定积分的应用(面积)

1、2021/6/161第七节第七节 定积分的应用定积分的应用一一. .求平面图形的面积求平面图形的面积二二. .求几何体的体积求几何体的体积三三. .在经济问题中的应用在经济问题中的应用2021/6/162复习：定积分的几何意义复习：定积分的几何意义1A2A3A4A4321d)(AAAAxxfba Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值A一一. .求平面图形的面积求平面图形的面积2021/6/163ab)( xfxy0； baxxfAxfd)(,0)(ab)(xfxy0； baxxfAxfd)(,0)( .d)(A baxxf1.1.以以x轴为底

2、边的曲边梯形的面积轴为底边的曲边梯形的面积2021/6/164若若f (x)有正有负有正有负,则曲边梯形面积为则曲边梯形面积为.d)( baxxfA)(xfy )(xfy xyoab2021/6/165； bayyAyd)(,0)( ab)(yx xy0； bayyAyd)(,0)( .d)(A bayy 2.2.以以y轴为底边的曲边梯形的面积轴为底边的曲边梯形的面积b)(yx xy0a)(yx yxb a 2021/6/1663. 由连续曲线由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线直线 x=a, x=b (ab)所围成的平面所围成的平面图形的面积图形的面积cxyoab)(xfy )(

3、xgy A cacaxxgxxfd )(d)( bcbcxxfxxgd)(d)( caxxgxfd)()( acxxfxgd)()( accaxxgxfxxgxfd)()(d)()( baxxgxfd)()(2021/6/1673. 由连续曲线由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线直线 x=a, x=b (ab)所围成的平面所围成的平面图形的面积图形的面积cxyoab)(xfy )(xgy baxxgxfAd)()(2021/6/168特别，特别， 时时,)()(xgxf xyoab)(xfy )(xgy baxxgxfAd)()(2021/6/169,d)(dxxfA 面积元素面积

4、元素:由连续曲线由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), 直线直线 x=a, x=b (ab)及及x轴所围成的平面图形的面积轴所围成的平面图形的面积)(xfy byoxaxxx baxxfAd)(面积面积2021/6/1610由连续曲线由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线直线 x=a, x=b (ab)所围成所围成的平面图形的面积的平面图形的面积cxxx xyoab)(xfy )(xgy baxxgxfAd)()(,d)()(dxxgxfA 面积元素面积元素:2021/6/1611 dcyyyAd)()( 围成的平面图形的面积为围成的平面图形的面积为 ,)()(时时若

5、若特特别别，yy .d)()( dcyyyA dcxyo)(yx )(yx dcxyo)(yx )(yx 2021/6/1612计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积. 解解先求两曲线的交点先求两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(选选x为积分变量为积分变量,1 , 0 xxxxAd)(210 103)332(23xx .31 2xy 2yx 例例1 1 xy 22yxxy能否选能否选y为积分变量为积分变量? ?2021/6/1613计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积. 解解先求两曲线的交

6、点先求两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(选选y为积分变量为积分变量,1 , 0 yyyyAd)(210 103)332(23yy .31 2xy 2yx 例例1 1 22yxxyyx 2021/6/1614计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积. 解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxyxy22 4 xy 20d)2(2xxxA例例2 2 .18 82d)4(2xxx选选x为积分变量为积分变量,8 , 0 xxy2 xy2 2021/6/1615此题选此题选y为积分变量比较好为积分变量比较好, 422d)2

7、4(yyyA.18 20d)2(2xxxA 82d)4(2xxx选择积分变量的原则：选择积分变量的原则： (1)(1)尽量少分块；尽量少分块；(2)(2)积分容易。积分容易。4 xyxy22 4 yx22yx 42 y4232)642( yyy2021/6/161622xy 211xy 例例3 3 求求曲曲线线22xy , ,211xy 与与直直线线3 x所所 围成的平面图形的面积围成的平面图形的面积. . xoy33 1 1解解 由对称性由对称性, 1022d)211(2xxxA.3233 交点交点,1 x 3122d)112(2xxx2021/6/1617例例4 4 求由抛物线求由抛物线1

8、)2(2 xy和与抛物线相切于纵坐和与抛物线相切于纵坐30 y处的切线及处的切线及x轴所围成的平面图形的面积轴所围成的平面图形的面积标标解解求导，得求导，得两边关于两边关于xxy1)2(2 )2(213 xy3 3 0 2d)42()2(1 yyyA 3 0 2d)96(yyy9)933(3023 yyy)2(213 xy1)2(2 xy50 4yx将将30 y带入抛物线方程，得横坐标带入抛物线方程，得横坐标20 x1)2(2 yy，代代入入20 x，得，得30 y21)2( y因此切线方程为因此切线方程为2)2(1 yx42 yx2021/6/1618?, 10,102和最小和最小图中两阴影

9、部分的面积图中两阴影部分的面积为何值时为何值时当当一点一点上的任上的任是区间是区间上上定义在定义在设设，ttxxy y = x2t12tyx11S2S21SSS 解解例例5 5 122022d)(d)(ttxtxxxt12303233ttxtxxxt ，313423 tt，令令0)12(224 2 ttttS10 t，得驻点得驻点21, 0: tt.21时两面积和最小时两面积和最小当当 t2021/6/1619练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。,yx yx（1） ,0 xye yex（2） 22,3yxxx（3） 10 xx

10、 dAx1610 xeeAdx11233 2x xAdx3232021/6/1620练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。102Axx dx32123Axxdx 2212xxdx223,xxyy（4） 2,2yxyxyx（5） 76.332 2021/6/16212 2222202Axxdx12221xdx一般地：如右图中的阴影部分的面积为一般地：如右图中的阴影部分的面积为 dcAfyg ydy练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。222,1yxyxy（6） 10

11、()2yAydy或或 22(1)322021/6/1622122222241yx24 2yx法一：以法一：以 y 作积分变量作积分变量 3223122414 2Axdxx dx法二：以法二：以 x 作积分变量作积分变量 221,244yxxy 22202(2)(1)44yyAdy22,4421xxyy（7） 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。4 234 232021/6/16231A例例 5 求由下列给定曲线所围成的图形面积。求由下列给定曲线所围成的图形面积。33cossinxatyat 1044aAAydx20422sin

12、c2s1ottadt 22022sin2s3inttdta22031 cos41 cos4att dt22031 cos4coscos4 cos4atttt dt23.8a03324sincosatd at解由图形的对称性可得解由图形的对称性可得偶次方化倍角偶次方化倍角 222333xya即即2021/6/1624作业：作业：1.(3)(5)(8)1.(3)(5)(8)2.2.1.1.选择积分变量的原则：选择积分变量的原则： (1)(1)尽量少分块尽量少分块(2)(2)积分容易。积分容易。总结：总结：2.2.准确的作图准确的作图. .2021/6/1625 设设曲曲线线)(xfy 过过原原点点

13、及及点点)3 , 2(，且且)(xf为为单单调调函函数数，并并具具有有连连续续导导数数，今今在在曲曲线线上上任任取取一一点点作作两两坐坐标标轴轴的的平平行行线线，其其中中一一条条平平行行线线与与x轴轴和和曲曲线线)(xfy 围围成成的的面面积积是是另另一一条条平平行行线线与与y轴轴和和曲曲线线)(xfy 围围成成的的面面积积的的两两倍倍，求求曲曲线线方方程程.备用题备用题1. 2021/6/1626解答解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 两边同时对两边同

14、时对 求导求导x2021/6/1627yxyxf 22)(3yyx 2积分得积分得,2cxy 因因为为曲曲线线)(xfy 过过点点)3 ,2(29 c,292xy 因因为为)(xf为为单单调调函函数数所以所求曲线为所以所求曲线为.223xy 2021/6/1628xyO1 xy122 xy3421 1)3, 4(1 2.1122图形的面积图形的面积所围成所围成与直线与直线求由曲线求由曲线 xyxy解解 为确定积分限，解方程组为确定积分限，解方程组 1122xyxy. )3, 4()1, 0(，得交点得交点 312d)1(21)1(yyyS3132236121 yyy316 .积积分分对对 y2021/6/1629xyO1 xy122 xy3421 1)3, 4(1 此题如果选此题如果选 作积分变量，作积分变量，x 021d122xxS必须分成两个部分，即必须分成两个部分，即 40d)1(12xxx316 2021/6/16303.:)10(1:2221的值的值定定为大于零的常数，试确为大于零的常数，试确其中其中，分为面积相等的两部分分为面积相等的两部分所围区域被曲线所围区域被曲线轴轴