第6章无限脉冲响应滤波器的设计

1、第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计第第6章章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计iir数字低通滤波器数字低通滤波器6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计iir数字低通滤波器数字低通滤波器6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计6.6 iir 数字滤波器的直接设计法数字滤波器的直接设计法第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计6.1 数字滤波器的基本概念数字滤

2、波器的基本概念 数字滤波器指用运算的方法改变数字信号的频率数字滤波器指用运算的方法改变数字信号的频率分量的相对比例的器件。与模拟滤波器相比，数字滤分量的相对比例的器件。与模拟滤波器相比，数字滤波器的波器的精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配？求阻抗匹配？等优点。等优点。 1. 数字滤波器的分类数字滤波器的分类 从网络结构或者单位脉冲响应分类：从网络结构或者单位脉冲响应分类： 无限脉冲响应无限脉冲响应(iir)滤波器滤波器 有限脉冲响应有限脉冲响应(fir)滤波器滤波器0110( )1( )( )mrrrnkkknnnb zh za zh z

3、h n z第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计从功能上来分类：从功能上来分类：低通滤波器低通滤波器高通滤波器高通滤波器带通滤波器带通滤波器带阻滤波器带阻滤波器)(ejh)(ejh)(ejh)(ejh0低通0高通0带通0带阻22222222第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 2数字滤波器的技术要求数字滤波器的技术要求 假设数字滤波器的传输函数假设数字滤波器的传输函数h(eh(ejj) )用下式表示：用下式表示： 选频滤波器的技术选频滤波器的技术指标指标只只要求要求幅频特性幅频特性。 线性相位滤波器的技术线性相位滤波器的技术指标指标则两样都要求

4、。则两样都要求。 ()()()jjjh eh ee图图6.1.2 低通滤波器的技术要求低通滤波器的技术要求第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 通带和阻带内都允许有通带和阻带内都允许有衰减衰减误差。允许的衰减用误差。允许的衰减用db数表示。通带内允许的最大衰减用数表示。通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内表示，阻带内允许的最小衰减用允许的最小衰减用s表示。表示。p和和s分别定义为：分别定义为：00()20lg()()20lg()psjpjjsjh edbh eh edbh e(6.1.3) (6.1.4) 如将如将|h(ej0)|归一化为归一化为1，(6.1.3)和和

5、(6.1.4)式则表示成：式则表示成：20lg()20lg()psjpjsh edbh edb (6.1.5) (6.1.6) 第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 3. 数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法 iir滤波器设计方法是：滤波器设计方法是： 从模拟滤波器变到数字滤波器的设计，从模拟滤波器变到数字滤波器的设计， 直接在离散频域或时域中设计。直接在离散频域或时域中设计。 fir滤波器的设计方法是：滤波器的设计方法是： 窗函数法，窗函数法， 频率采样法。频率采样法。第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波

6、器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(butterworth)滤波器、切比雪夫滤波器、切比雪夫(chebyshev)滤波器、滤波器、椭圆椭圆(ellipse)滤波器、贝塞尔滤波器、贝塞尔(bessel)滤波器等，这些滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设供设计人员使用。计人员使用。 设计模拟滤波器是先设计低通滤波器，再把低通设计模拟滤波器是先设计低通滤波器，再把低通滤波器变换为希望的

7、滤波器。滤波器变换为希望的滤波器。 第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 图图6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性各种理想滤波器的幅频特性 )(jah低通带通带阻高通)(jah)(jah)(jah000c第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 1.模拟低通滤波器的指标和设计方法模拟低通滤波器的指标和设计方法 模拟低通滤波器的设计指标有模拟低通滤波器的设计指标有p, p,s和和s。其。其中中p和和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率，分别称为通带截止频率和阻带截止频率，p是通带是通带(=0p)中的最大衰减系数，中的最大衰减系数，s是阻带是阻带s的

8、的最小衰减系数，最小衰减系数，p和和s一般用一般用db数表示。对于单调下数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：降的幅度特性，可表示成：2222)()0(lg10)()0(lg10saaspaapjhjhjhjh第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 以上技术指标用低通滤波器的幅度特性图表示。图中以上技术指标用低通滤波器的幅度特性图表示。图中c称为称为3db截止频率截止频率？第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 模拟低通滤波器的设计方法是：模拟低通滤波器的设计方法是： （1）根据滤波器的技术指标设计传输函数）根据滤波器的技术指标设计传输函数h

9、a(s)的幅度平的幅度平方函数，它与系统函数有关系方函数，它与系统函数有关系 上式的关系从上式的关系从ha(s)的因式相乘表达式推出。的因式相乘表达式推出。 （2）根据幅度平方函数和系统的极点应该在）根据幅度平方函数和系统的极点应该在s的左半平面，的左半平面，求出传递函数。求出传递函数。)()(| )()()(*2jhjhshshjhaajsaaa第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 2. 巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数用下式和图表示。巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数用下式和图表示。想一想阶数想一想阶数n与幅

10、频特性下降坡度的关系？与幅频特性下降坡度的关系？221()1()anchj第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 为了求出幅度平方函数，将为了求出幅度平方函数，将|ha(j)|2写成写成s的函数：的函数： 此幅度平方函数有此幅度平方函数有2n个极点，极点个极点，极点 它们均匀的分布在半径为它们均匀的分布在半径为c的圆上，间隔是的圆上，间隔是/n弧度。弧度。 21( )()1()aanchs hssj 1121()222( 1)()kjnnkccsje 第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 例如例如n=3的三阶巴特沃斯滤波器，为形成稳定的滤波的三

11、阶巴特沃斯滤波器，为形成稳定的滤波器，在器，在6个极点中取个极点中取s平面左半平面的平面左半平面的3个极点构成个极点构成ha(s)，而，而右半平面的右半平面的3个极点构成个极点构成ha(-s)。三阶巴特沃斯滤波器的极三阶巴特沃斯滤波器的极点分布如下：点分布如下：第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计如此可得到系统函数如此可得到系统函数 )()() 1)(1)(1(1)(32323210jccjccaessessssssssh第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，

12、将所有的频率归一化。这里采用对将所有的频率归一化。这里采用对3db截止频率截止频率c归归一化，归一化后的一化，归一化后的ha(s)表示为表示为 式中，式中，s/c=j/c。 令令=/c，称为归一化频率；令称为归一化频率；令p=j，p称为归称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为101( )()ankkcchsss(6.2.10) 101( )()ankkhppp(6.2.11) 第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 式中，式中，pk为归一化极点，用下式表示：为归一化极点，用下式表示： 这样设计巴特沃斯滤波器的步骤是：这

13、样设计巴特沃斯滤波器的步骤是： a. 根据技术指标确定阶数根据技术指标确定阶数n， b. 求出归一化极点求出归一化极点pk， c. 求出归一化传递函数求出归一化传递函数ha(p) ， d. 用用c去归一化到实际传递函数去归一化到实际传递函数ha(s) 。121()22,0,1,1kjnkpekn第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 从技术指标推出从技术指标推出n和和c： 用上式求出的用上式求出的n可能有小数部分，应取大于等于可能有小数部分，应取大于等于n的最的最小整数小整数？。 当当 阻带指标有富裕阻带指标有富裕 当当 通带指标有富裕通带指标有富裕psspspspsp

14、spkkn110110,lglg1010nscnpcsp211 . 0211 . 0) 110() 110(第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 如果将极点代入传递函数的因式分解式，可以得到如果将极点代入传递函数的因式分解式，可以得到的的ha(p)的多项式表达式。的多项式表达式。 早有科学家把两种传递函数形式的系数列成表格，早有科学家把两种传递函数形式的系数列成表格，供我们设计时查找。供我们设计时查找。 参阅书上参阅书上157158页。页。nnnnapbpbpbpbbph1122101)(第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 归纳起来，低通巴

15、特沃斯滤波器的设计步骤如下：归纳起来，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： (1)根据技术指标根据技术指标p、p、s和和s，求出滤波器的阶数，求出滤波器的阶数n。 (2) 计算或者查表求出归一化传输计算或者查表求出归一化传输函数函数ha(p)。 (3)用用p=s/c代入代入ha(p)，得到实际的滤波器传输函数，得到实际的滤波器传输函数ha(s)。 第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计第六章第六章 无限脉冲

16、响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 例例6.2.1 已知通带截止频率已知通带截止频率fp=5khz，通带最大衰减，通带最大衰减p=2db，阻带截止频率，阻带截止频率fs=12khz，阻带最小衰减，阻带最小衰减s=30db。请按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波。请按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。器。 解：解：(1) 确定阶数确定阶数n。 0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffnn 第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 (2) 有两种方法。有两种方法。 法一：按照法一：按照(6.2.1

17、2)式计算出极点式计算出极点带入带入(6.2.11)式，得到归一化传输函数式，得到归一化传输函数401( )()akkhppp5745632541530,jjjjjepepepepep第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 法二：直接查表法二：直接查表6.2.1的的n=5，得到三种结果：，得到三种结果： 极点是极点是-0.3090j0.9511，-0.8090j0.5878， -1.0000。 系统函数的多项式形式系统函数的多项式形式 系统函数的因式分解形式系统函数的因式分解形式) 1)(1618. 1)(1618. 0(1)(22ppppppha12361. 3236

18、1. 52361. 52361. 31)(2345ppppppha第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 (3) ha(p)去归一化。先求去归一化。先求3db截止频率截止频率c。 如果希望阻带指标有富裕，则如果希望阻带指标有富裕，则 将将p=s/c代入代入ha(p)中得到：中得到：)(524.10) 110()(5275) 110(211 . 0211 . 0khzffhzffncsnpcsp221821439455221041091. 31092. 11079. 51007. 1104)(ssssssha第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计用

19、用matlab来设计该题，通带指标有富裕。来设计该题，通带指标有富裕。clear;close all;fp=5000;fs=12000;rp=2;rs=30;n,fc=buttord(fp,fs,rp,rs,s);%求阶数和半功率点频率求阶数和半功率点频率b,a=butter(n,fc,s);%求系统函数的分子分母系数求系统函数的分子分母系数hf,f=freqs(b,a);%求系统函数的频谱求系统函数的频谱plot(f,abs(hf);xlabel(f/hz);ylabel(|h(f)|);axis(0,1.2e4,0,1.2);gridshg第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应

20、滤波器的设计 3. 切比雪夫滤波器的设计方法切比雪夫滤波器的设计方法 图图6.2.5分别画出阶数分别画出阶数n=3和和n=4的切比雪夫的切比雪夫型滤型滤波器幅频特性。波器幅频特性。 图图6.2.5 切比雪夫切比雪夫型滤波器幅频特性型滤波器幅频特性 第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计其幅度平方函数用其幅度平方函数用a2()表示：表示：式中，式中，为小于为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度。的正数，表示通带内幅度波动的程度。愈大，波动幅度也愈大。愈大，波动幅度也愈大。p称为通带截止频率。令称为通带截止频率。令=/p，称为对，称为对p的归一化频率。的归一化频率。cn(

21、x)称为称为n阶切比雪阶切比雪夫多项式，定义为夫多项式，定义为22221()()1()anpahjc cos(arccos ),1( )(),1nnxxcxch narchxx第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 图图6.2.6示出了阶数示出了阶数n=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。时的切比雪夫多项式特性。 由图可见：由图可见： (1)切比雪夫多项式的过零点在切比雪夫多项式的过零点在|x|1的范围内；的范围内； (2)当当|x|1时，时，|cn(x)|1,在在|x|1时，时，cn(x)是双曲线函数，随是双曲线函数，随x单调上升。单调上升。 第六章第六章 无限脉冲响应

22、滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计图图6.2.6 n=0,4,5切比雪夫多项式曲线切比雪夫多项式曲线第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 平方幅度函数与三个参数平方幅度函数与三个参数、p和和n有关。其中有关。其中与通带内允许与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带波纹的波动大小有关，定义允许的通带波纹用下式表示：用下式表示： 因此因此 220.110lg(1)1012min2max2min2max211)(, 1)()()(lg10aaaa第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 图图6.2.7 切比雪夫切比雪夫型与巴特沃斯低通的型与巴特沃斯

23、低通的a2()曲线曲线第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 当频率为当频率为s时，时，切比雪夫切比雪夫型滤波器的幅度平方型滤波器的幅度平方函数函数a2(s)为为 由此解出由此解出 2221()1()ssnpac)(1)(112ssarchaarchn第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 当频率为当频率为c时，切比雪夫时，切比雪夫型滤波器的幅度平方型滤波器的幅度平方函数函数a2(s)为为1/2，由此解出，由此解出 以上以上p、和和n确定后，可以求出滤波器的极点，确定后，可以求出滤波器的极点，并确定并确定ha(p)，p=s/p。求解的过程是很复杂

24、的。下面。求解的过程是很复杂的。下面仅介绍一些有用的结果。仅介绍一些有用的结果。 设切比雪夫滤波器设切比雪夫滤波器ha(s)的极点为的极点为si=i+ji，极点，极点的实部和虚部是的实部和虚部是11( )cpcharchn 第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 可以看出，极点的实部和虚部的关系是椭圆方程，可以看出，极点的实部和虚部的关系是椭圆方程， 式中的式中的psh是短半轴是短半轴(在实轴上在实轴上)，pch是长半轴是长半轴(在虚在虚轴上轴上)。因此切比雪夫滤波器的极点分布在这个椭圆上。因此切比雪夫滤波器的极点分布在这个椭圆上。 )1(1, 2 , 1,212cos

25、212sinarshnninichnishpipi1222222chshpipi第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 设设n=3，三阶切比雪夫滤波器的极点分布如下。，三阶切比雪夫滤波器的极点分布如下。第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 为了稳定，用左半平面的极点构成系统函数为了稳定，用左半平面的极点构成系统函数ha(p)，即，即 式中式中c是待定系数。根据切比雪夫滤波器的幅度平方函是待定系数。根据切比雪夫滤波器的幅度平方函数用力推导，数用力推导，c=2 n-1，所以归一化的传输函数为，所以归一化的传输函数为 去归一化后的传输函数为去归一化后

26、的传输函数为11( )()aniihpcpp111( )2()anniihppp11( )2()npannipihssp第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 按照以上分析，设计切比雪夫按照以上分析，设计切比雪夫型滤波器的步骤是：型滤波器的步骤是： （1）根据技术要求）根据技术要求p、p、s和和s确定确定n和和。 （2）求滤波器的极点，写出归一化系统函数。）求滤波器的极点，写出归一化系统函数。 110)(1101101 . 01 . 01 . 0ppspsffarcharchnninijchnishpi, 2 , 1212cos212sin第六章第六章 无限脉冲响应滤波

27、器的设计无限脉冲响应滤波器的设计（3）将）将ha(p)去归一化得到实际的去归一化得到实际的ha(s)。111( )2()anniihppp11( )2()npannipihssp第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 例例6.2.2 设计低通切比雪夫滤波器。要求通带截止频率设计低通切比雪夫滤波器。要求通带截止频率fp=3khz，通带最大衰减，通带最大衰减p=0.1db，阻带截止频率，阻带截止频率fs=12khz，阻带最小衰减，阻带最小衰减s=60db。 解解 (1)根据技术要求根据技术要求p、p、s和和s确定确定n和和。1526. 01101106 . 4)312(11

28、0110)(1101101 . 01 . 01 . 01 . 01 . 0601 . 01 . 01 . 0ppsarcharchffarcharchnps第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 (2)求滤波器的极点，写出归一化系统函数。求滤波器的极点，写出归一化系统函数。取n=5，算出极点pi，得到归一化系统函数归一化系统函数：（3）将）将ha(p)去归一化得到实际的去归一化得到实际的ha(s)。)102595. 2106436. 1(1)102457. 4102782. 6)(100158. 1(107448. 9)(842832420ssssssha)6359.

29、0872. 0)(1949. 13331. 0)(5389. 0(40951. 0)(22ppppppha第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计用用matlab解决这个复杂的题：解决这个复杂的题：clear;close all;fp=3e3;fs=12e3;rp=0.1;rs=60;n,fc=cheb1ord(fp,fs,rp,rs,s)%求阶数和通带频率求阶数和通带频率b,a=cheby1(n,rp,fc,s)%求系统函数的系数求系统函数的系数hf,f=freqs(b,a);%求系统函数的频谱求系统函数的频谱plot(f,abs(hf);xlabel(f/hz);yl

30、abel(|h(f)|);grid第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 4. 模拟高通、带通、带阻滤波器的设计模拟高通、带通、带阻滤波器的设计 模拟高通、带通、带阻滤波器的传输函数可以由模拟高通、带通、带阻滤波器的传输函数可以由低通滤波器的传输函数通过频率变换求得。低通滤波器的传输函数通过频率变换求得。 为了防止频率变换时引起符号混淆，先规定符号为了防止频率变换时引起符号混淆，先规定符号如下：如下： 低通滤波器的传递函数用低通滤波器的传递函数用g(s)表示，表示，s=j；归一；归一化频率为化频率为，p=j称为归一化拉氏复变量。称为归一化拉氏复变量。 想要的滤波器的传递

31、函数用想要的滤波器的传递函数用h(s)表示，表示，s=j；归；归一化频率为一化频率为，q=j称为归一化拉氏复变量。称为归一化拉氏复变量。 第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计(1) 设计模拟高通滤波器设计模拟高通滤波器 低通滤波器和高通滤波低通滤波器和高通滤波器的幅频特性如左图所示。器的幅频特性如左图所示。 低通的低通的从从0到到时的时的特性对应特性对应高通的高通的从从到到0时的特性，时的特性，所以所以和和之间之间的关系为的关系为它是低通和高通转换的依据，例如：它是低通和高通转换的依据，例如：11()()h jg j第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤

32、波器的设计 模拟高通滤波器的设计步骤：模拟高通滤波器的设计步骤： a. 把高通滤波器的指标按关系把高通滤波器的指标按关系=1/转换成低通滤波器转换成低通滤波器 的的指标，指标， b. 设计归一化低通滤波器设计归一化低通滤波器g(p)， c. 用用p=1/q转换转换g(p) 成归一化高通成归一化高通h(q)， d. 将将q=s/c代入代入h(q)中，得模拟高通中，得模拟高通h(s)。第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 例例6.2.3 设计高通滤波器，要求设计高通滤波器，要求fp=200hz，fs=100hz，幅度特性单调下降，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为处最大衰

33、减为3db，阻带最小衰，阻带最小衰减减s=15db。 解：解：把高通滤波器的指标按关系把高通滤波器的指标按关系=1/转换成低通滤转换成低通滤波器的指标。波器的指标。 高通的高通的fp=200hz, fs=100hz, p=3db,s=15db, p=fp/fc=1,s=fs/fc=0.5， p=1, s=2, 设计归一化低通设计归一化低通g(p)。采用巴特沃斯滤波器，故。采用巴特沃斯滤波器，故第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 设计归一化低通设计归一化低通g(p)。采用巴特沃斯滤波器，故。采用巴特沃斯滤波器，故0.10.1321010.181012lg2.47,3l

34、g1( )221psspssppspspkknng pppp 第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 用用p=1/p=c/s代入代入g(p)中中求模拟高通模拟高通h(s)。 33223( )( )222cpcccscpsh sg psssf 9623310984. 110158. 32513)(sssssha第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计用用matlab来解决问题：来解决问题：clear;close all;fp=1;fs=2;rp=3;rs=15;%归一化低通的指标归一化低通的指标n,fc=buttord(fp,fs,rp,rs,s)%

35、求阶数和半功率点频率求阶数和半功率点频率b,a=butter(n,1,s)%求归一化系统函数的系数求归一化系统函数的系数printsys(b,a)%打出归一化系统函数的公式打出归一化系统函数的公式c,d=lp2hp(b,a,200*2*pi)%低通转到高通低通转到高通printsys(c,d)%打出高通系统函数的公式打出高通系统函数的公式hf,f=freqs(c,d);%求高通系统函数的频谱求高通系统函数的频谱plot(f/2/pi,abs(hf);xlabel(f/hz);ylabel(|h(f)|);axis(0,600,0,1);grid%阻带指标有富裕阻带指标有富裕第六章第六章 无限脉

36、冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 (2) 设计模拟带通滤波器设计模拟带通滤波器 低通滤波器和带通滤波器的幅频特性如下图所示。低通滤波器和带通滤波器的幅频特性如下图所示。 低通的低通的从从到到0到到时的特性对应带通的时的特性对应带通的从从0到到0到到的特性。的特性。第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 图中图中u和和l分别称为带通滤波器的通带上限频率和分别称为带通滤波器的通带上限频率和通带下限频率；通带下限频率；b= ul称为通带带宽，作为归一化参称为通带带宽，作为归一化参考频率。考频率。 s1和和s2分别称为下阻带上限频率和上阻带下限分别称为下阻带上限频率和

37、上阻带下限频率。频率。 02= l u，0称为通带中心频率。归一化边界频称为通带中心频率。归一化边界频率用下式计算：率用下式计算：112220/,/,/sssslluulubbbb 第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 由由与与的对应关系，得到低通到带通的频率变换公式的对应关系，得到低通到带通的频率变换公式 ：2202201upul由由p与与u的的对应关系知道，对应关系知道， 下面推导由归一化低通到带通的转换公式。由于下面推导由归一化低通到带通的转换公式。由于 pj第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 所以用变换公式得到：所以用变换公式得到：

38、 将将q=s/b代入上式去归一化代入上式去归一化 ，得到由，得到由归一化低通转换成归一化低通转换成带通的计算公式带通的计算公式 ：qqp202)(22| )()()(luulsspluulpgshssp第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计模拟带通滤波器的设计步骤：模拟带通滤波器的设计步骤：a. 把模拟带通滤波器的技术指标归一化，把模拟带通滤波器的技术指标归一化，b. 确定归一化低通技术指标，确定归一化低通技术指标， s与与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的s，保证，保证在较大的在较大的s处系统也能满足要求。处系统也能满足要求。

39、通带最大衰减仍为通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减亦为阻带最小衰减亦为s。121220,sslssluulubbbb22222010211,sspssss第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 c. 设计归一化低通设计归一化低通g(p)。 d. 用变换公式将用变换公式将g(p)转换成带通转换成带通h(s)。 例例6.2.4 设计模拟带通滤波器，要求它的通带带宽设计模拟带通滤波器，要求它的通带带宽b=2200rad/s，中心频率，中心频率0=21000rad/s，通带，通带内最大衰减内最大衰减p=3db，阻带，阻带s1=2830rad/s和和s2=21200rad/s，阻带

40、，阻带最小衰减最小衰减s=15db。 解：解： a. 把模拟带通滤波器的技术指标归一化，把模拟带通滤波器的技术指标归一化， 第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 0=21000rad/s, s1=2830rad/s, s2=21200rad/s, b=2200rad/s； 0=0/b=5,s1=s1/b=4.15,s2=s2/b=6.b. 确定归一化低通技术指标，确定归一化低通技术指标， 取取s=1.833,p=3db,s=15db c. 设计归一化低通设计归一化低通g(p)。 采用巴特沃斯型，有采用巴特沃斯型，有222220103211,1.833,1.874ssp

41、sss 0.10.11010.181011.833lg2.83lgpsspssppspspkkn 第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 取取n=3，查表，查表6.2.1，得，得232()1( )221( )( )luulspsg pppph sg p d. 用变换公式将用变换公式将g(p)转换成带通转换成带通h(s)。 160402220403320422056332)23()4()23(2)(bssbsbbsbbssbssh第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计用用matlab来解决问题：来解决问题：clear;close all;fp=1;

42、fs=1.833;rp=3;rs=15;%归一化低通的指标归一化低通的指标n,fc=buttord(fp,fs,rp,rs,s)%求阶数和半功率点频率求阶数和半功率点频率b,a=butter(n,1,s)%求归一化低通系统函数的系数求归一化低通系统函数的系数printsys(b,a,p)%打出归一化低通系统函数的公式打出归一化低通系统函数的公式c,d=lp2bp(b,a,1e3*2*pi,200*2*pi)%低通转到带通低通转到带通printsys(c,d)%打出带通系统函数的公式打出带通系统函数的公式hf,f=freqs(c,d,1000);%求带通系统函数的频谱求带通系统函数的频谱plot

43、(f/2/pi,abs(hf);xlabel(f/hz);ylabel(|h(f)|);axis(600,1600,0,1.2);grid第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 (3) 设计模拟带阻滤波器设计模拟带阻滤波器 低通与带阻滤波器的幅频特性如图低通与带阻滤波器的幅频特性如图6.2.11所示。所示。 低通的低通的从从到到0到到时的特性对应带阻的时的特性对应带阻的从从0 到到 和从和从0到到0的特性。的特性。第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 图中，图中，l和和u分别是下通带截止频率和上通带截止分别是下通带截止频率和上通带截止频率，频率

44、，s1和和s2分别为阻带的下限频率和上限频率，分别为阻带的下限频率和上限频率，0为阻带中心频率，为阻带中心频率，20=ul，阻带带宽，阻带带宽b=ul，b作作为归一化参考频率。相应的归一化边界频率为为归一化参考频率。相应的归一化边界频率为 u=u/b,l=l/b,s1=s1/b,s2=s2/b, 20=ul 根据根据与与的对应关系，可得到：的对应关系，可得到： 它是低通到带阻的频率变换公式。且它是低通到带阻的频率变换公式。且ul=1，p=1。220第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 由于由于p=j，利用变换公式去归一化，可得，利用变换公式去归一化，可得 上式就是直接

45、由归一化低通转换成带阻的频率变换公上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。式。 2220()ululsbspss 220( )( )sbpsh sg p第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 设计带阻滤波器的步骤：设计带阻滤波器的步骤： a . 把 模 拟 带 阻 滤 波 器 的 技 术 指 标 归 一 化 ，把 模 拟 带 阻 滤 波 器 的 技 术 指 标 归 一 化 ， l=l/b,u=u/b,s1=s1/b, s2=s2/b,20=ul b. 确定归一化低通技术指标，确定归一化低通技术指标， 取取s和和s的绝对值较小的的绝对值较小的s；通带最大衰减仍然

46、为；通带最大衰减仍然为p，阻带最小衰减为阻带最小衰减为s。 c. 设计归一化低通设计归一化低通g(p)。 d. 用变换公式将用变换公式将g(p)转换成带阻滤波器转换成带阻滤波器h(s)。12222210201,sspssss第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 例例6.2.5 设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：设计模拟带阻滤波器，其技术要求为： l=2905rad/s, s1=2980rad/s, s2= 21020rad/s,u=21105rad/s,p=3db, s=25db。试设计巴特沃斯带阻滤波器。试设计巴特沃斯带阻滤波器。 解：解： a. 归一化模拟带阻滤波

47、器的技术要求：归一化模拟带阻滤波器的技术要求： l=2905,u=21105, s1=2980,s2=21020, 20=lu=421000025,b=ul=2200, 第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 l=l/b=4.525,u=u/b=5.525, s1=s1/b=4.9,s2=5.1; 20=lu=25 b. 归一化低通的技术要求：归一化低通的技术要求： c. 设计归一化低通设计归一化低通g(p)。dbdbspsssssssp25,395. 4,95. 405. 5, 12021120222取第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计0.

48、10.121010.05621014.95lg1.8,2lg1( )21psspssppspspkknng ppp d. 用变换公式将用变换公式将g(p)转换成带阻滤波器转换成带阻滤波器h(s)。40202202344022042)2(22| )()(202sbsbbsssspgshssbp第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计用用matlab来解决问题：来解决问题：clear;close all;fp=1;fs=4.95;rp=3;rs=25;%归一化低通的指标归一化低通的指标n,fc=buttord(fp,fs,rp,rs,s)%求阶数和半功率点频率求阶数和半功率点

49、频率b,a=butter(n,1,s)%求归一化低通系统函数的系数求归一化低通系统函数的系数printsys(b,a,p)%打出归一化低通系统函数的公式打出归一化低通系统函数的公式c,d=lp2bs(b,a,sqrt(905*1105)*2*pi,200*2*pi)%低通转到带阻低通转到带阻printsys(c,d)%打出带阻系统函数的公式打出带阻系统函数的公式hf,f=freqs(c,d,1000);%求带阻系统函数的频谱求带阻系统函数的频谱plot(f/2/pi,abs(hf);xlabel(f/hz);ylabel(|h(f)|);axis(700,1400,0,1);grid第六章第六

50、章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计iir数字低通滤波器数字低通滤波器 利用模拟滤波器来设计利用模拟滤波器来设计iir数字滤波器是比较方便数字滤波器是比较方便的。为了保证此法设计的的。为了保证此法设计的h(z)稳定且满足技术要求，转稳定且满足技术要求，转换关系必须满足：换关系必须满足： (1) 由因果稳定的模拟滤波器变来的数字滤波器仍由因果稳定的模拟滤波器变来的数字滤波器仍是因果稳定的。是因果稳定的。 (2)数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频响相数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频响相似。似。 本节介绍的转换方法叫脉冲响应不变法

51、。它是对模本节介绍的转换方法叫脉冲响应不变法。它是对模拟单位冲激响应等间隔采样得到数字单位脉冲响应系拟单位冲激响应等间隔采样得到数字单位脉冲响应系统。统。第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 如果模拟滤波器的传输函数为如果模拟滤波器的传输函数为ha(s)，对它的单位，对它的单位冲激响应冲激响应ha(t) 等间隔等间隔t采样所得到的系统采样所得到的系统h(n)=ha(nt) 将与将与ha(t)有相似的频率特性。有相似的频率特性。 设模拟滤波器设模拟滤波器ha(s)只有单阶极点，且分母多项式只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，那么的阶次高于分子多项式的阶

52、次，那么ha(s)的部分分式的部分分式表示为表示为1( )niaiiahsss 式中式中si为为ha(s)的单阶极点。对的单阶极点。对ha(s)进行逆拉氏进行逆拉氏变换得到变换得到ha(t)：nitsiatueathi1)()(第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 式中式中u(t)是单位阶跃函数。对是单位阶跃函数。对ha(t)进行满足采样定进行满足采样定理的等间隔采样，得到：理的等间隔采样，得到： 1( )()()ins ntaiih nh ntaeu nt对上式进行对上式进行z变换，得到数字滤波器的系统函数变换，得到数字滤波器的系统函数h(z)：它就是我们需要的数字

53、滤波器。它就是我们需要的数字滤波器。 但是必须注意：由于模拟信号离散化后频谱是周但是必须注意：由于模拟信号离散化后频谱是周期重复的，所以模拟滤波器的频带必须是有限宽的，期重复的，所以模拟滤波器的频带必须是有限宽的，才能用这种方法设计数字滤波器。才能用这种方法设计数字滤波器。11( )1inis tiah zez第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 如果如果ha(s)的极点的极点si是复数，必以共轭成对的形式出是复数，必以共轭成对的形式出现。一般将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二现。一般将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式

54、为阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为1112211()sjs 极点为极点为 可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有只有实实数乘法数乘法)的形式为的形式为 tttezteztez111221111cos21cos1第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 如果模拟滤波器二阶基本节的形式为如果模拟滤波器二阶基本节的形式为 脉冲响应法设计数字滤波器步骤：脉冲响应法设计数字滤波器步骤：a. 数字域频率转换成模拟域频率（数字域频率转换成模拟域频率（=t），），b. 设计模拟滤波器，设计模拟滤波器，c.模拟滤波器转换成数字滤波器，模拟

55、滤波器转换成数字滤波器，tttezteztezjs1112211111121211cos21sin,)(阶基本节的形式为则对应的数字滤波器二极点为nitsiniiizeassai1111第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 例例6.3.1 已知模拟滤波器的传输函数已知模拟滤波器的传输函数ha(s)为为 用脉冲响应不变法将用脉冲响应不变法将ha(s)转换成数字滤波器的系转换成数字滤波器的系统函数统函数h(z)。 解：首先将解：首先将ha(s)写成部分分式：写成部分分式：20.5012( )0.64490.7079ahsss极点为极点为那么那么h(z)的极点为的极点为77

56、71. 03225. 0,7771. 03225. 021jsjs7771. 03225. 03225. 07771. 03225. 03225. 0)(jsjjsjsha第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计1212,s ts tzeze 按照转换关系式，并经过整理，得到按照转换关系式，并经过整理，得到 当当t=1s时，时， 当当t=0.1s时，时， 转换时，也可以直接按照二阶基本节的形式进行。转换时，也可以直接按照二阶基本节的形式进行。首先将首先将ha(s)写成二阶基本节的形式，写成二阶基本节的形式，111112121sin( )0.644912costttz et

57、h zz etz e211221119375. 09307. 110485. 0)(5247. 00329. 113276. 0)(zzzzhzzzzh第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计112222111110.5012( )0.6449()()ahsss再按照转换式求再按照转换式求h(z)， 用系统函数用系统函数h1(z)和和h2(z)画出的幅频特性可以说明采样画出的幅频特性可以说明采样间隔对混叠现象的影响。间隔对混叠现象的影响。111112121sin( )0.644912costttz eth zz etz e第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应

58、滤波器的设计 图图6.3.3 例例6.3.1的幅度特性的幅度特性 脉冲响应不变法的优点是模拟滤波器和数字滤波器的频脉冲响应不变法的优点是模拟滤波器和数字滤波器的频域特性和时域特性相同，缺点是会产生频率混叠失真。域特性和时域特性相同，缺点是会产生频率混叠失真。第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计用用matlab来解决问题：来解决问题：clear;close all;b=0,0,0.5012;a=1,0.6449,0.7079;t=1;fs=1/t;%脉冲响应不变法的采样周期脉冲响应不变法的采样周期b,a=impinvar(b,a,fs)%该函数已乘该函数已乘tprint

59、sys(b,a,s)%写出模拟滤波器的系统函数写出模拟滤波器的系统函数filt(b/t,a)%写出数字滤波器的系统函数写出数字滤波器的系统函数figure(1);freqs(b,a);%画模拟滤波器的频谱画模拟滤波器的频谱figure(2);freqz(b,a);%画数字滤波器的频谱画数字滤波器的频谱第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计iir数字数字低通滤波器低通滤波器 双线性变换法是先压缩模拟频率，再用脉冲响应不双线性变换法是先压缩模拟频率，再用脉冲响应不变法设计数字滤波器。它克服了脉冲响应不变法的缺点。变法设计数字滤波器

60、。它克服了脉冲响应不变法的缺点。 频率压缩的方法是根据变换公式，频率压缩的方法是根据变换公式， 当当1从从-/t变化到变化到/t时，时，由由-变化到变化到+， 以此实现以此实现模拟频率的压缩。式中模拟频率的压缩。式中t仍是采样间隔。仍是采样间隔。 121tan()2tt 第六章第六章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 因为因为s=j和和s1=j1，由它们的频率关系得，由它们的频率关系得ha(s)变成变成ha(s1)的变换公式的变换公式 再通过再通过 将将ha(s)转换到转换到h(z)上。转换关系是：上。转换关系是： 这种方法称作双线性变换。这种方法称作双线性变换。tstseet