( 0000.0正正向向一一致致处处的的切切向向量量且且方方向向与与在在曲曲线线cpc).( arg,)( ,),(, 0)( 00000tztzzcttz 它它的的倾倾角角就就是是切切向向量量有有切切线线在在则则曲曲线线若若4a .)( )1(00方方向向之之间间的的夹夹角角轴轴正正向向与与处处切切线线的的点点曲曲线线正正在在xzctargz 定义定义切线随切点的移动而连续转动的有向曲线切线随切点的移动而连续转动的有向曲线称为有向光滑曲线称为有向光滑曲线.之之间间的的夹夹角角. .就就是是它它们们的的两两条条切切线线两两曲曲线线正正向向之之间

3、间的的夹夹角角交交点点处处若若曲曲线线向向正正在在,)2(021zcc相相交交于于点点与与曲曲线线:2c)(2tzz )(1tzz :1coxy(z)0z 52. 解析函数解析函数导数的几何意义导数的几何意义(辐角和模辐角和模), 0)( ,)(00 zfdzdzfw且且内内解解析析在在区区域域设设,)(:0 ttzzczd引引一一条条有有向向光光滑滑曲曲线线内内过过在在.)(00增增大大方方向向的的曲曲线线，正正向向取取过过点点tzfw )(),(000tzzt 取取0)( 0 tz则则)(:)(:)(tzfwwtzzczzfw 平平面面上上平平面面上上60)( )( )( 000 tzzf

4、tw)( )( )( 000targzzargftargw 记记 )( )( )( 000targztargwzargf 即即 (1)即即)(tzz :co(z)xyov(w)u)(tzfw : )(zfw t t0z0w7.,)(,0 记记作作的的转转动动角角在在点点经经映映射射原原曲曲线线间间的的夹夹角角为为正正向向之之线线的的切切线线正正向向与与映映射射后后曲曲称称曲曲线线轴轴的的正正向向相相同同轴轴与与轴轴和和轴轴与与若若视视zzfwccvyux )( )( )( 000targztargwzargf 即即 tu xt 0z0w 8则则有有关关及及点点仅仅与与映映射射式式由由,)()1

5、(0zzfw 的的几几何何意意义义( (1 1) )导导数数幅幅角角argf(z).)()0)( )( 000的的转转动动角角映映射射后后在在点点经经过过是是曲曲线线zzfwczfzargf .,动动角角的的不不变变性性转转这这种种性性质质称称为为映映射射具具有有与与方方向向无无关关的的形形状状的的大大小小及及方方向向与与曲曲线线转转动动角角c 92 .,),2 , 1()()()2 , 1(,)2 , 1(21000 的的夹夹角角为为的的曲曲线线下下映映射射为为相相交交于于点点在在变变换换的的夹夹角角为为在在点点设设izfwzfwicziciii oxy(z)1c2c1 0z)(zfw 12

6、 2 1 1 2 ovu(w)0w1212)2 , 1()1( iii有有，由由式式 保角性保角性12 10由上述讨论我们有由上述讨论我们有 不不变变的的性性质质线线间间夹夹角角的的大大小小与与方方向向这这种种映映射射具具有有保保持持两两曲曲保保角角性性),(),(,2121210)(210 ccwcczzfw的的过过的的过过的的几几何何意意义义( (2 2) )模模f(z).;,0000之之间间的的弧弧长长与与上上的的对对应应点点表表示示之之间间的的一一段段弧弧长长与与上上的的点点表表示示用用且且设设wwzzcsewwwrezzzii 111lim1lim00 wszz)3(limlim)(

7、 000szsswzfzz 的的在在称称之之为为曲曲线线00)( zczf .伸伸缩缩率率co(z)xyov(w)u )(zfw 0z0wzz ww s 12 均均不不变变处处点点在在同同一一时时沿沿任任何何曲曲线线作作映映射射的的形形状状方方向向无无关关而而与与曲曲线线有有关关及及与与映映射射易易见见)( ,)()( ,0000zfazfzzfwzf.伸伸缩缩率率不不变变性性3. 共形映射的概念共形映射的概念.)()(,)(0000是是共共形形映映射射在在为为共共形形的的，或或称称在在则则称称映映射射变变性性具具有有保保角角性性和和伸伸缩缩率率不不的的邻邻域域内内有有定定义义，且且在在在在设

8、设zzfwzzfwzzzfw 定义定义.)()(内内是是共共形形映映射射在在区区域域则则称称内内每每一一点点都都是是共共形形的的，在在若若dzfwdzfw 13:由由定定义义及及以以上上分分析析有有为为伸伸缩缩率率。为为转转动动角角且且映映射射，保保角角是是共共形形点点解解析析且且在在若若)( ,)( )()(, 0)( )(0000zfzargfzfwzfzzfw 定理定理a若上述共形映射定义中，仅保持角度绝对若上述共形映射定义中，仅保持角度绝对值不变，而旋转方向相反，此时称第二类共形映值不变，而旋转方向相反，此时称第二类共形映射。从而，定义中的共形映射称为第一类共形映射。从而，定义中的共形

9、映射称为第一类共形映射。射。140)( )()(0000 zfzfwdzdzzfw设设（忽忽略略高高阶阶无无穷穷小小）（忽忽略略高高阶阶无无穷穷小小） )( :)( )( )()(00)(000000zfwwzzzzfwzfzzzfzfzwzfwzz 那那么么圆圆又又a 射射的的原原因因. .这这就就是是为为什什么么称称共共形形映映15& 1. 分式线性映射的定义分式线性映射的定义& 2. 分式线性映射的性质分式线性映射的性质2 分式线性映射161. 分式线性映射的定义分式线性映射的定义定义定义.,是是复复常常数数其其中中称称为为分分式式线线性性映映射射dcba)1()0( bcaddczba

10、zw映射映射a 。是必要的是必要的0 bcad).(0常数常数复复否则否则cww 2)()1(dczbcadw :)2(上上有有定定义义数数在在整整个个扩扩充充平平面面补补充充定定义义使使分分式式线线性性函函.0/0 wzczcacdzwc时时，定定义义，在在，时时时时当当当当17为为双双线线性性映映射射. .故故又又称称, ,逆逆映映射射仍仍为为分分式式线线性性的的则则, ,dczbazwbcadacwbdwzdczbazw 0)()3(分式线性映射分式线性映射(1)总可以分解成下述三种特殊总可以分解成下述三种特殊映射的复合：映射的复合：zwiiiaazwiibzwi1)()0()()( 称

11、为：称为：平移整线性反演平移整线性反演18)(11)()(cabcadbcabdczadczcadbccacdzccadbcdzaw bazdbzdawdczbazwc ，时时当当0，时时当当0 c事实上事实上，),(复复常常数数ba.1,2121复复合合而而成成和和由由bawdczdczbazw 19bzwi )(.21是是一一个个平平移移映映射射故故bzwbyvbxu azwii )(.,)(射射是是旋旋转转和和伸伸缩缩合合成成的的映映倍倍后后就就得得或或缩缩短短伸伸长长再再将将先先转转一一个个角角度度把把azwwazz 21ibbbiyxzivuw 设设)(, iiierwearez则则

12、设设20见见图图）关关于于圆圆的的对对称称点点名名词词介介绍绍(:.,2对对称称于于圆圆周周关关与与则则称称满满足足若若在在半半直直线线上上有有两两点点rzppropoppp 定义定义roxyppa 规定无穷远点的对称点为圆心规定无穷远点的对称点为圆心o?呢呢的的对对称称点点找找到到关关于于圆圆周周如如何何由由przp ., , ,即即互互为为对对称称点点与与那那么么交交于于与与的的垂垂线线作作由由连连接接切切线线作作圆圆周周的的从从在在圆圆外外设设pppoptpoptopptppoptp21zwiii1)( 11,1wwzw 令令 iierwwerzw 11111)sin(cos)sin(c

13、os irrezirrezii 设设;, 1111在在同同一一射射线线上上与与wzrrwz ).()2.1)111见见图图关关于于实实轴轴对对称称的的点点即即得得作作出出点点的的对对称称点点关关于于圆圆周周作作出出点点wwwzz 1ox,uy,v1wzw的几何作图的几何作图zw1 .1,1对称对称关于关于 zwz222. 分式线性映射的性质分式线性映射的性质.,性性质质出出一一般般分分式式线线性性映映射射的的从从而而得得射射的的性性质质先先讨讨论论以以上上三三种种特特殊殊映映保角性保角性)1(的情况的情况对于对于zwiii1)( wzwzwzwzarg,arg; 111111若若通通常常称称为

14、为反反演演变变换换因因此此映映射射zw1 )2(0;0)()(见第一章见第一章 wzwzzfwzfw23)0(12 zzw又又.,1,即即为为一一共共形形映映射射形形的的在在扩扩充充复复平平面面上上处处处处共共映映射射处处夹夹角角的的定定义义后后适适当当规规定定zw )0()(),( abazwiii的的复复合合映映射射对对.0)(是共形映射是共形映射 abazw:,有有以以下下结结论论而而成成的的三三种种特特殊殊映映射射复复合合由由于于分分式式线线性性映映射射是是由由（详见（详见p195）24定理定理1.,且且具具有有保保角角性性对对应应的的平平面面上上是是一一一一分分式式线线性性映映射射在

15、在扩扩充充复复保保圆圆性性)2(lwlzwczbazwbazwbazw平平面面上上的的直直线线平平面面上上的的直直线线平平面面上上的的圆圆周周平平面面上上的的圆圆周周伸伸缩缩的的合合成成映映射射旋旋转转是是平平移移 .,.,即即具具有有保保圆圆性性圆圆周周映映射射成成在在扩扩充充复复平平面面上上把把圆圆周周那那么么穷穷大大的的圆圆周周若若把把直直线线看看作作是是半半径径无无bazw 250,0,1)(/1/1 zwzwzzzwiii对对于于,1ivuzwiyxz 令令2222yxyvyxxu 2222vuvyvuux 或或得得代代入入将将zwiyxz1 260)(:0)(:22221 acvbuvuddcybxyxaczw 直直线线直直线线圆圆周周直直线线直直线线圆圆周周圆圆周周圆圆周周 cdacdacdacda0, 00, 00, 00,.,具具有有保保圆圆性性那那么么反反演演变变换换就就的的圆圆把把直直线线看看成成是是半半径径为为 27.,即即具具有有保保圆圆性性平平面面上上的的圆圆周周成成扩扩充充平平面面上上圆圆周周映映射射分分式式线