垂径定理练习题汇总

1、专业.专注选择题（共7小题）1.（ 2014凉山州）已知OO的直径CD=10cm , AB是OO的弦，AB=8cm ,且AB丄CD,垂足为M ,则AC的长为（）A.2f5cmB.C.2V5cm 或 4/5 cmD.厶阿cm或4/5 cm2.（ 2014舟山）如图，OO的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2 , DE=8 ,则AB的长为（）学习参考A.2B.4C.6D .83. （ 2014毕节地区）如图，已知OO的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是（）A.、B .5C .4D .34. （ 2014三明）如图，AB是OO的直径，弦CD丄AB于点E,则下列结论正确的是（）BA .O

2、E=BEB .BC= BDC . BOC是等边三角形D .四边形ODBC是菱形5. （ 2014?南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油面的宽AB=160cm ,则油的最大深度为（）J 160 A. /40cmB.60cmC.80cmD .100cm6.（ 2014安顺）如图，MN是半径为1的OO的直径，点A在OO上，/ AMN=30 点B为劣弧AN的中点.P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A.B.1C.2D .2V27. （ 2014沛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，OA与x轴交于B （2, 0）、C （ 8 , 0）两 点，与y

3、轴相切于点D,则点A的坐标是（）A.(5 , 4)B.(4, 5)C.(5 , 3)D .(3, 5)解答题（共7小题）8.( 2014狒山)如图，00的直径为10cm ,弦AB=8cm , P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围9.( 2014盘锦三模)如图，CD为OO的直径，CD丄AB，垂足为点F, AO丄BC,垂足为E,二二 二,(1)求AB的长；(2)求00的半径.D10 .( 2009长宁区二模)如图，点C在00的弦AB上，CO丄AO,延长CO交00于D .弦DE丄AB，交AO于F.(1) 求证：OC=OF ;(2) 求证：AB=DE .11 .( 2009?浦东新区二模)一根横截

4、面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水(如图)，此时的水面宽AB为0.6米.(1) 求此时的水深(即阴影部分的弓形高)；(2) 当水位上升到水面宽为 0.8米时，求水面上升的高度.12 .（ 2008长宁区二模）如图，在厶ABC中，AB=AC , OO过点B、C,且交边AB、AC于点E、F,已知 / A= / ABO连接 OE、OF、OB.（1）求证：四边形AEOF为菱形；（2）若 BO 平分/ ABC,求证：BE=BC .13 .（ 2007狒山）如图,OO是厶ABC的外接圆，且AB=AC=13 , BC=24 ,求OO的半径.14 . （ 2007青浦区二模）如图，一条公路的转弯

5、处是一段圆弧（图中的弧AB），点O是这段弧的圆心，点C是弧AB上的一点，OCL AB 垂足为D,女口 AB=60m , CD=10m ,求这段弯路的半径.参考答案与试题解析选择题（共7小题）1.（ 2014凉山州）已知OO的直径CD=10cm , AB是OO的弦，AB=8cm ,且AB丄CD,垂足为M ,则AC的长为（）A.2V5cmB.4V5cmC.2V5cm 或 45 cmD.cm 或 45 cm考点：垂径定理；勾股定理.专题：分类讨论.分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论.解答：解：连接AC , AO ,/OO 的直径 CD=10cm , AB丄 CD

6、, AB=8cm ,/ AM=AB= 2x 8=4cm ,OD=OC=5cm , 2 2当c点位置如图1所示时，/ OA=5cm , AM=4cm , CD丄 AB,二 OM=Ja2 -上2=寸5文 _ 护=3術,/ CM=OC+OM=5+3=8cm ,二 ac=JaM，+C补=(4, +衣=4 屈cm ；当C点位置如图2所示时，同理可得0M=3cm ,/ 0C=5cm ,/ MC=5- 3=2cm ,在 Rt AMC 中，AC= | h :-=2 玄二cm 故选：C.匿11圉点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键2.（ 2014舟山）如图，00的直径

7、CD垂直弦AB于点E,且CE=2 , DE=8 ,则AB的长为（）A.2B.4C.6D .8考点：垂径定理；勾股定理.专题：计算题.分析：根据CE=2 , DE=8 ,得出半径为5,在直角三角形 OBE中，由勾股定理得 BE,根据垂径定理得出 AB的长.解答:解：T CE=2 DE=8 , OB=5 , OE=3 ,/ AB 丄 CD,在 OBE中，得 BE=4 ,AB=2BE=8 .故选：D.点评：本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握3. （ 2014毕节地区）如图，已知OO的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是（）A.6B.5C.4D .3考点：垂径定理；勾股定

8、理.分析：:过O作OCLAB于C,根据垂径定理求出 AC,根据勾股定理求出 OC即可.解答：解：过O作OCLAB于C,/ OC过 O, AC=BC=AB=12，在Rt AOC中，由勾股定理得：OC=.=5 .故选：B.点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长.4. （ 2014三明）如图，AB是OO的直径，弦CD丄AB于点E,则下列结论正确的是（）A.OE=BEB.BC=BDC. BOC是等边三角形D -四边形ODBC是菱形考点：垂径定理.分析：根据垂径定理判断即可.解答：解：TAB丄 CD AB 过 O , DE=CE ,=:根据已知不能推出 DE=BE, BOC是等边三

9、角形，四边形ODBC是菱形.故选：B.点评：本题考查了垂径定理的应用,主要考查学生的推理能力和辨析能力B5. （ 2014?南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油面的宽AB=160cm ,则油的最大深度为（）J 160 TA. /40cmB.60cmC.80cmD .100cm考点：垂径定理的应用；勾股定理.分析：连接OA ,过点O作0吐AB 交AB于点M ,由垂径定理求出 AM的长，再根据勾股定理求出 OM的长,进而可得出ME的长.解答：解：连接OA ,过点0作0吐AB 交AB于点M ,直径为 200cm , AB=160cm ,/ 0A=0E=100cm ,

10、AM=80cm ,二 0M=丄厂.=- :; =60cm，/ ME=OE- 0M=100 - 60=40cm .故选:A.J 160 点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键6.（ 2014安顺）如图，MN是半径为1的OO的直径，点A在OO上，/ AMN=30 点B为劣弧AN的中点.P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A.B.1C.2D .2讥轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理.AB 与 MN 的作点B关于MN的对称点B,连接OA、OB、OB、AB，根据轴对称确定最短路线问题可得交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，

11、同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出/ AON=60 然后求出/ BON=30 再根据对称性可得 / B ON= / BON=30然后求出/ AOB =90从而判断出 AOB是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB二匚OA ,即为PA+PB的最小 值.解答：解：作点B关于MN的对称点B,连接OA、OB、OB、AB ,则AB与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB ,/ AMN=30 ,/ AON=2 / AMN=2 X 30 =60 ,点 B为劣弧AN的中点,/ BON=Z AON= X 60 =30 ,2 2由对称性，/ B 0N2 BON=30 ,/ A

12、OB = / AON+ / B ON=60 +30 =90 , AO是等腰直角三角形， AB = : OA= .X 1=.：,即PA+PB的最小值 =故选:A.点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到 AOB是等腰直角三角形是解题的关键.7. ( 2014沛县模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，OA与x轴交于B (2, 0)、C ( 8 , 0)两 点，与y轴相切于点D,则点A的坐标是()A.(5 , 4)B.(4, 5)C.(5 , 3)D .(3 , 5)考点：坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理专题：压轴题分

13、析：1因为点A在第一象限，OA与x轴交于B (2 , 0)、C ( 8 , 0)两点，与y轴相切于点D,所以OB-2 , OC=8 , BC-6 ,连接AD ,则ADL OD ,过点A作AE丄OCT E,贝U ODAE是矩形，由垂径定理可知BE-EC-3 ,所以OE-AD-5 ,再连接AB ,则AB-AD-5 ,利用勾股定理可求出 AE-4 ,从而就求出了 A的 坐标.解答：解：连接AD , AB, AC,再过点A作AELOC于E,则ODAE是矩形，点A在第一象限，OA与x轴交于B (2 , 0)、C (8 , 0)两点，与y轴相切于点 D, OB=2 , OC=8 , BC=6 ,VOA与y

14、轴相切于点D, ADL OD,由垂径定理可知：BE=EC=3 , OE=AD=5 , AB=AD=5 ,利用勾股定理知 AE=4 , A 5 , 4).故选A.yjk点评：本题需综合利用垂径定理、勾股定理来解决问题二解答题（共7小题）8.（ 2014狒山）如图，00的直径为10cm ,弦AB=8cm , P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围考点：垂径定理；勾股定理.专题：几何图形问题.分析：过点O作OEL AB于点E,连接OB ,由垂径定理可知 AE=BE= AB,再根据勾股定理求出 OE的长，由此2可得出结论.解答：解:过点O作OEL AB于点E,连接OB,/ AB=8cm ,/ AE=

15、BEAB=丄 X 8=4cm , 2 2TOO的直径为10cm ,/ OBX 10=5cm ,2二 oe=Job?-盟叫5? -护=3cm，垂线段最短，半径最长，/ 3cm OPW 5cm . 厂、k K-J点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.9.（ 2014盘锦三模）如图，CD为OO的直径，CD丄AB，垂足为点F, AO丄BC,垂足为E,爲(1)求AB的长；(2)求OO的半径.CD考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质 .分析：(1)先根据CD为OO的直径，CD丄AB得出二匸H,故可得出/ C= / AOD,由对顶角相等得出I2/ AOD= /

16、COE,故可得出/ C= / COE,再根据A0丄BC可知/ AEC=90。故/ C=30 再由直角三角形的2性质可得出BF的长，进而得出结论；(2)在Rt OC冲根据/ C=30即可得出 OC的长.解答：解：(1)v CD为OO的直径，CDLAB1=， AF=BF, / C=Z AOD，/ AOD= / COE,COE,/ AO丄 BC, / AEC=90/ C=30 ,/ BC=2；， BF= BC=2 AB=2BF=2 s(2)T AO丄 BCBC=2 :, CE=BE= BC= 二，2/ C=30 , 0C=2 ,即OO的半径是2 .cos30 V3T点评：本题考查的是垂径定理，熟知平

17、分弦的直径平分这条弦 ，并且平分弦所对的两条弧 ”是解答此题的关键10 .( 2009长宁区二模)如图，点C在OO的弦AB上，CO丄AO,延长CO交OO于D .弦DE丄AB，交AO于F.(1) 求证:OC=OF ;(2) 求证：AB=DE .考点：垂径定理；全等三角形的判定.专题：证明题.分析：(1 )、由同角的余角相等可得 ，/ DFOZ OCA 由AAS证得 ACO DFQ 故有OF=OC ;(2 )、证得 Z DOE= Z AOB 再 由 SAS 得到 OABA ODE? AB=DE .解答: 证明：(1 )/ D+Z DCAM D+Z DFO=90 ,/ DFO= Z OAC.又/ O

18、D=O, Z DOFZ AOC=90 , ACOm DFO. OF=OC.(2)连接 OB、OE,/ OE=OD, OA=OB ,/ D= / E,Z A= / B./ DOE=180- / D,Z A0B=18& 2 / A.由 1 知， ACO DFO 有/A=Z D./ DOE= / AOB.又/ OE=OD=OA=OB OAIB ODE. AB=DE.本题利用了同角的余角相等,全等三角形的判定和性质，等边对等角求解11.（ 2009?浦东新区二模）一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米.（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；（2

19、） 当水位上升到水面宽为 0.8米时，求水面上升的高度.考点：垂径定理的应用.分析：作半径OCLAB 连接OA ,则CD即为弓形高.根据垂径定理的 AD= AB,然后根据已知条件求出 CD的2长；当水位上升到水面宽 MN为0.8米时，直线OC与MN相交于点P,由此可得OP=O.3 ,然后根据MN与AB在圆心同侧或异侧时两种情况解答.解答：解：(1)作半径OCLAB垂足为点D,连接OA ,则CD即为弓形高/ 0C丄 AB,二-P* AO=05 AB=06 , AD= AB= X 0.6=0.3,2 2 0D=-疸=,1 ：- : : =0.4， CD=OC- OD=0.5 - 0.4=0.1米，

20、即此时的水深为 0.1米(2)当水位上升到水面宽 MN为0.8米时，直线OC与MN相交于点P同理可得 OP=0.3 ,当MN与AB在圆心同侧时，水面上升的高度为 0.1米；当MN与AB在圆心异侧时，水面上升的高度为 0.7米.b点评：本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力12 .( 2008长宁区二模)如图，在厶ABC中，AB=AC , OO过点B、C,且交边AB、AC于点E、F,已知/ A= / ABO连接 OE、OF、OB.(1) 求证：四边形AEOF为菱形;(2) 若 BO 平分/ ABC,求证：BE=BC .考点：菱形的判定；平行线的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾

21、股定理；圆的认识；垂径定理.专题：证明题.分析：（1）连接AO并延长AO交BC于M过0作OQL AB于Q ,连接0C ,根据等腰三角形的性质证出/ BAC= / ABO= / ACO推出 / BAC= / OEB= / OF得出 AE / OF, AF / 0再 OE=OF ,即可推出答案；（2）根据角平分线定理求出 OQ=OM ,根据勾股定理求出 BQ=BM ,根据垂径定理即可推出结论 .解答：证明：（1）连接AO并延长AO交BC于M过O作OQL AB 于Q, ORL AC 于R,连接OC,/ OB=OC,/ OBC= / OCB,/ AB=AC ,/ ABC= / ACB ,/ ABO=

22、/ ACO,/ BAC= / ABO,/ BAC= / ABO= / ACO,/ OE=OB, OC=OF ,/ ABO= / OEB,Z ACO= / OFC,/ BAC= / OEB= / OFC, AE / OF, AF / OE,四边形AEOF是平行四边形，/ OE=OF,平行四边形AEOF为菱形.(2)圆 O 过 B、C, O在BC的垂直平分线上，/ AB=AC , AM 丄 BC, BO平分 / ABC, OQ丄 AB, OQ=OM,由勾股定理得：BM=BQ ,由垂径定理得：BE=BC.点评：本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的判定，菱形的判定，垂径定理，圆的认识，角平分线的性质行线的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是证此题的关键13 .( 2007狒山)如图