数值计算方法习题答案解析第二版绪论

1、完美WORD格式数值分析(p11 页)4试证：对任给初值 X。，求开方值、.a(a . 0)的牛顿迭代公式Xk 1 - 2(xk XT)，k - 0,1,2,恒成立下列关系式：(1) Xk iTa =疥(Xk -a) , k = 0,1,2,.Xk八M k =1,2,X.2 -2 一 axk a2XkXk - a2Xk证明:(1) Xk卅一4a = Xk + 旦一Ja2 lXk )(2)取初值Xo 0，显然有Xk0，对任意k _ 0，1c、1 a1xk +=x ki21xk丿2、VXk J2+ 4a4a专业知识分享6证明:Xk卅一引8110心2 2.5101-2n而Xk 卅一 81；k+H-8

2、2xk丿若Xk有n位有效数字，则Xk2Xk -82Xkxk 一一82.5-Xk 1必有2n位有效数字。8解：此题的相对误差限通常有两种解法根据本章中所给出的定理：*.m*对误差限为(设X的近似数X可表示为X二一0耳玄2an 10m，如果X具有I位有效数字，则其相则捲=2.7，有两位有效数字，相对误差限为e _ 为11%| 厂 10 =0.025x2 =2.71，有两位有效数字，相对误差限为e X2X2I10=0.0252 2X3 =2.718，有两位有效数字，其相对误差限为:X x 10=0.00025刈 2 2第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解对于 x1 = 2.7， % -e 0.0

3、183xe0.0183二其相对误差限为 - 吒0.00678|xj2.7同理对于x2 =2.71，有|x2 -e0.0083 4(X1 -x)(x -Xo)20.证明:f(X) - p(X) I k 时，f (n)(x) = xk 5)=o；当 n=k 时，f (n)(x) = xk =k!；f(Xo,Xi,.,Xn)=i3.解：由题意知，给定插值点为Xo =o.32, yo =o3i4567; Xi=o.34, yi=.333487; X?=o.36, y2 =.352274 由线性插值公式知线性插值函数为PxxX1 yo + LyxO.34 o.3i4567 + X 一.32 0.3334

4、87Xo XiXi Xo o.o2o.o2当 x=0.3367 时，sin 0.3367R(0.3367)0.0519036+0.2784616 0.330365其截断误差为I R-1(x) | 0.333487 0.0167 0.0033 0.92 X102P2(X)=(x -xj(x -X2)(X0 - X1)(X0 - X2)若用二次插值，则得丄(XX)(XX2)丄(XX)(X xjy +y1 +讨2(X1 X)(X1 X2)(X2 X)(X2 X1)sin 0.3367 P2(0.3367) 0.330374其截断误差为I R2(x) I w 叫 I(X -X0)(X -X1)(X -

5、X2)I6其中 M3= max I f (x) I = max I cosx I =cos0.32I0.950 0.0167 0.0033 X0.0233 I 0617解：差商表为Xi f (x) 一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商五阶差商1 -32 03315156448339151055712 1061928715100由差商形式的牛顿插值公式，有P(x)=f(x) + f (x, xj(x-x) + f (X,X1,X2)(X-X0)(X-X1)+ f(X0, X1, X2, X3)(XX0 )(xX1)(X -X2)=-3+ 3(x -1) + 6(x -1)(x _2) + (x -1

6、)(x _2)(x _3)23题：1 解：由于 P(0) =p(1) =p (1)0，贝y设 P(x) =Cx(x -1)22 1 由 P(2)=1,得C 2 (1)=1，贝U C =-21所以 P(x) x(x-1)224.解：由于 P(0) =0, P(1) =1, P(2) =2, P(3) =3 可设P(x)二 x Cx(x_1)(x_2)(x_3)1由P (2) = 0得1 1Pt： ) =1 C 2 (2 _1)(2 _3) =0，有： C =-21所以 P(x)=x x(x-1)(x-2)(x-3)26.解：由泰勒公式有3-f (x0)2 f (- )3f(x)二 f(x0)f

7、(x)(x- X。)十(x-x。)3 (X-x0)f ( x )设 P(x) = f(X0) f(X0)(X - X0)S(X - X0)2 C(x -X0)32!其满足 pj(x) = f j(x),其中 j -0,1,2in由 P(X1)= f(X1 )，得f(x,xj _ f(X0) _ f(X0)(X1-X)2 (X-X)2 (X1 -X)代入(*)式既可得 P(x).33. 解：由于 S(xC2 0,2 1，故在 x=1 处有 S(1),S(1),S(1)连续，即:b +c =12b + c= 1解得:b = 2i c = 334、解：首先确定求解过程中涉及到的一些参数值。X。-1,

8、Xi=0,X2= 1,X3= 3=ho=1,hi=1,h2 =2hoh11h1 h231do6 (f (Xo, X1 ) f 0 )= 24ho1 =6f(xo,x1,x2)= 6、f (Xk)k=0一丨丨(Xk - Xj )j =0j*d26f (xX2，X3)= -2d36 f3 一 f(X2,X3)二 0h2于是得到关于 Mo,Mi,M2,M3的方程组:2TMol-2411/2122M1M2-2三对角方程1/2 7/4127M101/3 40/211 720m2-2-13$20一91 一M 一10 一03 -I11Mo【一 24 I1 20（追赶法）2 0M o = 14M1 =4M2

9、2M3 =1解方程求出Mo,M1,M2,M3，代入収刈二斗广酗曾Mii6hi6hihih1 2X_Xih2Mi)- -ACM,)6hi6即得满足题目要求的三次样条函数3x3 +2x2 +x + 1S(x)x3 2x2 x 111 37 219x3x2x -444. 1,0 1 x：= 0,1 1 x11,214习题二2.解：判断此类题目，直接利用代数精度的定义1 1当 f (x) =1 时，左=| 1 dx = x = 13 1右=11=1，左=右4 4.1当 f (x)二 x 时,10x dxx223 1113dx3当f (x) = x2时，左=右=4 342，左=右右=所以求积公式的代数精

10、度为3(1)3 J4 3418，左2.3. 解： 求积公式中含有三个待定参数，即:A0, A1, A2，因此令右=3 12 11-(-)2 +_ 1一，左=右4 34341_ 1左=J 3X0Xdx =$0404033当 f(X)二 X 时,求积公式对f(x)=1,x,x解得：氏=A h, A h均准确成立，则有代 +A + A =2h -Rh + Ah-OAh2 +A2h2 =2h3l.36. 解:所求公式至少有2次代数精度。3又由于当f(X)二X时，左=0右=A0 (_h)3 A2 h3 =02当 f (x)二 x4 时，左=h55右=A)h4 Ah4 二 h5 =左所以求积公式只有 3次

11、代数精度。、类似方法得出结论。因要求构造的求积公式是插值型的，故其求积系数可表示为1A0 二0&)二7dxX0X11 11(4x _3)dx =0 221A1 0 h(x)-1ldx)X1 - X。111(4x - 1)dx = 022故求积公式为:10f(x)dx113=(4)f(；)F面验证其代数精度:f(X)=1 时,1左 = x0 =1,右=1f ( X)二 X 时,1右二-2 2f (x) =x2 时,3左=3右左3167. 证明:所以其代数精度为1。ag(x)二、k =0Akg(Xk)若求积公式 对f (x)和g(x)准确成立，则有nf (x)八 Ak f (Xk)k=0I Lf

12、(x)】“g(x) dxf(x)dx ： g(x)dxa annn二八 Akf(Xk)八 Akg(Xk)二 A(：f(Xk) 1g(Xk)k0k=0k 二0所以求积公式对:f (x)亠g(x)亦准确成立。kk 1 k次多项式可表示为 akx - akJxa1x - a0二pk(x)若公式对xk(k =0,1，m)是准确的， 则有7题中的上一步可知，其对pk(x)亦成立。由代数精度定义可知,其至少具有m次代数精度。2815空12 2120235-=1.6289687912.解:4112T。二扣 f(5) =2(1 W25514T1二尹2f11# 、 T2T1 2f(2) f (4)2 214 1 1101( )=15 2 4601J xdx5RS 9(高斯求积公式的节点与系数可查表得到,精确解为：1.609438AA17解：首先将区间0，1变换为-1，1，令