数学建模作业6

1、佛山科学技术学院上 机 报 告课程名称 数学建模 上机项目 人口模型 专业班级 一、 问题提出人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一。认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。要求：分别建立并求解两个最基本的人口模型，即：指数增长模型和Logistic模型，并利用表1给出的近两百年的人口统计数据，画出图形拟合数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年的人口。表1 人口统计数据年（公元）人口（百万）17903.918005.318107.218209.6183012.9184017.1185023.2年（公元）人口（百万）186031.4187038.6188050

2、.2189062.9190076.0191092.01920106.5年（公元）人口（百万）1930123.21940131.71950150.71960179.31970204.01980226.51990251.4二、问题分析人口的变化受到众多方面因素的影响。人口数量对人类的发展影响也是与日俱增。所以对人口数量的控制和预测也显得尤为重要。就此我们需要找到更好更精确的人口增长模型来预测人口数量。就此，根据题目所给的信息，就美国从1790年至2000年的人口增长入手，用指数增长模型的检验人口增长是否相符，预测人口增长。并改进成阻滞增长模型，并用它预测人口增长。1.先用指数增长模型检验人口增长是

3、否相符。由于经历的时间比较长，所以我们分为长期和短期分别检验。就会发现规律，短期的符合该模型，而长期而言后半期明显计算的增加的比较快。根据这个问题我们找原因。由于资源、环境问题使阻滞增长人口模型人口增加到一定数量时，增长率会减慢。据此改进我们就得到了第二个模型。2.得到第二个模型后先找规律，找关键点。及增长率随时间的变化以及人口容量值。分析人口随时间变化率与人口容量的关系。然后得出人口与时间的关系。最后检验计算值与实际值是否相符，很明显相符的。所以我们就可以用之预测人口数量了。3.分析两模型的优缺点，适用范围，以便我们更广泛明了的使用。模型一：指数增长（Malthus）模型：三、模型假设：1时

4、刻t人口增长的速率与当时人口数成正比，增长率为常数r。2以x(t)表示时刻t某地区（或国家）的人口数，设人口数x(t)足够大，可以视做连续函数处理，且x(t)关于t连续可微。符号说明t表示某一时刻；x(t)表示时刻t某地区（或国家）的人口数；r表示人口增长率为常数。四、模型建立：今年人口 x0, 年增长率 r，k年后人口指数增长模型马尔萨斯提出 (1798)基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数x(t) 时刻t的人口 （1） 随着时间增加，人口按指数规律无限增长五、模型求解（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）解微分方程（1）得 （2）表明：时，（0）模型的参数估计：要用模型的结果

5、（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.通过表中17901980的数据拟合得： =0.307. 模型检验：将x0=3.9，=0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的18101920的人口数，见下图:程序代码：M文件：function x=renkou1(beta,t)x=3.9*exp(beta.*t);t=0:1:20;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.

6、3 204.0 226.5 251.4;beta0=0.1;beta,r,J=nlinfit(t,x,renkou1,beta0);betay=renkou1(beta,t)YY,delta=nlpredci(renkou1,t,beta,r,J);plot(t,x,b*,t,YY,r)error=abs(y-x)画图：（根据拟合出的数据和原来数据填写表格）表2 实际人口与按指数增长模型计算的人口比较年(公元)实际人口（百万）指数增长模型计算出人口（百万）误差17903.93.9000018005.34.84440.455618107.26.01761.182418209.67.47482.1

7、252183012.99.28493.6151184017.111.53345.5666185023.214.32648.8736186031.417.795713.6043187038.622.105116.4949188050.227.458222.7418189062.934.107528.7925190076.042.367133.6329191092.052.626839.37321920106.565.371141.12891930123.281.201641.9984 1940131.7100.865630.83441950150.7125.291525.40851960179.

8、3155.632423.66761970204.0193.320810.67921980226.5240.135913.63591990251.4298.287946.8879（分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长。而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著。下需要对该模型进行改进，即阻滞增长模型。）模型二：Logistic模型（阻滞增长模型）模型假设：（a）人口增长率为人口的函数（减函数），最简单假定（线性函数），叫做固有增长率.（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量.符号说明:r表示人口增长率，x（t）表示增长率为r时人口数量表示自

9、然资源和环境条件年容纳的最大人口容量模型建立：当 时，增长率应为0，即=0，于是，代入得： （3）将（3）式代入（1）得：模型： （4）模型求解：解方程组（4）得 （5）xtO图2 x-t曲线图 根据方程（4）作出 曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律. Ox图1 曲线图 模型的参数估计：利用表1中17901980的数据对和拟合得：=0.2072, =464.模型检验：将=0.2072, =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的18001990的人口数，也可将方程（4）离散化，得 t=0,1,

10、2, (6)用公式（6）预测18001990的人口数程序代码：M文件：function f=renkou2(beta,t)f=beta(1)./(1+(beta(1)/3.9)-1)*exp(-beta(2)*t) t=0:1:20;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4;beta0=10,0.1;beta=lsqcurvefit(renkou2,beta0,t,x);f=renkou2(beta,t)plot(t

11、,x,r*,t,f)error=abs(f-x)画图：（根据拟合出的数据和原来数据填写表格） 表2 实际人口与按指数增长模型计算的人口比较年(公元)实际人口（百万）logistic模型计算出人口（百万）误差17903.9 3.9000 0.000018005.35.13850.1615 18107.26.76170.438318209.68.88290.7171183012.9 11.64401.2560184017.115.22021.8798185023.219.82243.3776186031.425.69575.7043187038.633.11185.4882 188050.242.35187.8482189062.953.6738 9.2262190076.067.26748.7326191092.083.1949 8.80511920106.5101.33175.16831930 123.2121.32551.8745 1940131.7142.5934 10.89341950150.7164.3748 13.67481960179.3185.83266.53261970204.0206.17802.1780198