2021-2021版高中数学第二章空间向量与立体几何6距离的计算学案北师大版选修2-1

1、6距离的计算【学习目标I 1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念2掌握点到直线的距离、点到平面的距离的计算 3体会空间向量解决立体几何问题的三步曲Q知识梳理知识点一点到直线的距离i点到直线的距离因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一平面内点到直线的距离问题如图，设I是过点p平行于向量r jh 定点 作AA丄I，垂足为A,那么点A到直线I的距离d等于线段AA的长度，而向量PA在 s上 的投影的大小 等于线段PA的长度，所以根据勾股定理有点 A到直线I的距离2点到直线的距离的算法框图空间一点A到直线I的距离的算法框图，如图知识点二点到平面的距离1. 求点到

2、平面的距离作AA丄冗，垂足为A，那么点A到平面n的距离d等于线段AA的长度n的距离d =.2点到平面的距离的算法框图空间一点A到平面n的距离的算法框图，如下图知识点三直线到与它平行的平面的距离如果一条直线平行于平面a，那么直线上的各点向平面a所作的垂线段均相等，即直线上各点到平面a的距离均一条直线上的任一点到与该直线平行的平面的距离，叫作直线与平面的距离知识点四 两个平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫作两个平面的 .公垂线夹在两个平行平面之间的局部，叫作两个平面的 两个平行平面的公垂线段的长度，叫作两个平行平面的 函题型探究类型一 求点到直线的距离例1如图，在空间直角坐标系中有棱长

3、为2的正方体ABCBABCD, E F分别是棱CC和DA的中点，求点 A到直线EF的距离.反思与感悟一点P和一个向量s确定的直线I，那么空间一点 A到直线l的距离的算法步骤(1)计算斜向量PA 计算PA向量S上的投影PA- So；(3)根据勾股定理，计算 d= P|函2_冋.so|2点A到直线I的距离公式也可以写成 d=. | PA2-PA- | S|求平行直线间的距离通常转化为求点到直线的距离 跟踪训练1 如图，在直三棱柱 ABC- ABC中，过Al, B, G三点的平面和平面 ABC勺交线为I . 判断直线AG和I的位置关系，并加以证明;如果AA = 1, AB= 4, BC= 3，/ A

4、BC= 90，求点 A到直线I的距离类型二求点到平面的距离例2四边形 ABCD是边长为4的正方形，E, F分别是AB AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且 CG= 2，求点B到平面EFG的距离反思与感悟利用向量求点到平面的距离的一般步骤(1) 求出该平面的一个法向量；(2) 求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离跟踪训练2 点A 1,1，- 1)，平面a经过原点 Q且垂直于向量 n= (1 , - 1,1), 求点A到平面a的距离类型三 求直线到与它平行的平面的距离例3 在棱长为a的正方体

5、 ABCDA B C D中，E, F分别是BB , CC的中点(1)求证：AD/平面 A EFD ; 求直线AD到平面A EFD的距离反思与感悟 求线面距离常转化为直线上的点到平面的距离跟踪训练3 在直棱柱 ABCB ABCD中，底面为直角梯形， AB/ CD且/ ADC= 90, AD= 1,CD=, BC= 2, AA= 2, E是CC的中点求直线 AB与平面ABE的距离类型四 求两平行平面间的距离例4 如图，正方体 ABCD Ai B C D的棱长为4, M N, E, F分别为 Ai D, AB, C D, B C的中点，求平面 AMN平面EFBD间的距离反思与感悟 求平行平面之间的距

6、离常转化为求点到平面的距离跟踪训练4 正方体 ABCD A B CD的棱长为1，求平面 Ai BD与平面B CD间的距离当堂训练1 在棱长为a的正方体 ABCD Ai B C D中，M是AA的中点，那么点A到平面MBD勺距离是D.C.2. 两平行平面a、卩分别经过坐标原点0和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量为 n =(1,0,1)，那么两平面间的距离是()3A.2C. ;3D.3 .23. 平面a的一个法向量为 n= ( 2, 2,1)，点A 1,3,0)在a内，那么P( 2,1,4)到a的距离为.4. 在长方体 ABC ABCD中，底面 ABCD是边长为2的正方形，高 AA为4，那么

7、点A到截面ABD的距离是.5. 如图，多面体是由底面为 ABCD勺长方体被截面 AECF所截而得到的，其中 AB= 4, BC= 2,CC= 3, BE= 1.(1)求BF的长；求点C到平面AECF的距离.I一规律与方法 ,1. 由直线到平面的距离的定义可知，直线与平面的距离，实质上就是直线上一点到平面的距 离，可转化为点到平面的距离来求2. 两个平行平面的公垂线段就是在一个平面内取一点向另一个平面作垂线段，所以两个平行 平面间的距离可转化为一个平面内的一点到另一个平面的距离，即可转化为点到平面的距离 求解.提醒：完成作业第二章 6合案精析知识梳理知识点一1.| PA- so|知识点二yPA2

8、-| PA- so|1. PA n 长度 PA no知识点三相等知识点四公垂线公垂线段距离题型探究例1解如图，连接AFL T血r f *卜/ aA；/c y正方体 ABCB ABCD 的棱长为 2,二 A(2,0,0),E(0,2,1), F(1,0,2).直线EF的方向向量为EF= (1 , - 2, 1),取直线 EF上一点 F(1,0,2),点A(2,0,0)到直线EF上一点F(1,0,2)的向量为辰 (-1,0,2), AF在匠上的投影为XfEF=十, Xf V6点A到直线EF的距离为AF2- AF亘 2=芳.EF 6跟踪训练1 解(1)AC/ I.证明如下：/ AQ/ AC A1C?

9、平面 ABC AC 平面 ABC- AQ / 平面 ABC又平面 ACBQ平面 ABG= I ,I / AG.(2)如图，建立空间直角坐标系，那么 B(4,0,0), G(4,3,0), A(0,0,1),Ci(4,3,1). AiB= (4,0 , - 1) , AG= (4,3,0).过点B作BHLAG,垂足为点 H由(1)知，I / AiG， BH即为点Ai到直线I的距离.T AiB AG16, i Ah =AB AG| Ai G |16T， | BH =2-i 21 3|AiB-|Ai H=-3即点A到直线1的距离为丁.例2解建立如下图的空间直角坐标系由题意可知 G(0,0,2), E

10、(4 , - 2,0) , F(2 , - 4,0),巳4,0,0), &E= (4，- 2, - 2) , GF= (2 , - 4,- 2),BE (0，- 2,0).设平面EFG的一个法向量为 n= (x, y, z).得 2X-y- Zx-2y- z= 0,GE n= 0,由Tn = 0,x=- y,z= 3y.令 y = 1，贝y n = ( 1,1 , - 3), 故点B到平面EFG的距离为| EBE- n|220d=mr厂跟踪训练2解- OA= (1,1， 1),n= (1 , 1,1), 点A到平面 a的距离为d= n| n| 1 1 1|L：3，3.例3(1)证明以D为坐标原

11、点，分别以DA DC DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图由题意得DA= (a,0,0), =(a, 0,0), DA/ D A./ Dz A 平面 A EFD , AD?平面 A EFD , AD/平面 A EFD .a 解由题意得 D (0,0 , a), F(0 , a, 2)，a BaD F = 0, a, 2 , DF= 0, a, 2 1ayaz= 0,ax= 0.设平面A EFD的一个法向量为 n= (x, y, z),n - D F = 0, 那么Bn - D A = 0,不妨令z= 1，贝U n= (0 ,扌，1). DF在n上的投影的大小为.|DF- n|

12、2 ,;5d= = a.I n|5直线AD到平面A EFD的距离为跟踪训练3解 如图，以点D为坐标原点，分别以 DA DC DD所在直线为x轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系，那么A(1,0,2) ，A(1,0,0) ，E(0， ：3, 1)，QO, ,；3，0).过点C作AB的垂线交AB于点F,易得BF= ,：3, - B(1,2 :3 , 0), XB= (0,2 3 0) , BE= ( - 1,- ；3, 1).设平面 ABE的一个法向量为 n= (x, y, z),n AB= 0,n BE= 0,2 =0,x- ;3y + z= 0 ,y= 0 ,x=z.令 z = 1, 得 n

13、= (1,0,1). AA= (0,0,2),直线AB与平面ABE的距离为例4解如图，以点D为坐标原点，分别以DA DC DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，贝y Q0,0,0), M(2,0,4),A(4,0,0),B(4,4,0),曰0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4), EF= (2,2,0), MN= (2,2,0),XM= ( - 2,0,4) , BF= ( - 2,0,4), Ef= MN, AM= bF, EF/ MN AIM/ BF,平面 AMN平面EFBD设n = (x, y, z)是平面AMIN勺一个法向量,n MN= 2x + 2y= 0,那么

14、n XM=- 2x+ 4z= 0,x= 2z,解得令 z= 1，得 x = 2, y=- 2,y=- 2z.那么 n= (2 , - 2,1).又T XB= (0,4,0),n 商n上的投影为讨-8 _ 8 4 + 4+ 13,平面AMh与平面EFBD可的距离为d=汕| nAB = 3.跟踪训练4 解 以D为坐标原点，分别以 DA DC DD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如下图的空间直角坐标系那么A(1,0,1),B(1,1,0), D(0,0,1), AiB= (0,1 , 1) , AD= ( 1,0 , 1) , AD = ( 1,0,0).y-z=0,x z= 0.设平面ABD的一个

15、法向量为n= (x, y, z),n AB= 0, 那么 n AD= 0,令 z = 1,得 y = 1, x=- 1 , n= ( 1,1,1).点D到平面ABD的距离为 n|1-73d =飞=丁 平面ABD与平面BCD间的距离等于点 D到平面ABD的距离,平面ABD与平面BCD间的距离为*3 当堂训练1041.A2.B3. 4. 3335.解(1)建立如下图的空间直角坐标系,x7cyfl那么 D(0,0,0),B(2,4,0), A(2,0,0), Q0,4,0) , E(2,4,1), C(0,4,3).设点 0,0 , z).截面AECF为平行四边形, AF= EC,2,0 , z) = ( 2,0,2), z =