线性代数二次形及其标准型

1、1 1 11线性代数线性代数 第五章第五章5.2 二次型及其标准形二次型及其标准形一、二次型的矩阵表示一、二次型的矩阵表示1、二次型、二次型.,2121元元二二次次型型的的一一个个称称为为元元二二次次齐齐次次多多项项式式，简简的的称称为为nxxxnxxxnn 定义定义1 . n个变量个变量 的二次齐次函数的二次齐次函数nxxx,21), 2 , 1,(),(1121njiaaxxaxxxfjiijninjjiijn 其中其中2 2 22线性代数线性代数 第五章第五章 nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa2211222212112121112 2、 二次型的矩阵表示法二次型的矩

2、阵表示法nnnnnnnnnnnnxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaf 221122222212211121121111),(21nxxx nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxx212122221112111),(3 3 33线性代数线性代数 第五章第五章 nnnnnnaaaaaaaaaa212222111211令令其中其中a是一个是一个n阶对称矩阵阶对称矩阵 nxxxx21称为二次型的矩阵表达形式称为二次型的矩阵表达形式)(,),(21aaaxxxxxfttn a称为二次型的矩阵，称为二次型的矩阵，a的秩称为二次型的秩的秩称为二次型的秩. nnnnnnnnxxxaaa

3、aaaaaaxxf212122221112111),(说明：说明：（1）二次型的矩阵都是对称矩阵；）二次型的矩阵都是对称矩阵；（2）二次型和它的矩阵是相互唯一决定的（一一对应）；）二次型和它的矩阵是相互唯一决定的（一一对应）；4 4 44线性代数线性代数 第五章第五章 2332222121321254,xxxxxxxxxxf 写出它的矩阵表达式。写出它的矩阵表达式。例例1：解解： 11011250254 321,xxx 321xxx23231332221231212110 125 0254xxxxxxxxxxxxxxx 2332222121321254,xxxxxxxxxxf 5 5 55线性

4、代数线性代数 第五章第五章例例2.32),(32223121321写写成成矩矩阵阵形形式式将将xxxxxxxxxxf 解解 321321321,),(xxxxxxxxxf02023 23 ,)(2的的系系数数为为平平方方项项的的系系数数的的一一半半，为为交交叉叉项项iiijijiijxaxxjiaa 注注6 6 66线性代数线性代数 第五章第五章1、变量的线性变换、变量的线性变换定义定义5.2关系式关系式 nnnnnnnnycycycxycycycx221112121111.,11的的一一个个线线性性变变换换到到称称为为由由变变量量nnyyxx令令 nnnnnncccccccccc212222

5、111211 nxxxx21 nyyyy21则线性变换的矩阵形式为则线性变换的矩阵形式为x = cy二二. .二次型的标准形二次型的标准形. .7 7 77线性代数线性代数 第五章第五章说明说明xcy1 为满秩（或可逆）的线性变换，此时为满秩（或可逆）的线性变换，此时（1）如果系数矩阵）如果系数矩阵c可逆，即可逆，即|c| 0，则称线性变换，则称线性变换x = cy（2）如果系数矩阵）如果系数矩阵c为正交矩阵为正交矩阵.则称线性变换则称线性变换x= cy为为正交变换正交变换.型型化化为为只只含含平平方方项项的的二二次次经经过过满满秩秩线线性性变变换换二二次次型型若若cyxaxxxxxftn )

6、,(21定义定义5.3222221121),(nnnydydydyyyg 此形称为此形称为f的标准形的标准形.8 8 88线性代数线性代数 第五章第五章dyyygyyddyyyygtnnnn )(),(),(1111标准形矩阵为对角矩阵（后面举例说明）标准形矩阵为对角矩阵（后面举例说明） ndddd21注：注：9 9 99线性代数线性代数 第五章第五章二次型研究的主要问题是：二次型研究的主要问题是：寻找寻找满秩线性变换满秩线性变换 ，化二次型为标准形化二次型为标准形cyx )(xf ninjjiijxxa11.)(2222211nnydydydyf cyx 所以经所以经满秩线性变换满秩线性变换

7、后，新旧二次型的矩阵的关系：后，新旧二次型的矩阵的关系：axxft byyft 因为有因为有axxft )()(cyacyt yaccytt)( .accbt byyt 定理定理5.1cyx .,),(21accbbyyfaxxxxxfcyxtttn 它的矩阵它的矩阵型型成与其有相同秩的二次成与其有相同秩的二次变换变换将二次型将二次型满秩线性变换满秩线性变换10101010线性代数线性代数 第五章第五章3、矩阵的合同、矩阵的合同合同是等价关系，具有反身性、对称性、传递性。合同是等价关系，具有反身性、对称性、传递性。因此二次型经过满秩线性变换后，因此二次型经过满秩线性变换后，所得到的二次型矩阵所

8、得到的二次型矩阵b与原二次型矩阵与原二次型矩阵a是合同的是合同的.,bababacccnnbat合合同同，记记为为与与成成立立，则则称称使使得得阶阶可可逆逆矩矩阵阵阶阶矩矩阵阵，如如果果存存在在为为设设 定义定义5.4axxft )()(cyacyt yaccytt)( byyt 11111111线性代数线性代数 第五章第五章5.3、化二次型为标准形、化二次型为标准形定理定理5.2一、用正交变换化二次型为标准形一、用正交变换化二次型为标准形.),()(,),(2121为标准型为标准型，使，使为正交矩阵为正交矩阵变换变换一定存在正交一定存在正交其中其中对任意实二次型对任意实二次型nttnxxxf

9、qqyxaaaxxxxxf 证明：对于实对称矩阵证明：对于实对称矩阵a，存在正交矩阵，存在正交矩阵q，使，使)(11的特征值的特征值为为aaqqaqqint 令正交变换令正交变换x=qy ，在此变换下，在此变换下yyyaqqyqyaqyaxxfttttt )()()(2222211nnyyy 12121212线性代数线性代数 第五章第五章.448255323121232221成成标标准准形形化化二二次次型型通通过过正正交交变变换换xxxxxxxxxf 例例4解解二次型矩阵二次型矩阵 222254245aa的特征多项式的特征多项式222254245 ai)10()1(2 a的特征值为的特征值为1

10、0)( 121 ，二重二重把把 1=1（2重）代入齐次方程组，得重）代入齐次方程组，得基础解系为基础解系为13131313线性代数线性代数 第五章第五章 201,01121 将它们正交化，得将它们正交化，得 t0, 1, 111 t 234,231,2312 再单位化，得再单位化，得t 0,21,211 ttt 2,21,211111222 14141414线性代数线性代数 第五章第五章把把 2=10代入齐次方程组，得代入齐次方程组，得基础解系为基础解系为 1223 单位化，得单位化，得t 31,32,323 正交矩阵正交矩阵 31234032231213223121q则则 1011aqqt令

11、正交变换令正交变换x=qy，则，则（注）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变（注）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变 的特点，使其易于识别。的特点，使其易于识别。23222110yyyf 15151515线性代数线性代数 第五章第五章（二）用满秩线性变换化二次型为标准形（二）用满秩线性变换化二次型为标准形配方法配方法例例2.84422323121232221成成标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 16161616线性代数线性代数 第五章第五章解解把含有把含有x1各项集中在一起各项集中在一起322322312121822)44(xxxxxxxxxf 22221

12、23232323(22)(22)228xxxxxxxx x把含有把含有x1各项配完全平方各项配完全平方2221232323(22)6216xxxxxx x把含有把含有x2各项集中在一起，再配平方各项集中在一起，再配平方22212322338(22)6()23xxxxx xx232322321326)34(6)22(xxxxxx 32312123222184422xxxxxxxxxf 17171717线性代数线性代数 第五章第五章令令 321122xxxy 32234xxy 33xy 3211322yyyx 32234yyx 33yx 10010213432c显然显然01| c则标准形为则标准形

13、为.3266232221yyyf 32661acct验证验证18181818线性代数线性代数 第五章第五章例例3.622),(323121321成成标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 解解令令 33212211yxyyxyyx 1000110111c01 c有有3213212121)(6)(2)(2yyyyyyyyyyf 323122218422yyyyyy 构造平方项构造平方项3222312182)2(2yyyyyy 322223231822)(2yyyyyy 19191919线性代数线性代数 第五章第五章322223231822)(2yyyyyy 2332222312)4(2

14、)(2yyyyyy 232322316)2(2)(2yyyyy 令令 333223112yzyyzyyz 333223112zyzzyzzy 1002101012c02 c则则.622232221zzzf 20202020线性代数线性代数 第五章第五章这两次线性变换的结果相当于作一个总的线性变换：这两次线性变换的结果相当于作一个总的线性变换：21ccc 100011011 100210101 100111311显然显然0| c 622accbt.622232221zzzbzzft 即即其中其中czx 21212121线性代数线性代数 第五章第五章22222222线性代数线性代数 第五章第五章2

15、、 213232221321),(xxxxxxxxxf 令令 133322211xxyxxyxxy232221yyyf 这样计算对吗？这样计算对吗？正确的做法应该是什么？正确的做法应该是什么？23232323线性代数线性代数 第五章第五章（三）初等变换化二次型为标准形（三）初等变换化二次型为标准形0|, cacct 是初等矩阵是初等矩阵设设), 1(,21sippppcis ,2112stttstppappppacc 则则即即用初等变换把二次型矩阵化为对角矩阵，为保持所得矩阵用初等变换把二次型矩阵化为对角矩阵，为保持所得矩阵与原矩阵合同，必须成对地施行行初等变换与列初等变换，与原矩阵合同，必须

16、成对地施行行初等变换与列初等变换，即作一次初等列变换后必须作一次相同的行变换即作一次初等列变换后必须作一次相同的行变换.24242424线性代数线性代数 第五章第五章例：初等变换化二次型为标准形，并写出相应的满秩线性变换例：初等变换化二次型为标准形，并写出相应的满秩线性变换.3231212322214442xxxxxxxxxf 100010001122222221 ia 100010001122220221 1000100211222202013 3 100010021122220201 2 2 100010221522220001 1000102213002200011 1001100213

17、00020001bc 1 注意注意不是不是i25252525线性代数线性代数 第五章第五章 100010021,321cb令令,cyx 则经满秩线性变换则经满秩线性变换2322213231212322211424442yyybyyxxxxxxxxxt 100110021300020001ia26262626线性代数线性代数 第五章第五章 标准形是不唯一的，与所作的满秩线性变换有关，标准形是不唯一的，与所作的满秩线性变换有关，而系数不为而系数不为0的平方项的个数由二次形的秩决定，所以是的平方项的个数由二次形的秩决定，所以是唯一的，与所作的满秩线性变换无关唯一的，与所作的满秩线性变换无关 .例如例

18、如323121321622),(xxxxxxxxxf cyxc ,100111311.622232221yyyf ycxc11,3100312111211 .32212232221yyyf 四四. 惯性定理惯性定理27272727线性代数线性代数 第五章第五章定理定理5.4 （惯性定理）（惯性定理）一个二次型的任意两个标准形中的正系数的一个二次型的任意两个标准形中的正系数的个数与负系数的个数分别相等个数与负系数的个数分别相等. 定义：在二次型的标准形中，正系数的个数定义：在二次型的标准形中，正系数的个数 p（唯一确定）称为（唯一确定）称为 二次型的二次型的正惯性指数正惯性指数，负系数的个数，负

19、系数的个数 n （唯一确定）称为（唯一确定）称为负惯性指数负惯性指数，p+n=r.它们之差它们之差 s=p-n 称为符号差。称为符号差。22122121)(npppnzzzzxxxf 定理定理5.5 任意任意二次型二次型f 均可经均可经满秩线性变换满秩线性变换 化为化为二次型二次型f的规范的规范形形232221123222132142)(zzzzcyyyycyxxxxf 例例 23321112121zyzyzyc 对应的满秩线性变换为对应的满秩线性变换为其中其中28282828线性代数线性代数 第五章第五章5.4、二次型与对称矩阵的有定性、二次型与对称矩阵的有定性1、定义、定义5.5例例1则称

20、该二次型为则称该二次型为有有如果对于任意的如果对于任意的设实二次型设实二次型0),( , 0),(, )(),( 212121 axxxxxfxxxxaaaxxxxxftntnttn. ,为正定矩阵为正定矩阵矩阵矩阵正定二次型正定二次型a. 0),( , 0),( .),( 21212222121 ntnnnxxxfxxxxxxxxxxf有有因为对任意的因为对任意的型型是正定二次是正定二次二次型二次型. 0),( , 0), 0 , 0( .)(),(2112222121 ntnrrnxxxfxxxnrxxxxxxf有有因为对任意的因为对任意的正定二次型正定二次型不是不是而二次型而二次型292

21、92929线性代数线性代数 第五章第五章 .,判断二次型的正定性判断二次型的正定性规范形很容易规范形很容易利用二次型的标准形或利用二次型的标准形或由此例可以看出由此例可以看出5.5 .可逆线性替换不改变二次理型的正定性定:证明证明.),(21为正定二次型设二次型axxxxxftn有有经可逆线性替换经可逆线性替换, cyx .)(),(21yaccyaxxxxxftttn , 0, 0),(21 xcyyyyn可逆可得可逆可得由由对任意的对任意的0)( axxyaccyttt因因此此.)(仍为正定二次型仍为正定二次型而二次型而二次型yaccytt30303030线性代数线性代数 第五章第五章22

22、2221121),(nnnxdxdxdxxxf 正定正定 ), 1(0nidi 例例23231212322213214424),(xxxxxxxxxxxxf 0)2(2321 xxx所以是半负定所以是半负定.例例32221212),(xxxxf 是不定是不定.2、实二次型（实对称矩阵、实二次型（实对称矩阵a）正定的判别方法：）正定的判别方法：31313131线性代数线性代数 第五章第五章（1）、下列条件都是实二次型）、下列条件都是实二次型f(x1, x2, x n) = xtax 正定的充正定的充 分必要条件：分必要条件： 正惯性指数为正惯性指数为n.a的所有顺序主子式全大于零的所有顺序主子式

23、全大于零.a的特征值全大于零的特征值全大于零.a与单位矩阵与单位矩阵in合同合同.cciccactt ，使，使即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵存在正交矩阵存在正交矩阵q，使，使), 2 , 1, 0(211niaqqaqqint 32323232线性代数线性代数 第五章第五章例例4.422),(248455),(13221232221321323121232221321是是否否正正定定）（）（判判定定xxxxxxxxxxfxxxxxxxxxxxxf 解解 515a22-4-4-2-2它的顺序主子式为它的顺序主子式为, 05|1 a1225|2 a=1 0|3aa =1 0所以所以f正定正定.（1）

24、33333333线性代数线性代数 第五章第五章（2）3221232221321422),(xxxxxxxxxxf 3223212221422xxxxxxx 3223222214xxxxxx 2323222132xxxxx 令令 333222112xyxxyxxy经过这个非退化的线性变换，二次型化为经过这个非退化的线性变换，二次型化为2322213yyy 因此该二次型的正惯性指标为因此该二次型的正惯性指标为2，从而该二次型不是正定的从而该二次型不是正定的.34343434线性代数线性代数 第五章第五章例例5.3010112是是正正定定的的取取何何值值时时，实实对对称称矩矩阵阵 ttat解解, 0

25、2|1 a,0212|22 ttta0533010112|23 tttaa解不等式组解不等式组 0530222tt315315 t35353535线性代数线性代数 第五章第五章（2）、正定矩阵的性质：）、正定矩阵的性质：a是正定矩阵，若是正定矩阵，若a b，则，则b也是正定矩阵也是正定矩阵.a正定正定 |a| 0，即，即a可逆可逆.a正定正定 ka( k 0)，at，a1，a*也是正定矩阵也是正定矩阵.a正定正定 a的主对角线上的元素的主对角线上的元素a jj 0.), 2 , 1(021nidddddin 正定正定36363636线性代数线性代数 第五章第五章证明：证明：a正定正定 a*也是

26、正定矩阵也是正定矩阵.证证方法一方法一设设a的特征值为的特征值为), 1( , 0,21niain 正定可知，正定可知，由由且且|a| 0，并且并且a*的特征值为：的特征值为：,|,|,|21naaa 即即a*的全部特征值都大于零，的全部特征值都大于零， 所以所以a*也是正定矩阵也是正定矩阵.方法二方法二由由a正定知，正定知，|a| 0，且存在可逆矩阵，且存在可逆矩阵c，使，使,ccat 于是于是1| aaatcca)(|11 tcaca)|(|11 ppt 其中其中,)|(1 tcap 且且p为可逆矩阵，为可逆矩阵， 所以所以a*也是正定矩阵也是正定矩阵.37373737线性代数线性代数 第

27、五章第五章例例6设设a是是n阶正定矩阵，阶正定矩阵，i是是n阶单位矩阵，证明阶单位矩阵，证明|a+i|1.设设a的特征值为的特征值为), 1( , 0,21niain 正定可知，正定可知，由由证证则则a+i的特征值分别为的特征值分别为, 1, 1, 121 n ), 1( , 11nii 且有且有从而从而. 1)1()1)(1(|21 nia 也可证明也可证明a+i正定正定38383838线性代数线性代数 第五章第五章例例7. 035323正正定定证证明明：阶阶实实对对称称矩矩阵阵，且且为为设设aiaaana 证证, 0 xa特特征征向向量量为为的的任任一一特特征征值值，对对应应的的是是设设 , xax 即即代入已知等式，得代入已知等式，得 03533532323 xxiaaa 因为因为, 0 x故故 满足满足035323 得得i 211 ，或，或因为因为a为实对称矩阵，其特征值一定为实数，为实对称矩阵，其特征值一定为实数，故只有故只有 =1，即即a的全部特征值都大于零，的全部特征值都大