土木工程测量第5章测量误差的基本知识

1、第5章 测量误差的基本知识内容提示：本章主要介绍了测量误差的概念、来源、分类与处理方法，精度的概念及 评定标准，误差传播定律，等精度与非等精度直接观测值的最可靠值及其中误差。其重点 内容包括误差传播定律、观测值中误差计算、直接观测值的最可靠值及其中误差。其难点 为误差传播定律及其应用。5.1 测量误差与精度5.1.1 测量误差的概念要准确认识事物，必须对事物进行定量分析；要进行定量分析必须要先对认识对象进 行观测并取得数据。在取得观测数据的过程中，由于受到多种因素的影响，在对同一对象 进行多次观测时，每次的观测结果总是不完全一致或与预期目标（真值）不一致。之所以产生这种现象，是因为在观测结果中

2、始终存在测量误差的缘故。这种观测量之间的差值或观 测值与真值之间的差值，称为 测量误差（亦称观测误差）。用l代表观测值，X代表真值，则有A=lX（5-1）式中A就是测量误差，通常称为 真误差，简称误差。一般说来，观测值中都含有误差。例如，同一人用同一台经纬仪对某一固定角度重复 观测多次，各测回的观测值往往互不相等；同一组人，用同样的测距工具，对同一段距离 重复测量多次，各次的测距值也往往互不相等。又如，平面三角形内角和为180 ,即为观测对象的真值，但三个内角的观测值之和往往不等于180 ;闭合水准测量线路各测段高差之和的真值应为 0,但经过大量水准测量的实践证明，各测段高差的观测值之和一般也

3、不 等于0。这些现象在测量实践中普遍存在，究其原因，是由于观测值中不可避免地含有观 测误差的缘故。5.1.2 测量误差的来源为什么测量误差不可避免？是因为测量活动离不开人、测量仪器和测量时所处的外界 环境。不同的人，操作习惯不同，会对测量结果产生影响。另外，每个人的感觉器官不可 能十分完善和准确，都会产生一些分辨误差，如人眼对长度的最小分辨率是0.1mm,对角度的最小分辨率是 60。测量仪器的构造也不可能十分完善，观测时测量仪器各轴系之间 还存在不严格平行或垂直的问题，从而导致测量仪器误差。测量时所处的外界环境（如风、温度、土质等）在不断变化之中，风影响测量仪器和观测目标的稳定，温度变化影响大

4、气介 质的变化，从而影响测量视线在大气中的传播线路等。这些影响因素，就是测量误差的三 120 土木工程测量大来源。通常把观测者、仪器设备、环境等三方面综合起来，称为观测条件。观测条件相同的各次观测，称为 等精度观测，获得的观测值称为 等精度观测值；观测条件不相同的各 次观测，称为非等精度观测，相应的观测值称为非等精度观测值。5.1.3 研究测量误差的目的和意义一般说来，人们在测量中总希望每次观测所出现的测量误差越小越好，甚至趋近于0。但要做到这一点，就要用极其精密的测量仪器，采用十分严密的观测方法，付出高昂的代 价。然而，在生产实践中，根据不同的测量目的和要求，是允许在测量结果中含有一定程 度

5、的测量误差的。因此，实际测量工作并不是简单地使测量误差越小越好，而是根据实际需要，将测量误差 限制适当的范围内。研究测量误差是为 了认识测量误差的 基本特性及 其对观测结果的影响 规律，建立处理 测量误差的数 学模型，确定未知量的最可靠值及其精度，进而 判定观测结果是 否可靠或合 格。在认识了测量误差的 基本特性 和影响规律之后，能指导测量员在观测过程中如 何制定 观测方案、采取措施尽力减少 测量误差对测量结果的影响。5.1.4 测量误差的分类及处理方法根据测量误差的 性质，测量误差可分为 粗差、系统误差和偶然误差三大 类，即A=Ai+&+&(5-2)式中，Ai为粗差；&为系统误差；A3为偶然

6、误差。1 .粗差粗差是一种大级量的观测误差，例如 超限的观测值中往往含有 粗差。粗差也包括测量 过程中各种 失误引起的误差。粗差产生的原因 较多，有测量员疏忽大意、失职而引起，如 读数错误、记录错误、照准目标错误等；有测量仪器自身或受外界干扰发生故障而引起的； 还有是 容许误差取值过小造 成的。粗差对测量结果的影响 巨大，必须引起足够的重视，在 观测过程中要 尽力避免。发现粗差的有效办法是：严格遵守国家测量规范或规程，进行必要的重复观测，通过 多余观测条件，采用必要而严密的 检核、验算等措施。不同的人、不同的仪器、不同的测 量方法和不同的观测时间是 发现粗差的最好方式。一 旦发现粗差，该观测值

7、必须 舍弃并重 测。测量员要养成良好的测量习惯，如 记录员站 在水准仪的 右侧，不仅要记录数据，还要 回报数据、时刻提醒观测员管水准器没有整平。尽管测量员已十分认真、谨慎，粗差有时仍然会发生。因此，如 何在观测数据中 发 现并剔除粗差，或在数据处 理过程中削弱粗差对测量结果的影响，是测 绘界十分关注的 问题。2 .系统误差在相同的观测条件 下，对某量进行一系 列观测，其误差 符号或大小均相同或按一定规 律变化，这种误差称为 系统误差。如钢尺尺长误差、仪器残余误差对测量结果的影响。系 统误差具有积累性，对测量结果的影响 很大，因此，必须 足够地重视，处 理系统误差的办 法有以下几项。(1)用计算

8、的方法 加以改正。如钢尺的温度改正、倾斜改正等。(2)用合适的观测方法 加以削弱。如在水准测量中，测 站上采用“后一前一前一后” 的观测程序可以削弱仪器下沉对测量结果的影响；在水平角测量时，采用 盘左、盘右观测 值取平均值的方法可以削弱视准轴误差的影响。(3)将系统误差限制在一定的允许 范围之内。有些系 统误差既不便于计算改正，又不 能采用一定的观测方法 加以消除，如视准轴误差对水平角的影响、水准 尺倾斜对读数的影 响。对于这 类误差，则必须严格 遵守操作规程，对仪器进行精确 检校，使其影响减少到允 许范围之内。3 .偶然误差在相同的观测条件 下，对某量进行一系 列观测，其误差 符号或大小都不

9、一致，表面 上 看不出任何规律性，这种误差称为 偶然误差。偶然误差也有 很大的累积性，而且在观测过 程中无法避免或削弱。粗差可以被发现并被剔除，系统误差可以被预知或采取一定 措施进行削弱，而偶然误 差是不可避免的，因此，讨论测量误差的 主要内容和任务就是研究在带有偶然误差的一系列观测值中，如 何确定未知量的最可靠值及其精度。从单个偶然误差来 看，其出现的符号和大小没有一定的规律，但对大量 偶然误差进行 统计分析，就发现了规律，并且误差个数越多，规律越明显。例如，某一测 区在相同观测条件 下，对测区内所有三角形的内角进行 了观测，由于观 测结果中存在 偶然误差，因而，三角形各内角的观测值之和l不

10、一定等于其真值180。由式(5-1)计算每个三角形内角观测值之和的真误差， 将真误差取 区间dA=3,并按绝 对值大小进行 排列，分别统计在各区间的正负误差的个数，其数据列于表5- 1中。以表5- 1 中误差范围为横轴，以误差个数为 纵轴绘制成直方图如图5.1所示。表5- 1偶然误差统计表误差所在区间负误差个数正误差个数误差总数0-3”232548361314276989179123251215112151810118以上000总计4852100由表5-1和图5.1可以看出：小误差出现的个数 比大误差出现的个数多；绝对值相等的正、负误差个数 几乎相同；最大误差不 超过18。通过大量实 验统计，

11、结果表明，当观测次数 较多时，偶然误差具有如 下统计特性。(1)在一定的观测条件 下，偶然误差的绝对值不会 超过一定的限值，即有界性。(2)绝对值小的误差 比绝对值大的误差出现的可能 性大，即偶然性或随机性。(3)绝对值相等的 正、负误差出现的可能 性相等，即对称性。- # 第5章 测量误差的基本知识- 123 (4)同一量的等精度观测，其 偶然误差的算术平均值随着观测次数的 无限增加而趋近 于0,即lim = 0(5-3)n co n式中，A = A1 + A2+-+ An, n为观测次数。在测量学中以“”表示取括号中变量的代数和，即A= Ao偶然误差的第(4)个特性由第(3)个特性导出，说

12、明偶然性误差具有抵偿性。为了简单而形象地表 示偶然误差的上述特性，今以偶然误差的大小为 横坐标，以其相 应出现的个数为 纵坐标，画出偶然误差大小与其出现个数的 关系曲线，如图5.2所示。这 种曲线又称为误差分 布曲线。误差分 布曲线的峰愈高坡愈陡，表明绝对值小的误差出现 较 多，即误差分 布比较密集，反映观测成果质量好；曲线的峰愈低坡愈缓，表明绝对值大的 误差出现 较少，即误差分 布比较离散，反映观测成果质量较差。偶然误差特性图中的曲线符合统计学中的正态分布曲线，标准误差的大小 反映了观测 精度的低高，即标准误差越大，精度越 低；反之，标准误差越小，精度越高。酬然误片统计曲线图图5.1偶然误差

13、统计直方图口跟刘所在M：间图5.2偶然误差特性图5.1.5 精度的概念及评定精度的标准精度是指对某个量进行多次同精度观测中，其偶然误差分布的离散程度。观测条件相同的各次观测，称为等精度观测，但每次的观测结果之间又总是不完全一致。测量工作中，观测对象的真值 只有一个，而观测值有 无数个，其真误差也有相同的个 数，有正有负，有大有小。以真误差的平 均值作为衡量精度的标准 非常不实用，因为真误 差的平均值都趋近于 0。以真误差 绝对值的大小来 衡量精度也不能 反映这一组观测值的 整 体优劣。因而，测量中 引用了数理统计中均方差的概念，并以此作为 衡量精度的标准。具 体到测量工作中，以中误差、相对中误

14、差和容许误差作为衡量精度的标准。中误差越大，精度越低；反之，中误差越小，精度越高。1 .中误差设在相同的观测条件 下，对某量进行了 n次观测，其观测值为11, 12,，ln,相应的 真误差为A1,及,，An,则中误差为m=男丁（5-4）式中，A 4= N +、+ A2。【例5.1】 设有甲、乙两个小组，对某三角形的内角和观测了 10次，分别求得其真误差为甲 组 +4”, +3”, +5, -2, -4, 1, +2, +3, -6, -2乙 组 +3 , +5, -5, -2, -7, -1, +8”, +3, -6, -1试求这两组观测值的中误差。222222222243.544.7+ 3

15、+ 5 + 2 + 4 + 1 + 2 + 3 + 6 + 2102222222222+3+5+5+2+7+1+8+3+6+110比较m甲和m乙可知，甲组的观测精度 比乙组高。2 .相对中误差优劣。例如丈量了长度为在某些情况下，单用中误差还不能准确地反映出观测精度的100m和200m的两段距离，其中误差 均为 0.01m,显然不能认为这 两段距离的精度相同。这时为了更客观地反映实际情况，还必须引入相对中误差的 概念，以相对中误差 K来作为 衡量精度的标准。相对中误差是中误差的绝对值与相应观测值之 比，并用分子为1的分数来表示，即(5-5)在上例中，K1 = 0.01/100 =1/10000

16、, K2 = 0.01/ 200 = 1/20000。显然，后者的精度比前者精度高；当K中分母越大，表 示相对中误差精度越高， 反之越低。值得注意的是，观测时间、角度和高差时，不能用相对中误差来衡量观测值的精度,这是因为观测误差与观测值的大小 无关。3 .容许误差由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件 下，偶然误差的绝对值不会 超过一 定的限度。根据误差 理论和大量的实践证明，在一系 列等精度的观测中， 绝对值大于2倍 中误差的偶然误差出现的可能 性约为5%;绝对值大于3倍中误差的偶然误差出现的可能 性约为0.3%。因此，在观测次数不多的 情况下，可以认为大于3倍中误差的偶然误差是不 可

17、能出现的。故通常以 3倍中误差作为 偶然误差的极 限误差，即(5-6)A 极=3m在实际工作中，测量 规范要求观测值中，不 容许存在较大的误差，常以2倍中误差作 为偶然误差的容许误差，即(5-7)A 容=2m在观测数据 检查和处理工作中，常用 容许误差作为精度的 衡量标准。当观测值误差大于容许误差时，即可认为观测值中 包含有粗差，应给予舍去不用或重测。5.2 误差传播定律误差传播的概念与误差传播定律当对某一未知量进行了多次观测后，就可以根据观测值 计算出观测值的中误差，作为 衡量观测结果的精度标准。但是在实际工作中，有些未知量往往不是直 接观测得到的，而是观测其 他未知量间接求得的。例如，水准

18、测量中，在测 站上测得后视、前视读数分别为 a、b,则高差h = a-bo这里高差h是直接观测量a、b的函数。显然，当a、b存在误差 时，h也受其影响而产生误差。这种 关系称为误差传播，阐述这种函数关系的定律称为误 差传播定律。一般函数的中误差设有一般函数Z=F(Xi, X2,，Xn)(5-8)式中，Xi, X2,，Xn为可直接观测的未知量，Z为函数，是间接观测量。设Xi( i =1, 2,，n)的独立观测值为Xi,其相应的真误差为 Ax。由于Ax的存在，使函数Z也产生相应的真误差反将式(5-8)取全微分一?F .?F .?F ,dZ =-dXi+dX2 + dXn(5-9)?X?X2?Xn因

19、误差 权及AZ都很小，故在 上式中可以用 以及AZ代替dXi及dZ,于是有卫 =尤 第 + -?F 必 + +-?F- AXn(5-10)?Xi?X2?Xn，？F 一 ，、，|式中一为函数F对各自变量的偏导数，令?Xi?X则式(5-10)可写成a=f1 仪 + f2 AX2 + + fnAXn(5-11)为了求得函数和观测值之间的中误差关系式，设 想对各式进行了 k次观测，则可 写出如下关系式AZ(1) = f1 Zx1(I) + f2 Zx2(1) + + fn AXn(1)AZ(2)= f1 AX1C)+ f2 Ax2(2) + + fn ZXn(2),AZ(k) = f1Axi(k)+

20、2%0 + + fn /Xn(k)将以上各等式取平方和得- 121 第5章 测量误差的基本知识- 129 n22. , 22. , 22 .2-AZ =fl81 +f2 * +fn耳+Vfi fjAXiji,j T刊上式两端各除以k得心2 _f 2欧If 2 必2+ f 2 n23澳加f1+ f2+ fn+fi fjkkkki,j%jj k由于对各xi的观测值为相互 独立的观测量，则 仅以。打)也具有偶然误差的特性。根据偶然误差的第(4)个特性，上式的末项趋近于0,即AXi AXj lim = 0J 0 k根据中误差的定义，则有2,22,22.,22mz = f1m1 + f2 m2 + +

21、fn mn(5-12)即? ?F蔡 ? 开?xn ?FF1 ? ? ?222m2(5-13)式(5-13)为计算函数中误差的一般形式。在应用时，要注意各观测值之间必须是相互 独立的变量。当未知量Xi为直接观测值时，可认为各 Xi之间满足相互独立的条件。误差传播定 律在测绘领域应用十分 广泛，利用它不仅可以求得观测值 函数的中误差， 而且还可以研究确定容许误差以 及事先分析观测可能 达到的精度等，对预先确定的测量方 案做出优劣评估。5.2.1 线性函数的中误差设有一般线性函数Z=k1X1k 2X23 knXn(5-14)式中，X1, X2,，Xn为可直接观测的未知量，Z为函数，是间接观测量，k1

22、, k2,， kn为系数。套用公式(5-13)得一般线 性函数的中误差 公式为mz = *；k2m2 + kfmf + + k12 ml2(5-15)【例5.2】 在某三角形 ABC中，直接观测A和B角，其中误差分 别是mA = 3和 mB=4,试求中误差mco【解】 A、B、C满足如下关系C=180 -a-B微分上式dc=-dA-dB由式(5-9)可知，f1=1, f2= 1,代入式(5-11)得222,2,2me = mA + mB = (i3) + (i4) =25即me= 5本例题由于是线 性函数，也可直接套用式(5-14)求得结果。注意，线性函数中不管是“和”函数还是“差”函数，函数

23、中误差都是求平方和之 后再开方。【例5.3 已知x=2003, z =3005,求y和my。设x, y, z满足下列关 系: z=3x- 5y【解】31依题息 y = -x + -z=18055mx= 3, mz= 5212.X32 + X52 立.12592 12my= S125x + 25z =- 121 请同学们注意，本例题哪个量是函数？哪个量是直接观测量?5.2.2 误差传播定律的应用【例5.4 为了求某圆柱体体积，今测得圆周长、高及其中误差分另为：周长C=2.105 土 0.002m ,高H=1.823 0.003m,试求圆柱体体积V及其中误差 mv。【解】圆柱体体积公式V = C2

24、H4兀dV 2dC dH将上式取对数微分得 = + -VC H将观测数据代入上式得人一 V? ?2 ? ?2?C m 2?2? ? 詈 ?+V=0.643 mmV = 0.0016m3即V=0.643 0.0016m【例5.5今丈量了某倾斜地面距离D = 100.00 0.02m ,地面倾斜角度为a=12 30。5, 试求地面水平距离 D及mD。【解】水平距离D = D cos a = 97.63md a微分上式dD = dDcoSa- Dsin a p则mD =(C0SamD )2 + (Dsin a-m； )2 =3.9117 x 10 4PmD = iQ.02m即D = 97.63 0.

25、02m【例5.6】 设用长度为l的卷尺量距，共丈量了 n个尺段，已知每尺段量距中误差都为 mi求全长S的中误差ms。【解】S = ll + l 2 + 1n22,2,22,2,22mS = m1+ m2 + mn = m1 + m1 +m1= nm1即ms = . nmi当使用量距的钢尺长度相等，每 尺段的量距中误差都为 mi,即等精度观测，这时每 公 里长度的量距中误差 mKM也相等。当对长度为S公里的距离丈量时，则有ms = , SmKM（5-16）【例5.7】水准测量中，视距为75m时在水准尺上读数中误差m读= 2mm（包括照准误差、 气泡居中误差及水准尺刻划误差）。若以3倍中误差为容许

26、误差，试求普通水准测量观测 n 站所得高差闭合差的 容许误差。【解】 普通水准测量每 站测得高差hi=ai-bi（i=1, 2, 3,，n）,每测站观测高差中误差 为m = ；m2 + m2 = 女2m 读=t2.8mm观测n站所得高差h=hi+h2+ - +h n,高差闭合差f=h-ho, h。为已知值（无误差）。则闭 合差为m = imVn = =t2.8xnmm以3倍中误差为 容许误差，则高差闭合差的 号许误于为4t = 3 X2.8Vn 8，.2.A 4= vv + n(x- L) + 2(x - L)v8 = x- L 贝U2A 4 = vv + n 8A 4 vvA A A A v

27、v=+.=nn n nn - 1(5-20)(5-21)mM)【例5.8】 对某直线 丈量了 6次，丈量结果如表5-2所示。求算术平均值、算术平均值中误差及相对中误差。【解】根据式(5-17)至式(5-21)计算算术平均值、改正数、观测值中误差、算术平均值中误差, 其结果均列于表5- 2中。在表5-2中，按步骤计算可求得等精度直 接观测值的最可 靠值及其中误差。也可以直 接利用计算器的统计功能完成计算。今以KS-105B计算器为例，操作过程如 下。按2nd on/c键将计算器置于统计状态下“ STAT ” ：124.553 M+124.565 M+j24.569 M+724.570 m+724

28、.559 m+724.561 M+按x键显示平均值124.563,按n键显示输入数据个数6,按s键显示标准差即中误差 m=6.5。表5- 2等精度直接观测值的最可靠值计算测次距离(m)改正数(mm)vv计算1 124.553+10100m = ：lvvL = z6.5 n - 1 mM = _ = +2.6 52 124.565-243 124.569-6364 124.5707495 124.559+4166 124.561+24平均124.563 v=+1 vv=2095.4非等精度直接观测值的最可靠值及其中误差5.4.1 权的概念对某一未知量进行了非等精度观测，其各次观测值的中误差也不相

29、同，各次观测的结 果便具有不同的可靠性。因此，在求未知量的最可靠值时，就不能像等精度观测那样简单 地取算术平均值，因为较可靠的观测值应对最后测量结果产生较大的影响。最可靠值显然不是算术平均值，那应该怎么求得呢？显然，较可靠的观测值或精度高的观测值，应对结果产生较大的影响，它所占的“权重”应大一些。在测量工作中引入“权”的概念。观测值的精度愈高，即中误差愈小，其权就大；反之，观测值的精度愈低，即中 误差愈大，其权就小。因此，权与中误差具有密切关系。5.4.2 权与中误差的关系依据权的概念，权 p与中误差m的函数关系为 2Pi =$(i = 1,2, ,n)(5-22)mi式中科是不为0的任意常数

30、。当P=1时，其权为单位权，其中误差称为单位权中误差，一般用mo(或力表示。5.4.3 定权的方法假定对某一未知量进行了两组非等精度观测，但每组内各观测值精度相等，设第一组 观测了 4次，其观测值为11, 12, 13, 14;第二组观测了 2次，观测值为L, 1；。则每组的算 术平均值为11 + 12 + 13 +14L1 =4,1/ + 12I 第5章 测量误差的基本知识- 133 对观测值Li、L2来说，彼此是非等精度的观测值，而对于第一组、第二组这个整体而m,因而，其最后结果应为言，它们内部的每一次观测却是等精度观测，中误差都为, l1 + l2 + l 3 + l 4 + l 1 +

31、 l 2L =上式的计算实际上是(5-23)4L1+2L2 L =4 + 2从非等精度观测的观点来看，观测值L1是4次观测值的平均值，观测值L2是两次观测值的平均值，L1和L2的精度不一样，可取 4、2为其相应的权，以表示 L1和L2的精度差 别。分析式（5-23）,分子、分母乘以同一常数，最后结果不变。因此，权只有相对意义，所 起的作用不是它们的绝对值，而是它们之间的比值。令w = m,则观测值L1、L2的中误差分别 M1、M2。按式（5-22）它们的权为2 a P1 =2M12LIp2 =2M2 m 42 = m42m- 121 2按式（5-22）的定权方法，求得观测值 L1、L2的权P1

32、、P2与预期结果一致。【例5.9】 按等精度丈量了三条边，得 S=3KM , S2 = 4KM , S3 = 5KM试求这三条边 的权。【解】因为等精度观测，即每公里的丈量精度相同，按式 （5-16）,三条边的中误差分别为m1 = ,SmKMm2 =S?mKMm3 = . S3 mKM2LIPi =2 =mimKMC=1,贝U1 p1=3，p2 = 4, p3 = 5则它们的权为mKM ? C 二w式中C =（二二）2为任意常数。由上式可知，在等精度丈量时，边长的权与边长成反比。C=4,贝Uc4c-4P1 =一,P2=1, P3 =一35选择适当的C值可以使权成为便于计算的数值。与距离测量相似

33、，在水准测量工作中，当每公里水准测量精度相同时，水准路线观测 高差的权与路线长度成反比；当每测站观测高差的精度相同时，水准路线观测高差的权与 测站数成反比。至于何时用距离定权，何时用测站数定权，在测量规范中是有规定的。一般说来，在起伏不大的地区，每公里测站数相近，即每公里水准测量精度相同，可按距离来定权；而在起伏较大的地区，每公里测站数相差较大，则按测站数来定权。水准测量定权方法按长度定权Pi = C(5-24)Si式中Si为水准路线分段长度。C按测站数定权Pi = (5-25)ni式中ni为水准路线分段测站数，C为任意不为。的常数。5.4.4加权平均值及其中误差由上述推导可知，当对同一量进行

34、了n次非等精度观测时，观测值为为pi,则加权算术平均值L0为plPill + P2I2 + PnlnLo = -r =P Pi + P2 + Pn根据误差传播定律，可得加权算术平均值的中误差Mo为M2P2m2 +P2 m2+ P2m2pj122由于 Pimi = p2m2 =22=Pnmn = mo ,故有22,2Pimo + P2mo +I 0 =2p222+ Pnmom)两li,其相应的权(5-26)(5-27)(5-28)由此可知，加权算术平均值的权po=p，即加权算术平均值的权为所有观测值的权总和。Mo。在式(5-28)中，需要先求出单位权中误差mo,才可确定加权算术平均值的中误差卜面

35、介绍求单位权中误差公式。设已知非等精度观测值li的权为P将观测值li乘以衣，得一组虚拟观测值 li = , Pili由误差传播定律有其权为m； = . Pi mi2 m2P ,pi =,2 12m Pi mi2mo2 =1 mo这就是说虚拟观测值li的权都是1,因此，可以把虚拟观测看作是等精度观测。即& 二 . Pi A按式(5-4),有 p入(5-29)mo =4=却nn这就是用观测值真误差计算单位权中误差的公式。同样，在多数测量计算中，要用改 正数来计算单位权中误差，即pvvmo = it(5-30)n- 1【例5.10】 在水准测量中，从 3个已知高程点 A、B、C出发测得E点的3个高程Hi及 各水准路线的长度 Li。求E点高程的最可靠值 He及其中误差 MH。【解】取水准路线长度Li