大地测量学基础(第3章地球重力场及地球型状的基本理论

1、1第三章第三章地球重力场及形状的基本理论地球重力场及形状的基本理论(续续2)1 1、大地水准面差距和垂线偏差、大地水准面差距和垂线偏差2 2、确定大地水准面的理论和方法、确定大地水准面的理论和方法3 3、重力归算、重力归算4 4、区域大地水准面精化、区域大地水准面精化5 5、地球形状的确定方法、地球形状的确定方法2 选择一个形状和大小都已知的质体选择一个形状和大小都已知的质体( (称：称：正常椭球正常椭球)，并要求满足，并要求满足如下条件（如下条件（物理特性物理特性），问题转化为：），问题转化为： 1 1）质量和地球相同；旋转角度）质量和地球相同；旋转角度值与地球相同值与地球相同; ; 2 2

2、）尽量不改变大地水准面形状；）尽量不改变大地水准面形状； 3 3）外部重力场尽量接近地球外部重力场；）外部重力场尽量接近地球外部重力场； 4 4）椭球表面是一个重力等位面（水准面），且恰好包裹全部地）椭球表面是一个重力等位面（水准面），且恰好包裹全部地球质量；球质量； 5 5）椭球的质心与地球质心重合）椭球的质心与地球质心重合一、一、大地水准面差距和垂线偏差大地水准面差距和垂线偏差0222222zvyvxvvv |s = v0lim v = 01 1、正常椭球、正常椭球lanplace 算子作用与地球外部重力场=03 补充说明：补充说明： 1 1、理论上除了确定其、理论上除了确定其mm和和值外

3、，其规则形状可以值外，其规则形状可以任意选择。但考虑到实际使用的方便，又顾及几何大地任意选择。但考虑到实际使用的方便，又顾及几何大地测量中采用旋转椭球的实际情况，目前都采用水准椭球测量中采用旋转椭球的实际情况，目前都采用水准椭球作为正常椭球。作为正常椭球。 2 2、对于正常椭球，除了确定其、对于正常椭球，除了确定其4 4个基本参数：个基本参数：a, ja, j，fmfm和和外，也要定位和定向。正常椭球的定位是使其外，也要定位和定向。正常椭球的定位是使其中心和地球质心重合，正常椭球的定向是使其短轴与地中心和地球质心重合，正常椭球的定向是使其短轴与地轴重合，起始子午面与起始天文子午面重合。轴重合，

4、起始子午面与起始天文子午面重合。 3 3、正常椭球面正常椭球面 是大地水准面的规则形状（一般指是大地水准面的规则形状（一般指旋转椭球面）。因此引入正常椭球后，地球重力位被分旋转椭球面）。因此引入正常椭球后，地球重力位被分成正常重力位和扰动位两部分，实际重力也被分成正常成正常重力位和扰动位两部分，实际重力也被分成正常重力和重力异常两部分。重力和重力异常两部分。一、一、大地水准面差距和垂线偏差大地水准面差距和垂线偏差4 2、正常椭球重力位、正常椭球重力位 将地球重力位展开为球谐级数，然后取前面几项作为正常重力位：当选取前3项时： 并假设：正常椭球是旋转椭球体；坐标系原点在地球质心；坐标轴为地球主惯

5、性轴；赤道上重力约等于 g m/a2:)sincos()(cos121201kknknnnnnkbkaparu222sin2)(cosrpkn一、一、大地水准面差距和垂线偏差大地水准面差距和垂线偏差5sin2)cos31 (31 22qrmfucos)2(1 2qar20(1sin)e2201(1sinsin2)e一、一、大地水准面差距和垂线偏差大地水准面差距和垂线偏差63、扰动位扰动位 大地水准面上一点大地水准面上一点p p的实际重力位的实际重力位 与与相应于点相应于点p p的正常重力位的正常重力位 u u 之差，称之为该点之差，称之为该点的扰动位的扰动位t t，用下式表示：，用下式表示：p

6、ppuwt由于在选择正常重由于在选择正常重力位时总是使地球力位时总是使地球离心力位对离心力位对、u u的的影响相同，因此扰影响相同，因此扰动位具有引力位的动位具有引力位的性质。性质。一、一、大地水准面差距和垂线偏差大地水准面差距和垂线偏差7nuwuwtppppp004 4、大地水准面差距大地水准面差距.00nnuuupepp.00nuupp由假定：wp = upo000ttnp布隆公式：布隆公式：将几何量将几何量n与与物理量物理量t联系起联系起来来一、一、大地水准面差距和垂线偏差大地水准面差距和垂线偏差85 5、垂线偏差垂线偏差 通过对np在子午圈方向和夘酉圈方向求导，球可以得出垂线偏差分量（

7、按弧度表示）：tntmpp00cos11m：子午圈半径；：子午圈半径；n：夘酉圈半径：夘酉圈半径一、一、大地水准面差距和垂线偏差大地水准面差距和垂线偏差96、 边值问题线性化边值问题线性化nunununwgpecos1pppppgnunwnt一、一、大地水准面差距和垂线偏差大地水准面差距和垂线偏差10 将将p p点正常重力展开为点正常重力展开为p0p0点的泰劳级数，并代入上式。点的泰劳级数，并代入上式。同时用球面进行近似：同时用球面进行近似：,22,32rrgmrrgmgtrrt2rn.00ppeppnnggntntpppeppp000一、一、大地水准面差距和垂线偏差大地水准面差距和垂线偏差1

8、1 如果令椭球的离心力位等于地球的离心力为，如果令椭球的离心力位等于地球的离心力为，则待解的则待解的t t 微分方程可以结算出来，因为它可以看微分方程可以结算出来，因为它可以看作是地球外部空间两个引力位之差，所以作是地球外部空间两个引力位之差，所以t t 是一个是一个调和函数，调和函数，t t 可以球谐级数展开可以球谐级数展开1、斯托克司（、斯托克司（stokes）解法）解法 如果我们通过如果我们通过重力归算重力归算，将大地水准面以外的，将大地水准面以外的地形质量去掉，边值条件变为：地形质量去掉，边值条件变为：gtrrtrr2|二、二、确定大地水准面的理论和方法确定大地水准面的理论和方法120

9、222222ztytxttnmmnmnmnnnpmsmcrargmrt0,20)(cos)sincos()(),(代入边值条件得“理论重力异常”的球谐表达式： 13 dgsrt)(41020)(41dadgsrn2( )csc()6sin1 5cos3cosln(sinsin)2222s 斯托克司积分公式斯托克司积分公式 若已知大地水准面上的重力异常，可通过若已知大地水准面上的重力异常，可通过stokesstokes积分求解地球外部扰动位积分求解地球外部扰动位t tdgsrn)(41或二、二、确定大地水准面的理论和方法确定大地水准面的理论和方法1400gg020cos)(21daadgq020

10、sin)(21daadgq2222cos3( )csc12sin32sin12sinln(sinsin)21 sinq2垂线偏差垂线偏差：维宁.曼尼兹公式： 此公式是在假定大地水准面之外没有扰动物质及此公式是在假定大地水准面之外没有扰动物质及全球重力异常全球重力异常都已知的情况下推导的。然而这两都已知的情况下推导的。然而这两个条件都还不能实现，所以重力方法至今也没有得到个条件都还不能实现，所以重力方法至今也没有得到独立的应用。独立的应用。二、二、确定大地水准面的理论和方法确定大地水准面的理论和方法15 2、molodensky方法方法 stokesstokes法假定正常椭球之外没有质量，所有观

11、测之法假定正常椭球之外没有质量，所有观测之必须在属于大地水准面上，而实际的大地测量工作都必须在属于大地水准面上，而实际的大地测量工作都是在地球自然表面上，这就意味着要知道大地水准面是在地球自然表面上，这就意味着要知道大地水准面之上的物质密度。为避免这种状况，之上的物质密度。为避免这种状况，molodenskymolodensky提出提出采用重力方法直接确定大地水准面的方法。采用重力方法直接确定大地水准面的方法。 lim v = 0gtrrt20222222ztytxtt二、二、确定大地水准面的理论和方法确定大地水准面的理论和方法16molodensky 公式公式 .210ttttdsgrt)(

12、410dlhhgrpg312注意注意：dsrtg)(4111)3086. 0(0hgggppp二、二、确定大地水准面的理论和方法确定大地水准面的理论和方法173、stokes与与molodensky关系关系 1 1） stokes stokes 要求大地水准面外部没有质量，这就需要将重要求大地水准面外部没有质量，这就需要将重力观测值归算到大地水准面上，从而需要对密度进行力观测值归算到大地水准面上，从而需要对密度进行假设。假设。 molodenskymolodensky避免了复杂的重力归算。避免了复杂的重力归算。2 2） molodenskymolodensky的零次解就是的零次解就是stoke

13、sstokes解；解； molodenskymolodensky的的一次解相当于一次解相当于stokesstokes解解+ +局部地形改正；局部地形改正；3 3） stokesstokes确定的是大地水准面，确定的是大地水准面， molodenskymolodensky确定的是确定的是大地水准面。和大地水准面。和 stokesstokes和和molodenskymolodensky对应的正高和正对应的正高和正常高。常高。 二、二、确定大地水准面的理论和方法确定大地水准面的理论和方法18 重力归算概述重力归算概述 在确定大地水准面形状的基本原理中，有两个前提，一是大地水准面外部必须没有质量；二是

14、所用的实测重力值g 应当是大地水准面上的数值g0。但事实上大地水准面外部有大陆存在，而观测也是在地面上进行的。monodensky也需要局部地形改正。 重力归化的三个主要目的： （1）求定大地水准面； （2）内插和外推重力值（需要先移去高频变化，然后再恢复）； （3）研究地壳状态。三、重力归算三、重力归算19三、重力归算三、重力归算重力归化包括以下步骤：重力归化包括以下步骤： 首先将大地水准面外部的地形质量全部去掉，或首先将大地水准面外部的地形质量全部去掉，或者移到大地水准面以下去，然后再将重力测量结果者移到大地水准面以下去，然后再将重力测量结果从地面降低到大地水准面上从地面降低到大地水准面上

15、。20 1空间改正 假设在图中，a 为地面上一点，a0 为大地水准面上相应的投影点，a点的高程为h，我们要将a点的重力加以改正归算到大地水准面上，求出a0 点的重力值。现求其改正数。hg3086. 01三、重力归算三、重力归算0100ggg空间重力空间重力异常异常21 2层间改正 将这两个平面间的质量去掉，这样引起的重力改正叫层间改正，记为 。由于质量层在重力观测点的下方，去掉它时重力的值必然减小，所以 总是为负的。两个平行平面间的质量层可被看作半径趋于无穷大的圆柱体，而此时的重力观测点可被当作位于圆柱体项面的中心，所以：g2g2hhfg1118. 02202100gggg布格重力异常布格重力

16、异常（不完全）（不完全）dzdrdzrzrggh 03222200222 3. 局部地形改正由于中间层的上表面并不是平面，而是曲面。进行由于中间层的上表面并不是平面，而是曲面。进行地形改正地形改正 ，就是要把地面凸起部分，就是要把地面凸起部分削去削去，把凹陷部，把凹陷部分分填平填平。 部分部分：它的引力指向上方，由于它的存在使：它的引力指向上方，由于它的存在使a a点点的重力减小了，去掉它必然使的重力减小了，去掉它必然使a a点的重力增大，所以点的重力增大，所以 取正值；取正值； 部分部分：该区域内本来没有质量，填进的质量在：该区域内本来没有质量，填进的质量在a a点点的引力指向下方，所以使的

17、引力指向下方，所以使a a点的重力增大，点的重力增大， 也取正值。也取正值。 g3g3g323将每一个小部分看作是两个四棱柱的差，可得：dzzyxzdydxgghxxyyi03222221213iigg33i24 2102/32221)(dzdrdghrrzrzr将每一个小部分看作是两个扇形柱的差，可得：iigg3325 4.布格重力异常（1）布格改正我们称 为完全的布格改正。（2）布格重力异常加入布格改正后计算的重力异常称为布格重力异常。即 5.法耶重力异常 （1）法耶改正我们称 为法耶改正。 （2）法耶重力异常称 为法耶重力异常。g2g1g3032100gggggg1g303100gggg

18、262728 如果大地水准面以上的质量是引起重力异常的主要原因，那么布格重力异常中去掉了大地水准面以上质量的影响，它应该很小，但实际情况恰恰相反，山区的布格重力异常一般都量级很大，而且是负的，这说明山区下面的质量有亏损。 垂线偏差的测量结果也表明类似的结论，真正的垂线偏差比看得见的地形质量引起的垂线偏差小得多这也只能用山区下面存在质量亏损来解释。 现在一般比较认可的是地壳均衡理论。29 1）普拉特海福特系统（均衡改正）bukan 这种补偿系统的概念由普拉特提出，后来由海福特引进数学公式，系统地应用于大地测量。如图所示：在大地水准面下方某一深度处存在一个补偿面，该面下方的密度是均匀的，上方的质量

19、在该面上产生的压强处处相等。30 用d表示由大地水准面到补偿面的距离，叫补偿深度，h表示地面到大地水准面的距离，即为海拔高程，大地水准面上方的地壳密度用表示，一般取2.67gcm3，大地水准面与补偿面之间地壳的密度用表示。若h=0，则大地水准面下方的质量无需补偿，。在大陆地区，设两个柱体和的底面积相等，则它们的质量也相等，所以由此可求得补偿密度为dhddh031在海洋地区，设海洋面与大地水准面重合，p为海洋深度，取海水密度为1.03gcm3，则这可由比较和两个柱体得到，并且可以解得补偿密度为)(03. 1pdpdpdp)03. 1(032 均衡改正就是补偿密度为0的物质对重力观测值的改正，因此

20、，其计算方法与地形改正相似。 只需将上式中的换成 0，将z的积分限由0到h换成h到hd。dzzyxzdydxggdhhxxyyi32222212104iigg440432100gggggg均衡重力异常均衡重力异常33 2） 爱黎海斯卡涅系统 这种系统由爱黎提出，海斯卡涅导出了实用于大地这种系统由爱黎提出，海斯卡涅导出了实用于大地测量的公式。其原理如图所示，测量的公式。其原理如图所示， 地球表层的密度是均地球表层的密度是均匀的，它浮在密度较大的底层上，底层密度为匀的，它浮在密度较大的底层上，底层密度为 1 1，一，一般取般取2.672.67g gcmcm3 3， 1 13.27 3.27 g g

21、cmcm3 3， t t为大陆为大陆地区海拔高程地区海拔高程h h等于零时表层的厚度，等于零时表层的厚度，高出大地水准面的大陆质量高出大地水准面的大陆质量由深于由深于t t的质量亏损得到补的质量亏损得到补偿，这相当于在山的下面有偿，这相当于在山的下面有一山根一样，山越高，山根一山根一样，山越高，山根越深。越深。34th)(1hht45. 41用用t表示表层低于表示表层低于t的深的深度，则在大陆地区有度，则在大陆地区有均衡改正计算：积分区域在均衡改正计算：积分区域在 - (h+t) 到到 -（h+tt）35-6000-5500-5000-4500-4000-3500-3000-2500-2000

22、-1500-1000-50005001000150020002500300035004000450050005500-200-180-160-140-120-100-80-60-40-20020406080100120140160180200220-650-600-550-500-450-400-350-300-250-200-150-100-50050100150-180-160-140-120-100-80-60-40-20020406080100120140160180200中国区域空间异常中国区域布格异常中国区域均衡异常中国区域地形图中国区域地形、异常图361、gps高程拟合法高程拟合

23、法 如果在测区中选择一定的如果在测区中选择一定的gpsgps点同时联测几何水准点同时联测几何水准测量，求出这些点的正常高测量，求出这些点的正常高h h，于是在这些点上便可求，于是在这些点上便可求出高程异常出高程异常: :代入下面数学拟合方程中用最小二乘求解：代入下面数学拟合方程中用最小二乘求解： hh yaxaa210 xyayaxaa321025243210yaxaxyayaxaa四、区域大地水准面精化四、区域大地水准面精化或或372 2、移去、移去- -恢复法确定恢复法确定“重力似大地水准面重力似大地水准面” 主要思路是：主要思路是：利用地球重力场模型将对大地水利用地球重力场模型将对大地水

24、准面中长波信息移去，利用重力归算将大地水准面准面中长波信息移去，利用重力归算将大地水准面的短波信息移去，再用剩余的重力异常（随机量）的短波信息移去，再用剩余的重力异常（随机量）进行拟合。提高剩余异常的光滑度，达到提高精度进行拟合。提高剩余异常的光滑度，达到提高精度的目的。的目的。 四、区域大地水准面精化四、区域大地水准面精化38 第一次移去第一次移去- -恢复：计算出基础格网地面恢复：计算出基础格网地面平均空间异常：平均空间异常： 通过重力归算将重力观测值归算到大地通过重力归算将重力观测值归算到大地水准面上；水准面上； 移去正常重力值，获得高精度的移去正常重力值，获得高精度的“地形地形均衡异常

25、均衡异常”； 拟合出区域拟合出区域“地形均衡异常地形均衡异常” 的关系式；的关系式； 通过推估内插、形成平均通过推估内插、形成平均“地形均衡异地形均衡异常常”格网基础数据；格网基础数据； 再再 利用高分辨率利用高分辨率demdem，按重力归算的逆，按重力归算的逆过程分别减去：层间改正、局部地形改过程分别减去：层间改正、局部地形改正、均衡改正；恢复每个格网点的地面正、均衡改正；恢复每个格网点的地面平均平均“空间异常空间异常”。四、区域大地水准面精化四、区域大地水准面精化39 第二次移去第二次移去- -恢复；计算出重力高程异常和恢复；计算出重力高程异常和重力似大地面：重力似大地面： 利用地球重力场

26、模型，由位系数计算出地利用地球重力场模型，由位系数计算出地面格网相同分辨率的面格网相同分辨率的模型空间异常；模型空间异常； 将将地面空间异常地面空间异常减去减去模型空间异常模型空间异常得到格得到格网网残差空间异常残差空间异常； 在残差空间异常中加上在残差空间异常中加上局部地形改正局部地形改正得到得到残差法耶异常残差法耶异常； 采用采用molodenskymolodensky积分公式对积分公式对残差法耶异常残差法耶异常进行积分计算，求取每个每个格网中点的进行积分计算，求取每个每个格网中点的残差高程异常。残差高程异常。 然后利用位系数，由然后利用位系数，由fftfft技术计算技术计算模型高模型高程

27、异常，程异常，并加上并加上残差高程异常残差高程异常得到重力似得到重力似大地水准面大地水准面四、区域大地水准面精化四、区域大地水准面精化403、组合法、组合法-区域大地水准面精化区域大地水准面精化 gps gps拟合法确定大地水准面精度高，但难以拟合法确定大地水准面精度高，但难以表征长波效应，分辨率较低。重力法确定大地表征长波效应，分辨率较低。重力法确定大地水准面具有较高的分辨率，但精度较低（一般水准面具有较高的分辨率，但精度较低（一般为分米级）。为分米级）。 组合法结合两者的优点：组合法结合两者的优点： 首先采用移去首先采用移去- -恢复法确定重力似大地水面，恢复法确定重力似大地水面，然后利用

28、然后利用gpsgps实测高程异常对重力似大地水准面实测高程异常对重力似大地水准面进行纠正。进行纠正。四、区域大地水准面精化四、区域大地水准面精化41组合法组合法- -区域大地水准面精化区域大地水准面精化- -步骤：步骤： 由观测值和相应水准观测值的计算由观测值和相应水准观测值的计算实测高程异常：实测高程异常： 内插观测点上重力似大地水准面的内插观测点上重力似大地水准面的重力高程异常：重力高程异常：； 求观测点上，求观测点上，重力高程异常重力高程异常与与实测实测高程异常高程异常之差值，并组成不符值序列；之差值，并组成不符值序列； 由不符值序列和各观测点的球面坐标组成由不符值序列和各观测点的球面坐

29、标组成多项式观测方程多项式观测方程； 按最小二乘法求解多项式系数；按最小二乘法求解多项式系数； 由拟合的多项式和格网中心坐标，对由拟合的多项式和格网中心坐标，对重力重力似大地水准面似大地水准面进行纠正。进行纠正。四、区域大地水准面精化四、区域大地水准面精化424、利用最小二乘配置法研究大地水准面利用最小二乘配置法研究大地水准面0)( lxfell01nslax)(xfll0nbslax0000000000011lxksnaabibcicttsn)()()()()()()()(11111111111xalcccnxalccbcsxalccklccaaccaxsnnsntssnsntsnt四、区域

30、大地水准面精化四、区域大地水准面精化43 5、卫星无线电测高方法研究大地水准面卫星无线电测高方法研究大地水准面0rrh四、区域大地水准面精化四、区域大地水准面精化44 总的地球椭球：总的地球椭球： 从几何和物理两个方面来研究全球性问题，从几何和物理两个方面来研究全球性问题，我们可把我们可把总地球椭球总地球椭球定义为最密合于大地体的定义为最密合于大地体的正常椭球。正常椭球。 总地球椭球中心和地球质心重合，总的地球总地球椭球中心和地球质心重合，总的地球椭球的短轴与地球地轴相重合，起始大地子午椭球的短轴与地球地轴相重合，起始大地子午面和起始天文子午面重合。面和起始天文子午面重合。 正常椭球参数是根据天文大地测量，重力测正常椭球参数是根据天文大地测量，重力测量及人卫观测资料一起处理确定的，并由国际量及人卫观测资料一起处理确定的，并由国际组织发布。组织发布。五五 地球形状的测定方法地球形状的测定方法451、天文大地测量方法天文大地测量方法 弧线法弧线法面积法面积法 现代推求新的椭球元素是在原有旧的椭球元素基础现代推求新的椭球元素是在原有旧的椭球元素基础上，综合利用天文、