求通项公式专题

1、通项公式求解方法大全我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。、观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而 根据规律写出此数列的一个通项。1111(答：例1.已知数列3,5-,7 ,9，代试写出其一个通项公式：4816321an =2n 1 尹)1 3 7 15 31(1),一，,4 ;例 2、2 4 8 16 32(2) -1, l,2,l,r7,A(4)2,5,10,17,26，上;1 1 1 1(5),，上；1X22汉33汉44疋5(1)观察数列的结构特征，每一项都是一个分式，分母是数列2, 4, 8, 16, 32,，可n用项数表

2、示为2 ,分子是数列1 , 3, 7, 15, 31,，每一项比对应的分母少1,可用项数表示为2 -1,所以,所求的数列的通项公式是an 2n -12n(2)这个数列即:2-1 2+11 , 22 -1 2 12 -1 2 1 ,5 , 6,其结构特征是：分母与项数相同；分子是2加上或减去I，即2 “-1)】各项的符号为负、正相间，即为(一1)：所以，所求的通项公式是和(-1).呻；观察数列的项，这个数列可以按分母、分子由小到大重新排列为：3 4 567 ,，儿,5 8 11 14 17 分母、分子各自成等差数列，显然，其通项公式为n + 2 an3n 2a = n 2 +1；(4)每一项都是

3、项数的平方加上1,其通项公式为nan(5)通项公式是一(T)；n(n 1);仔细观察各项，不难发现其项与项之间有如下规律a2 - a = 2; a3 - a? = 3; a- a34 a5 -a4 =5上-an - an j = n.a* =a1 (a2 -aj (a3 - a2 )，(a4-a3) (a na*)=123二、递推公式法类型 1 an 1=an f(n)解法：把原递推公式转化为 an 1 -an = f (n)，利用累加法(逐差相加法)求解。例1.已知a 满足an 1 =an 2，而且a1 T，求通项 解- :an /是首项为1,公差为2的等差数列，例2.已知瓜？中，ai an

4、 =1 2 n1 = 2n -112，an a =a解 由已知可得11 ，求通项4n2 -11 1 1an an a - an4n2-12 0-1 2n +1 丿n =1,2,3,L , n -1 ,代入后n -1个等式迭加，即an二aa2 一耳厂凤a?L二丄 1 一.一11 _丄门1 一12 一 . 33 5_1 c 12an 2 an 二厂 I an - an 4 丄亠 2n-5 2n-3 2n-3 2n -14n -32n -14n -2例3在数列an中,a1=1, an - anj 二 n-1 (n=2、3、4)，求 an的通项公式。n _2 时,a2 -a = 1a3 -a2 = 2

5、a4 -a3 = 3an _an4 =n 一1解：n =1时,这n-1个等式累加得:故十叮盯 2an - a1 =12 -(n-1 ) = n(n 1)n _n 2且內=1也满足该式 an(n N ).类型 2 an 1 = f (n)an解法:形如anan 1= f(n) (n=2、3、4),且f+f(2)+.+ f(n1)可求，则用累乘法an1、1已知佝？满足a. 1匕an，而& =2，求通项an。a1Q d是常数,an 21.:an 是以2为首项，公比为的等比数列。2F、11厂an =2an212n2.2、在数列an中，a1=1， an 1 = na.,求 a.。解：由已知得 亠1 =

6、n ，分别取n=1、2、3 (n-1)，代入该式得n-1个等式累乘，即an亚.聖岂-=1 x 2 x 3X-X (n-1)=( n-1)!所以时,a1 a2 a3an 二an印= (n 1)!故 an且 a1 =0!=1 也适用该式 an =(n1)!(n N ).3、n 1 A在数列：J中，印=28.= -久，求通项公式nan。解法一：aan 1annn Tnn -1 nn -1 nn -1=2nn -1an _2n -2 nn -2n1n -2 nn -2n -2an _3n -3n -2n -3n -2n 333a23222a1解法二：由n+1. a.an 1an n an 4n2an亘

7、步羞L生a, = 口an 1 甌 d a1 n -1 n -2n -2n -3-2 =2n1类型 3 an pan q （其中 p, q 均为常数，（pq（p 一1） = 0）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an .1 -t二p（an -t），其中t，再利用1-P换元法转化为等比数列求解。例1、数列；an / 中, a =1，对于n 1 n N 有an = 3an丄2，求通项an。解法1由已知递推式得an 1=3an 2a =3an丄-2两式相减得an 1 -an =3 an -an因此数列an+-aj是公比为3的等比数列，其首项为 a2-耳=（3汉2十2）-1=4 an 1 an

8、=4 -3n-Q a. 1 =3a. 2,. 3a. 2 -a. =4 3n =.an 2 3n 1 -1解法2上法得n1 -aj是公比为3的等比数列，于是有a? - a = 4,-a? = 4 3,比 -=4 3 ,L ,an -an_x=4 3 把n -1个等式相加得2 心4（1-3心）n .an -a4 1 3 32 L 32 311 3.an =23心 -1。解法3设递推式an =3an丄-2化为an -t =3 an丄-t整理比较得2 = -2t，即t = -1 于是得a. *1 =3 a.丄1所以是公比为3的等比数列，其首项为 a1 *1=2.an 1 =2 3n1，即 an =2

9、 3nA 一1。解法 4 an = 3an A 2=3 3an=22 =32an3 2 2=32 3an 3 2 3 2 2 = 33 an 3 33 2 3 2 2=L =3丄可 3n， 2 3nA 2 3心 2 L 33 2 3 2 23n 丄 _1宅丄2 3 =2 3心_131评注解法1、2、3称为构造法，但法1与法3构造出的等比数列不同，各有千秋；解 法4称为迭代法，对很多递推式求通项公式都适用，应认真理解掌握。类型 4 an+ = pan+qn （其中 p，q 均为常数，（pq（ p1）（q -1） H 0）。（或anpan rq n，其中p，q, r均为常数）解法：一般地，要先在原

10、递推公式两边同除以qn 1，得： 空 =E ?匀丄qn q qn q引入辅助数列、bn / （其中bn書），得：b“ =bn +丄再待定系数法解决。qq q例1、5已知an ；中，ai二二6n 1，求通项ann 1两边同乘以2n1得类型5递推公式为 an 2 = pan 1 qan (其中p, q均为常数）。解法一（待定系数法）：先把原递推公式转化为an 2 - san 1 = t(an 1 - san)其中s, t满足丿s t 二 p st 二-q1在 an 1an3 n 22n1am =2 2nan 1，令 S 心3则 bn 1=2 6 亠3(2 丫bh 2)，求 an.解：设厲二 * A

11、 n B，则二6 - A n_B，将代入递推式，得bn A n -B =3bn二-A (n -1)_bL：;，2 n -1 =3bn- (3A - 2) n - (3B -3A 1)A =3A - 2A =1二 二丿B=3B3A+1 戸二1.取bn 二 an n 1 ( 1)则 bn = 3bn 二，又 0=6，故 bn =6 32 =2 3n代入(1)得 an =2 3n - n-1 说明：(1)若f(n)为n的二次式，则可设bn = an An2 Bn C ;(2)本题也可由an 二 3an A 2n -1,an二 3an - 2(n -1)-1( n _ 3 ) 两式 相减得an=3(a

12、n.an_2)，2 转化为6 2 二 PS 1 VS 求之r类型 9 an 1 = pan (p 0,an 0)解法：这种类型一般是等式 两边取对数后转化为anpan q，再利用待定系数法求解。例1、 在数列9nJ中，a1 =3,an1 =an，求通项公式a.。解 由题意知数列aj中的各项均为正数，即an 0，对等式an1=a；取以3为底的对数，得 log3 an 1 =log3a2 =2log3an，则有 log3an 1 =2，进而可知数列log 3 an是以 Iog3 3=1 为首log3 an项，以2为公比的等比数列，则logsan =1 2n- =2n丄，故an =32二类型10 a

13、n 1f (n)ang(n)an h(n)解法：这种类型一般是等式 两边取倒数 后换元转化为anpan - q。2a例1、 在数列an中，当at =1,an 4 =时，求通项an。an +2由an 亘二丄丄丄丄Jan+2an+2an 2%a.卅 a.2所以丄是以丄=1为首项，以为公差的等差数列。ana!2所以丄=1 （n _1） 1 =口，即an二丄。an22n 1评注：在递推关系an1Aa（A, B,C,均为常数），若A=C，对其取倒数后得到等差数列;Ba. +C若A严C，取其倒数后得到一个新的递推式=m - n，其解法于后。an_1an例2、已知数列 an中，其中ai =1,，且当nA 2

14、时,ana n/2anj 1求通项公式an。an J解将an怛 两边取倒数得:2an 二 +11 1 12，这说明丄是一个等差数列,aa n an J.1 1首项是 1，公差为2，所以-a1an-1(n -1) 2=2n 一1，即 an2n -1类型11 an 1pan qran h解法：如果数列an满足下列条件：已知a1的值且对于N，都有an1 =卫岂 q （其ran +h中p、q、r、h均为常数，且ph工qr, r式0, &式-h ）,那么，可作特征方程 x = -PXq , rrx + hf 11当特征方程有且仅有一根 Xo时,则.是等差数列；当特征方程有两个相异的根 X1、X2lan

15、-冷 j时，贝U凶是等比数列。lan - x2 j类型12an .2二旦卫不动点法Can +D_Aan+Ban 2*对于数列Can+D ,n=N（A,B,C,D 是常数且 C 工 0,AD BC 式 0）Ax BX2其特征方程为Cx D，变形为Cx （D-A）x-B=0an 1 _an -:c 若有二异根:,:，则可令an 1八 an八（其中c是待定常数），代入a1,a2的值可求得c值.这样数列、-1 a-n 一 ：是首项为-1 一 ：，公比为C的等比数列，于是这样可求得-n若有二重根二，则可令 的值可求得C值.1C-n 1-n(其中C是待定常数)，代入-1,-2-1-这样数列 -n 一是首项

16、为-n 一，公差为C的等差数列，于是这样可求得 -n例1.已知数列 -n满足-1二2, -n-nd，22-nJ - 1(n _2)，求数列-n的通项-n解：其特征方程为x =x 22x 1化简得 2x? -2=0 ，解得 X! = 1,x2 - -1 ，=C g-n 11-n 14由a1 =2,得a2，可得c =5a数列是+1 J罟1为首项，以-3为公比的等比数列an 一1例2.已知数列-n满足-1 =2,务1=2-n 一1 (n N*),4-n 6求数列-n的通项-n解：其特征方程为2x-1x4x 6即 4x2 4x 1=01解得为=卷一 1，1 1C 11-n 1 1-n 722anan广

17、11 an + L2是以.数列1+ _213 5nai=-(n -1) 1 二 n51+ 23,5-为首项，以1为公差的等差数列，510n -6类型13 an勺 an = pn q或 an 1 Gn解法：这种类型一般可转化为 :a2nJ?与a2奁是等差或等比数列求解。类型14双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。类型15周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。三、换元法1 例1已知数列an满足an 1(1 4a . 1 24an )，印=1，求数列an的通项公式。16 1解：令 bn =、. 1 24an，则 a.(b； -1)24121|故 an+ = 24(bn -1)，代入 an十=16(1+4an+j1+24an)得 土需 -1)亠1 4(bn -1) bn241624即 4b：1 =(bn 3)2因为 bn 二 j_24a； -0，故 bn 1 二 J24兔：