概率与数理统计第二章ppt

1、概率论概率论 第二节第二节 离散型随机变量及其离散型随机变量及其分布律分布律离散型随机变量分布律的定义离散型随机变量分布律的定义离散型随机变量表示方法离散型随机变量表示方法三种常见分布三种常见分布小结小结概率论概率论 从中任取从中任取3 个球个球取到的白球数取到的白球数X是一个随机变量是一个随机变量 .(1) X 可能取的值是可能取的值是0,1,2 ; (2) 取每个值的概率为取每个值的概率为:看一个例子看一个例子一、离散型随机变量分布律的定义一、离散型随机变量分布律的定义35101033P X 概率论概率论 定义定义1 ：某些随机变量：某些随机变量X的所有可能取值是有限多的所有可能取值是有限

2、多个或可列无限多个个或可列无限多个, 这种随机变量称为这种随机变量称为离散型随机离散型随机变量变量 .3253110213P X 3253210123P X 概率论概率论 其中其中 (k=1,2, ) 满足：满足：kp, 0kp k=1,2, （1）kkp1（2） 定义定义2 ：设：设 xk (k=1,2, ) 是离散型随机变量是离散型随机变量 X 所所取的一切可能值，称取的一切可能值，称为为离散型随机变量离散型随机变量 X 的分布律的分布律.用这两条性质用这两条性质判断一个函数判断一个函数是否是分布律是否是分布律1 2, ,kkP Xxpk概率论概率论 解解: 依据分布律的性质依据分布律的性

3、质kkXP1)(P(X =k)0, 1!0aekakk a0 ,从中解得从中解得即即 ea例例2设随机变量设随机变量X的分布律为：的分布律为：,!)(kakXPkk =0,1,2, ,试确定常数试确定常数a .00kkke! 概率论概率论 二、离散型随机变量表示方法二、离散型随机变量表示方法（1）公式法）公式法（2）列表法）列表法1 2, ,kkP XxpkXkp12kxxx12kppp概率论概率论 例例3 某篮球运动员投中篮圈概率是某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独，求他两次独立投篮投中次数立投篮投中次数X的概率分布的概率分布.解：解： X可取值为可取值为0,1,2 ; PX =0

4、=(0.1)(0.1)=0.01 PX =1= 2(0.9)(0.1) =0.18 PX =2=(0.9)(0.9)=0.81概率论概率论 常常表示为：常常表示为： 81. 018. 001. 0210X这就是这就是X的分布律的分布律.概率论概率论 例例4 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是知他每发命中的概率是p，求，求所需射击发数所需射击发数X 的分布的分布律律.解解: 显然，显然，X 可能取的值是可能取的值是1,2, ， PX=1=P(A1)=p, 为计算为计算 PX =k ， k = 1,2, ，Ak = 第第k发命中发命

5、中，k =1, 2, ，设设于是于是pp )1 ()() 2(21AAPXP)() 3(321AAAPXPpp 2)1 (概率论概率论 , 2 , 1kppkXPk1)1 ()(可见可见这就是求这就是求所需射击发数所需射击发数X的分布律的分布律.概率论概率论 例例5 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数表示该汽车首

6、次遇到红灯前已通过的路口的个数，求求X的分布律的分布律.解解: 依题意依题意, X可取值可取值0, 1, 2, 3. PX=0=P(A1)=1/2, Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯, i=1,2,3设设路口路口3路口路口2路口路口1概率论概率论 PX=1=P( )21AA2121= 1/4321AAA PX=2=P( )212121=1/8X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口路口3路口路口2路口路口1路口路口3路口路口2路口路口1概率论概率论 321AAA=1/8P(X=3)= P( )212121路口路口3路口路口2路口路口1818

7、141213210X即即X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数概率论概率论 三、三种常见分布三、三种常见分布1、（、（0-1）分布：）分布：（也称两点分布）（也称两点分布）随机变量随机变量X只可能取只可能取0与与1两个值，其分布律为：两个值，其分布律为： 101 , 0,11 pkppkXPkk ppX110或或概率论概率论 看一个试验看一个试验 将将一枚均匀骰子抛掷一枚均匀骰子抛掷3次次. .X的分布律是：的分布律是：2.伯努利试验和二项分布伯努利试验和二项分布33150 1 2 366, , , .kkkP Xxkk 令令X 表示表示3次中出

8、现次中出现“4”点的次数点的次数概率论概率论 掷骰子：掷骰子：“掷出掷出4 4点点”，“未掷出未掷出4 4点点” 抽验产品：抽验产品：“是正品是正品”，“是次品是次品” 一般地，一般地，设在一次试验设在一次试验E E中我们只考虑两个互逆的中我们只考虑两个互逆的结果：结果：A 或或 .A 这样的试验这样的试验E称为称为伯努利试验伯努利试验 .概率论概率论 “重复重复”是指这是指这 n 次试验中次试验中P(A)= p 保持不变保持不变. 将伯努利试验将伯努利试验E E独立地重复地进行独立地重复地进行n次次 , ,则称这一串则称这一串重复的独立重复的独立试验为试验为n重伯努利试验重伯努利试验 .“独

9、立独立”是指各是指各 次试验的结果互不影响次试验的结果互不影响 .概率论概率论 用用X表示表示n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发生的次数发生的次数，则则1)(0nkkXP易证：易证：0)( kXP（1）称称 r.vr.v X 服从参数为服从参数为n和和p的二项分布的二项分布，记作，记作 Xb(n,p)kXP 10 1 , ,nn kkkppkn （2）概率论概率论 007125. 0)95. 0()05. 0() 2(223CXP例例6 已知已知100个产品中有个产品中有5个次品，现从中个次品，现从中有放回有放回地取地取3次，每次任取次，每次任取1个，求在所取的个，求在所取的3个中恰有

10、个中恰有2个次品的概率个次品的概率. 解解: 因为这是有放回地取因为这是有放回地取3次，因此这次，因此这3 次试验次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验.依题意，每次试验取到次品的概率为依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设设X为所取的为所取的3个中的次品数，个中的次品数，于是，所求概率为于是，所求概率为：则则X b(3,0.05)，概率论概率论 若若将本例中的将本例中的“有放回有放回”改为改为”无放回无放回”, 那么各次那么各次试验条件就不同了试验条件就不同了, 此试验就不是伯努利试验此试验就不是伯努利试验 . 此此时时, 只能用古典概型求解只能

11、用古典概型求解.00618. 0) 2(310025195CCCXP请注意：请注意：概率论概率论 伯努利试验对试验结果没有等可能的要求，伯努利试验对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：但有下述要求：（1）每次试验条件相同；）每次试验条件相同；二项分布描述的是二项分布描述的是n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件 A 出现出现的次数的次数 X 的分布律的分布律 .（2）每次试验只考虑两个互逆结果）每次试验只考虑两个互逆结果 A 或或 ， A（3）各次试验相互独立）各次试验相互独立. .可以简单地说，可以简单地说， 且且 P(A)=p ， ； 1( )P Ap 概率论概率论 例例7 某类灯泡使

12、用时数在某类灯泡使用时数在1000小时以上小时以上的概率是的概率是0.2，求三个灯泡在使用，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率小时以后最多只有一个坏了的概率. .解解: : 设设X为三个灯泡在使用为三个灯泡在使用1000小时已小时已坏的灯泡数坏的灯泡数 . X b (3, 0.8)，把观察一个灯泡的使用把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验时数看作一次试验,“使用到使用到1000小时已坏小时已坏”视为事件视为事件A .每次试验每次试验,A 出现的概率为出现的概率为0.8 PX 1 =PX=0+PX=1=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104,)2 . 0()8 .

13、 0()(33kkkCkXP3 , 2 , 1 , 0k概率论概率论 3. 泊松分布泊松分布, 2 , 1 , 0,!)(kekkXPk 设随机变量设随机变量X所有可能取的值为所有可能取的值为0 , 1 , 2 , , 且概率分布为：且概率分布为：其中其中 0 是常数是常数,则称则称 X 服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布,记作记作X( ). 易知，易知，PX=k)0PX=k)0，k=0k=0，1 1，2 2，且有，且有, 2 , 1 , 0, 1!000 keekekekXPkkkkk 概率论概率论 泊松分布的应用场合泊松分布的应用场合历史上历史上泊松泊松分布是作为二项分布的近似，于

14、分布是作为二项分布的近似，于1837年年由法国数学家由法国数学家泊松泊松引入的，近数十年来，引入的，近数十年来，泊松泊松分布分布日益显示其重要性，是概率论中最重要分布之一。日益显示其重要性，是概率论中最重要分布之一。 在实际应用中许多随机现象服从在实际应用中许多随机现象服从泊松泊松分布。这种分布。这种情况特别集中在两个领域中。情况特别集中在两个领域中。一是一是社会生活社会生活，对服务的各种要求：诸如电话交换，对服务的各种要求：诸如电话交换台中来到的呼叫数，公共汽车站来到的乘客数等等台中来到的呼叫数，公共汽车站来到的乘客数等等都近似地服从都近似地服从泊松泊松分布；分布；另一领域是另一领域是物理学

15、物理学，放射性分裂落到某区域的质点，放射性分裂落到某区域的质点数，热电子的发射，显微镜下落在某区域中的血球数，热电子的发射，显微镜下落在某区域中的血球或微生物的数目等等都服从或微生物的数目等等都服从泊松泊松分布。分布。概率论概率论 把随机现象中事件的发生看作把随机现象中事件的发生看作“流流”的时候，如果的时候，如果事件流满足：事件流满足：(1)(1)平稳性。即流的发生次数只与时间间平稳性。即流的发生次数只与时间间隔隔tt的长短有关，而与初始时刻无关；的长短有关，而与初始时刻无关；2)2)无后效性。无后效性。即任一时间即任一时间t t0 0前流的发生与前流的发生与t t0 0后流的发生无关；后流

16、的发生无关；(3)(3)普普通性。即当时间间隔通性。即当时间间隔tt很小时，流至多发生一次。则很小时，流至多发生一次。则“流流”称为泊松流，其概率分布服从称为泊松流，其概率分布服从泊松泊松分布。分布。什么样的随机现象服从泊松分布？什么样的随机现象服从泊松分布？ 如商店里等待服务的顾客数，电话交换台的呼唤数，如商店里等待服务的顾客数，电话交换台的呼唤数，火车站的乘客数，铸件的气孔数，棉布的疵点数，田地火车站的乘客数，铸件的气孔数，棉布的疵点数，田地里一定面积上的杂草数，房间里单位面积上的尘埃数，里一定面积上的杂草数，房间里单位面积上的尘埃数，等等，都属于泊松分布的随机变量。泊松分布被称为空等等，

17、都属于泊松分布的随机变量。泊松分布被称为空间散布点的几何模型。间散布点的几何模型。概率论概率论 泊松定理泊松定理 设设 是一个常数，是一个常数， n是任意正整数，设是任意正整数，设 则对于任意固定的非负整数则对于任意固定的非负整数k，有：，有：上述定理表明，当上述定理表明，当n很大，很大，p很小（很小（ ）时，有）时，有以下近似式以下近似式概率论概率论 例例5 计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片，计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片，次品率为次品率为0.1%，各芯片成为次品相互独立，求在，各芯片成为次品相互独立，求在1000件产品中至少有件产品中至少有2只次品的概率。只次品的概率。解

18、：以解：以X记产品中的次品数，记产品中的次品数，Xb(1000,0.001)。概率论概率论 对于离散型随机变量，如果知道了它的分布律对于离散型随机变量，如果知道了它的分布律,也就知道了该随机变量取值的概率规律也就知道了该随机变量取值的概率规律. 在这个意在这个意义上，我们说义上，我们说 这一节，我们介绍了离散型随机变量及其分布这一节，我们介绍了离散型随机变量及其分布律，并给出两点分布、二项分布、泊松分布三种重律，并给出两点分布、二项分布、泊松分布三种重要离散型随机变量要离散型随机变量.离散型随机变量由它的分布律唯一确定离散型随机变量由它的分布律唯一确定.四、四、小结小结概率论概率论 解：解：4 , 3 XX的的所所有有可可能能取取值值为为：3 XP341C 41 4 XP3423CC 43 一一. 一袋中有一袋中有 4 只乒乓球，编号为只乒乓球，编号为 1、2、3、4、在其中同时取三只，以、在其中同时取三只，以 X 表示取出的表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量三只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分的分布律布律练习题练习题概率论概率论 解：解：2 , 1 , 0 XX的的所所有有可可能能取取值值为为：0 XP315313CC 3522 1 XP31512213CCC 3512 2 XP31522113CCC 351 概率论概率论 解