数学中的对称美

1、数学中的对称“美”陈春艳对称 , 顾名思义 , 就是两个事物 ( 或同一事物的两个方面 ) 相对而又相称 . 如果 A、B 是具有对称性的两个事物 ( 或同一事物的两个方面 ), 那么把 A、B 交换顺序 , 其结果不变 , 这就是对称原理“对称” 不仅是中学数学内容中一个重要的概念， 更是一种重要的思想方法。 在“对称”中往往体现出数学的“美”来。充分利用对称原理，可使我们在解决问题时多一条有效的通道， 而且常能起到化繁为简， 出奇制胜的效果。 本文在就对称性原理在中学数学中应用的几个方面作一些介绍，从中体会一下数学上的对称之美及对称性应用之妙。一、利用关系式中变元的对称“如果一个关系式中任

2、何两个字母互换位置后关系式不变，则称它是关于这些字母的对称式，如x2 y 2 1， abc等。当问题中的变元具有这种对称性，变形或运算的每一步都是bcacba对称的，则这些变元在结果中的地位也必然是对称的”。这就是对称性原理之一。xyz6例1 方程组xyyzzx11()xyz6(A) 1(B) 2(C) 3(D) 6分析： 显然方程组关于x, y, z 对称，其结果也应关于x, y, z 对称。若方程只有一组解，则必有xyz , 此时由有 xyz 2 ，代入、皆不成立，所以 (A) 错。若方程有两组解，则与方程组关于x, y, z 具有的对称性矛盾，所以(B) 也不对。若方程有三组解， 则 x

3、yz 应成立 , 此时由， z 6 2x，代入得 3x212x 13 0 ,但由于120，此方程无解， (C) 也错。故应选 (D) 。例2 已知 xi0(i1,2, n) 且 x1 x2xn，求 sin x1sin x2sin xn 的最大值。分析： 显然式子关于x1 , x2 , xn 对称，观察 sin x1sin x2 可知：因为 sin x1s in x22 sin x1x2c osx1 x2只有在x1x2 时才能取得最大值，即当22x1x2 时， sin x1sin x2 不可能取得最大值，所以由对称性知，在x1 , x2 , xn 中，只要有两数不等， sin x1sin x2s

4、in xn 就不会取得最大值， 所以当 x1 x2xnn时， sin x1sin x2sin xn 有最大值 nsin。n例 3 设 a,b, c 为正实数，且满足abc1 ，求证：1113a3 (b c) b2 (a c) c3 (a b)2证明： 原不等式等价于(abc) 2(abc) 2(abc) 23a 3 (b c) b 2 ( a c) c3 (a b)2即 (bc) 2(ac) 2(ab) 23 ，由 (bc) 2abacbc；ab acbcbaca cb2ab ac4(ac)2abbcac ；ab ba4( ab) 2ca cbab ；ca cb4以上三个不等式两边分别相加并整

5、理得(bc) 2(ac)2(ab)21()ab acbc bacacb2ab bcca3 3 a2 b 2 c23，故原不等式成立。22不等式证明中，若出现字母的对称性，一般利用xy2xy 来证明。二、利用图形的对称平面图形有轴对称和中心对称两种, 而在立体几何中的很多几何体本身就具备对称性，充分挖掘这些对称性，常常能够启迪思维，启发人们探索解题思路，发现巧妙解法。1、 在函数中的应用，例4 （ 08 全国一9）设奇函数f (x) 在 (0，) 上为增函数，且f (1)0 ，则不等式f ( x) f (x)）x0 的解集为（A (1，0)(1， )B (， 1)(01)， C (， 1)(1，

6、 )D(1，0)(01)，分析： 根据奇函数图象关于原点对称的性质，如图作出满足条件的一个奇函数的图yf(x)象，从图中不难看出满足条件的解D.-11x例 5已知 x的解， x是方程 x10 x3的解，则o是方程xlg x312x1x2 的值为分析： 函数 y lg x, y10 x 与函数 y3x 的图像的交点A, B 的横坐标就是方程的解，充分利用 ylg x, y10 x 是互为反函数， 关于直线 yx 对称， 而直线 y 3x 也关于直线 yx 对称，故 yx 与 y3 x 交点 C 就是 A, B 的中点，所以 x1x23 。2、在几何中的应用例 6求函数 f x2x 28x102x

7、24x10 的最小值。解如图 1，考虑点B(1,1), A(1,1) 和 P(x, x2) ，则 fxPAPBy动点 P 的轨迹方程是直线l : xy20， A 关于直线 l 的对称点 A/ (3,3) ，由PAPBPA/PBA/B ，MNB/N0HA f ( x) minPAPBA B25 .M0OPxQPlA 图1图 2例 7 已知二面角l的大小为 60，点M ,N分别在平面,内，点 P 到平面, 的距离分别是2， 3，则 PMN 周长的最小值为。分析：作 P 关于平面,的对称点 Q, H 交平面于 M 0 , N0 。易证PMMNPNQMMNNHQH三 、利用其他数学情形的对称例 8用

8、1、2、3、4、5 五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有()(A)24 个(B)30个(C)40 个(D)60个分析： 末位为偶数的整数即是偶数，而2、4 两数在五个数中占了2/5 ，根据对称性，满足条件的偶数也应占所有三位数的2/5 ，即有 235A524 个。例 9 在圆周上先任取两点A, B 连成一弦， 再任取两点 C, D 也连成一弦， 求弦 AB 和 CD 相交的概率。解： 利用对称性，设圆周上有四个点，现在设想随机的取两点连成一弦，余下两点也连成一弦。 这样的考虑与题中所述实际上是等价的，这样的连接方法总共只有三种，其中一种连法使两弦相交，因此两弦相交的概率为1 。3反

9、思提炼： 一般的几何概型问题要用积分进行计算，由于在几何概率为题中具有类似的对称性，因此对称性这种方法也可应用到几何概率问题中去，既简单又初等。例 10平面上向量OP( x, y3)、( x, y3)满足 OPOQ10 ，求 P,Q 中点MOQ的轨迹方程。分析：此题有多种解法，但若能利用对称这一条件进行对称变换，此题可得到简便解答。由条件，如图3， M是长为6 的线段 PQ 的中点， PQx 轴，且 OPOQ 10在 y 轴上取点A(0,3)、 B(0,3) ，连接 MP , MQ ，则易知 MA OQ, MBOP ，于是题yy设对称地转换为 “求到定点 A, B 的距离之和为定长的动点PAP

10、M 的轨迹方程 ”，如图4，不难知道M 点的轨迹是以Mx OMxA, B 为焦点，长轴长是10 的椭圆，其方程为OQQB图 3图 4x 2y 2。16125反思提炼： 此题中，我们用了一个对称变换，将原题转化为一个我们很熟悉的问题。四、利用隐含条件去揭示或构造对称一些问题中的对称暂不存在或不明显，但可通过适当的变形去发现或构造出对称关系。例 11 四边形 ABCD 面积为 S，求证： S ( ABCD BC AD)/ 2。分析 ：因为三角形面积不大于其任意两边之积的一半，观察右式即想到，若能把AB、AD( 或 BC 、 CD ) 调换位置，则结论已成立。BA解： 如图以 BD 中垂线为轴作BCD 的对称图形BC1D ，则 (AB CD BCAD)/2( ABCDBC1 AD DC