第二章开普勒方程

1、第二章 开普勒方程主讲教师：杏建军2021年10月16日2授课内容1. 卫星轨迹的预测2. 开普勒方程的求解3. 开普勒轨道根数31.1 轨道预报v已知t0时刻卫星的位置r0，速度v0，预报时刻t,卫星的位置r和速度vv在极坐标下rrriieipcossineprfrfriisin(cos)epfefhh vii如何计算的?41.1 轨道预报00000000cossinsin(cos)cossinsin(cos)epepepeprfrffefhhrfrffefhh riiviiriivii00200020cossincossincoscosefhfheffhfhefe0p0iriv51.1 轨

2、道预报00200020cossincossincoscosefhfheffhfhefe0p0iriv带入位置带入位置r和速度和速度v的表达式中的表达式中0000( ,)( ,)( ,)( ,)ttF f fG f fF f fGf f 00rrvv回到原始问题，已知回到原始问题，已知t0,r0,v0，求时刻求时刻t的的r和速度和速度v61.1 轨道预报00ttff 需要需要2dfrhdt开普勒第二定律开普勒第二定律主要求解出上述方程，就可以得到真近点角主要求解出上述方程，就可以得到真近点角f与时间与时间t之间的关系，进而预报卫星在轨道的位置和速度。之间的关系，进而预报卫星在轨道的位置和速度。7

3、授课内容1. 卫星轨迹的预测2. 开普勒方程的求解3. 开普勒轨道根数82.1 开普勒方程21cosdfprhrdtef当当0e e11e-6) E0 = tem; E1 = M + e*sin(E0); tem = E1; n = n+1; endn当n=6时，E收敛172.2 开普勒方程的求解( )yxy第二种方法：拉格朗日方法（第二种方法：拉格朗日方法（1770年年）考虑函数考虑函数为一个小参数，为一个小参数，如椭圆偏心率如椭圆偏心率22200( , )(0, )2!yyyxyx(0, )yxx( )( )yyyyy0( )( )yyx182.2 开普勒方程的求解2222222( )(

4、)( )yyyyyyyyyyyy 2200022( )yyxyy 2( )2( )ddxxdxdx110( )nnnnnydxdx22111( )( )( , )( )()2!nnnnndxdxyxxxodxndx192.2 开普勒方程的求解2111( )( )( , )( )()2!nnnnndxdxyxxxodxndx开普勒方程的拉格朗日级数解开普勒方程的拉格朗日级数解22111sinsinsin()2!nnnnne dMdMEMeModMndM E = M +e*sin(M)+e2/2*2*cos(M)*sin(M) + e3/6*(6*cos(M)2*sin(M)- 3*sin(M)3

5、) + e4/24*(24*cos(M)3*sin(M) - 40*cos(M)*sin(M)3)+ e5/120*(65*sin(M)5 + 120*cos(M)4*sin(M) - 440*cos(M)2*sin(M)3)202.2 开普勒方程的求解拉格朗日系数求解问题拉格朗日系数求解问题5442354120cossin440cossin65snnsiiMMdMMMdMMn =5; syms M,n; ff = diff(sin(M)n,n-1)拉格朗日级数收敛问题拉格朗日级数收敛问题0.6627434194e 212.2 开普勒方程的求解( )0f x 第三种方法：牛顿迭代法第三种方法：

6、牛顿迭代法给定方程解的一个初始猜测值给定方程解的一个初始猜测值x001010( )()()0 xff xf xxxx01100()xfxxf xx11()kkkkxfxxf xx迭代停止条件迭代停止条件1kkxx222.2 开普勒方程的求解( )sinf EEMeE1sin1coskkkkkEMeEEEeE课堂练习题：推导开普勒方程的牛顿迭代格式，并编制课堂练习题：推导开普勒方程的牛顿迭代格式，并编制Matlab程序，比较与第一种迭代格式的区别程序，比较与第一种迭代格式的区别第一种迭代格式第一种迭代格式1sinkkEMeE232.2 开普勒方程的求解M = pi/2;E0 = 0;E1 = 1

7、;tem =0;e = 0.8;n = 0;while(abs(E1-E0)1e-6) E0 = tem; E1 = M + e*sin(E0); % E1 = E0 - (E0-M-e*sin(E0)/(1-e*cos(E0); tem = E1; n = n+1; endne=0.8时，第一种迭代格式需要20次，牛顿迭代法需要6次242.2 开普勒方程的求解其他方法：其他方法：1.傅里叶级数法傅里叶级数法2.高斯法高斯法e=1，抛物线，抛物线;e1,双曲线有类似的结果双曲线有类似的结果252.2 开普勒方程的求解课后作业课后作业应用三种方法求解开普勒方程，计算应用三种方法求解开普勒方程，计

8、算M = 260，e = 0.8时的偏时的偏近点角近点角E和真近点角和真近点角f，并对结果进行对比分析。，并对结果进行对比分析。262.3 卫星轨道的预报已知已知t0,r0,v0，求时刻求时刻t的的r和速度和速度v0000( ,)( ,)( ,)( ,)ttF f fG f fF f fGf f 00rrvv0000000001.,2.3.4.,5.,ffEMMtMEffr vr vr v，0011revhr000cosr efe r00(1)tantan2(1)2fEee000sinEeEM00()Mn t272.3 卫星轨道的预报课后作业课后作业以以x0 = -5292392.072;-4

9、862.201380;3111662.355; -4136.781314; 3101114.660;-4147.028008人造地球轨道卫星的初始条件，应用人造地球轨道卫星的初始条件，应用本节的知识，预测本节的知识，预测2天后卫星的位置和速度，并与天后卫星的位置和速度，并与Matlab的结果的结果进行比较。进行比较。28授课内容1. 卫星轨迹的预测2. 开普勒方程的求解3. 开普勒轨道根数293.1 开普勒轨道根数已经得到的二体运动方程积分常数已经得到的二体运动方程积分常数轨道角动量矢量轨道角动量矢量h，偏心率矢量，偏心率矢量e，卫星过近地点时刻，卫星过近地点时刻Rcossin0cos i s

10、incos i cossin isin i sincossin icos isin sinsin coscoshihihixyzhiiicoscoszhiarchtan(,)xyarchh 2(1)hae303.1 开普勒轨道根数cosnnieienziihcos fr er e313.1 开普勒轨道根数轨道根数描述轨道根数描述轨道大小轨道大小半长轴半长轴a常数常数轨道形状轨道形状偏心率偏心率e常数常数轨道面方位轨道面方位轨道倾角轨道倾角i和升交点赤经和升交点赤经常数常数轨道方位轨道方位近地点角距近地点角距常数常数航天器在轨道中的位置航天器在轨道中的位置真近点角真近点角f非均匀变化非均匀变化平

11、近点角平近点角M均匀变化均匀变化纬度幅角纬度幅角+f非均匀变化非均匀变化323.2 开普勒轨道根数与星下点轨迹星下点轨迹：航天器质心与地心连线与地球表面的交点星下点轨迹：航天器质心与地心连线与地球表面的交点( )15NTh航天器轨道周期航天器轨道周期333.2 开普勒轨道根数与星下点轨迹v星下点轨迹与轨道半长轴 地球同步轨道343.2 开普勒轨道根数与星下点轨迹v星下点轨迹与轨道倾角星下点轨迹的最高纬度就是航天器轨道倾角星下点轨迹的最高纬度就是航天器轨道倾角353.2 开普勒轨道根数与星下点轨迹v星下点轨迹与轨道偏心率363.3 开普勒轨道根数的计算coscoszhiarchtan(,)xya

12、rchh 222(1)(1)hhaeae hrv已知位置矢量和速度矢量，求已知位置矢量和速度矢量，求6个轨道根数个轨道根数11rev hre ecosnnieie001nihcos fr er e373.3 开普勒轨道根数的计算cossin0ephephrfrfriiisin(cos)0ephephfefhh viii已知已知6个轨道根数，求卫星位置矢量和速度矢量个轨道根数，求卫星位置矢量和速度矢量ieip22/(1)1cos1coshaerefef383.3 开普勒轨道根数的计算RIRz.Rxi .Rzcos( )cos( )cos( )sin( )sin( )cos( )sin( )cos

13、( )cos( )sin( )sin( )sin(cos( )cos( )sin( )cos( )sin( )cos( )cos( )cos( )sin( )sin( )cos( )sin( )sin( )sin( )cos( )sin( )cos( )iiiiiiiii IIephrRrIIephvRv393.3 开普勒轨道根数的计算第一章作业第一章作业function robit_computermu = 3.986004418e+14; %地球引力常数tspan = 0:60:86400;options = odeset(AbsTol,1e-15,RelTol,1e-12,NormControl,on);x0 = -5292392.072;-4862.201380;3111662.355; -4136.781314; 3101114.660;-4147.028008;T,Y = ode45(orbit,tspan,x0,options,mu);课后作业课后作业：将第一章作业中计算的每一个时刻的位置速度：将第一章作业中计算的每一个时刻的位置速度转换转换6个轨道根数，然后再转换为位置速度，并于原来结果个轨道根数，然后再转换为位置速度，并于原来结果进行比较，画出二者的误差图。进行比较，画出二者的误差图。40本章小结ttF