高中数学北师大版必修4学案：2.7向量应用举例Word版含

1、7向量应用举例71点到直线的距离公式72向量的应用举例1了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离(重点)2会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题(难点)3进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具基础初探教材整理向量应用举例阅读教材P101P103，完成下列问题1点到直线的距离公式若M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：AxByC0的距离为：d.2直线的法向量(1)定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量(2)公式：设直线l：AxByC0，取其方向向量v(B，A)，则直线l的法向量n(A，B)3向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用

2、；二是在物理中的应用判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)ABC是直角三角形，则0.()(2)若，则直线AB与CD平行()(3)向量，的夹角与直线AB，CD的夹角不相等()(4)直线AxByC0的一个法向量是(A，B)()【解析】ABC是直角三角形，若A90，则0，(1)；两向量平行，对应的两直线可以是重合，(2)；(3)(4)均正确【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型向量在平面几何中的应用已知D是ABC中AC边上一点，且ADDC21，C45，ADB60，求证：AB是B

3、CD外接圆的切线图271【自主解答】设BCD外接圆的圆心为O，半径为R，连接OB，OC，OD，取b，c，d，则|b|c|d|，又由题意，知和分别为120和90的弧bd0，bc|b|c|cos 120R2.又c3c3(dc)3d2c，b3d2c.(b3d2c)bR22cbR2R20，即，AB是O的切线1解决此类问题，通常利用平面向量基本定理，将一些相关向量用选定的基底来表示，再利用运算法则，运算律以及一些重要性质进行运算，最后把结果还原为几何关系2本题是将切线问题转化为两向量的垂直关系再练一题1已知RtABC，C90，设ACm，BCn，若D为斜边AB的中点，(1)求证：CDAB；(2)若E为CD

4、的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)【解】以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)，(n，m)(1)证明：D为AB的中点，D，|，|，|，即CDAB.(2)E为CD的中点，E，设F(x,0)，则，(x，m)A，E，F共线，解得(x，m)，即x，即F，|，即AF.向量在物理中的应用某人在静水中游泳，速度为4km/h.(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进的

5、速度大小为多少？【精彩点拨】解本题首先要根据题意作图，再把物理问题转化为向量的有关运算求解【自主解答】(1)如图，设人游泳的速度为，水流的速度为，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为，根据勾股定理，|8，且在RtACO中，COA60，故此人实际沿与水速夹角60的方向前进，速度大小为8 km/h.(2)如图，设此人的实际速度为，水流速度为.实际速度游速水速，故游速为，在RtAOB中，|4，|4，|4.cosBAO，故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为，且逆着水流方向，实际前进速度的大小为4km/h.1用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意

6、物理中的矢量与数学中向量的区别与联系2速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则3在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一再练一题2一架飞机从A地向北偏西60方向飞行1 000 km到达B地，因大雾无法降落，故转向C地飞行，若C地在A地的南偏西60方向，并且A，C两地相距2 000 km，求飞机从B地到C地的位移图272【解】法一：由题意得|1 000，|2 000，BAC60，|2|2|2|22|cos 602 00021 000221 0002 0003106，|1

7、000(km)，ABC90.取AC的中点D，由|2|且BAD60，知为正南方向，有ABD60，于是DBC30.所以飞机从B地到C地的位移的大小为1 000km，方向为南偏西30.法二：建立如图所示坐标系，并取a500，则(2acos 150，2asin 150)(a，a)，(4acos 210，4asin 210)(2a，2a)，(a，3a)，|2a，即|1 000(km)又cos C，C30.结合图形可知的方向为南偏西30，所以飞机从B地到C地的位移的大小为1 000km，方向为南偏西30.探究共研型向量在解析几何中的应用探究1教材中在证明点到直线的距离公式时，为什么有d|n0|?【提示】如

8、图所示，过M作MNl于N，则d|.在RtMPN中，|是在方向上的射影的绝对值，则|cosPMN|1cosPMN|n0|cosPMN|n0|，d|n0|.探究2你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？【提示】关键是把点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算探究3用向量法解决几何问题常用到哪些知识？【提示】相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到已知圆C：(x3)2(y3)24，及点A(1,1)，M是C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且2，求点N的轨迹方程【精彩点拨】要求点N的轨迹方程，需设出点N的坐标，然后利用已知条件，转化为向量关系，再利用代入法求解【自主解答】设N(x，

9、y)，M(x0，y0)，由2，得(1x0,1y0)2(x1，y1)，即代入C方程，得(32x3)2(32y3)24，即x2y21.点N的轨迹方程为x2y21.向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质再练一题3已知过点A(0,2)，且方向向量为a(1，k)的直线l与圆C：(x2)2(y3)21相交于M，N两点，若O为坐标原点，且12，求k及直线l的方程【解】设M(x1，y1)，N(x2

10、，y2)由题意知，l的方程为ykx2，由得(1k2)x2(42k)x40.由根与系数的关系得，x1x2，x1x2.(x1，y1)(x2，y2)x1x2y1y212，y1kx12，y2kx22，x1x2(kx12)(kx22)0，即(1k2)x1x22k(x1x2)80，(1k2)2k80，解得k，直线l的方程为yx2，即x2y40.构建体系1一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5N，则两个力的合力的大小为()A5NB5NC5N D5N【解析】根据向量的平行四边形法则，合力F的大小为55(N)【答案】D2在四边形ABCD中，0，且，则四边形ABCD是()A梯形 B菱形C矩形 D正方形【解析】由0，得，又，所以与平行且相等，从而四边形ABCD是矩形【答案】C3过点P(1，1)且垂直于向量n(2，1)的直线方程为_. 【导学号：66470059】【解析】所求直线的方向向量为m(1,2)，所求直线的斜率为k2，所求直线方程为y12(x1)，即2xy30.【答案】2xy304已知点A(1,1)，M(x，y)，且A与M不重合，若向量与向量a(1,2)垂直，则点M的轨迹方程为_【解析】由题意得(x1，y1)因为a，所以a0，所以(x1，y1)(1,2