积分中值定理改进及应用

1、 本科毕业论文（设计）模板本科学年论文论文题目： 积分中值定理的改进及应用 学生姓名： 张莉宁 学 号： 1204180130 专业名称： 信息与计算科学 班 级： 计科1201 指导教师： 崔喜宁 完成日期：2015年6月25日积分中值定理的改进及应用摘要积分中值定理是积分学中基本定理。本文对积分第一、二中值定理给出了相应的证明，并给出了定积分第一中值定理改进形式的一些应用，从而在一定程度上推广和改进了积分中值定理的某些已有的结果。关键词：定积分第一、二中值定理 改进 证明The improvement and application of Integral mean value theor

2、em AbstractThe intergral value theorem is basic theorem in intergral calculus.In this paper,we give the corresponding proof for the first of the intergrals and the two theorens.Some application of the first value theorem for definite intergral is given.To promote to a certain extent and improve the

3、intergral mean theorem in some existing results.Key Words：A second value theorem for definite intergrals Improve prove目录序言5一、积分第一中值定理5二定积分第一中值定理的改进形式7三、积分第二中值定理10四定积分第一中值定理的改进形式的应用12(一)利用改进后积分中值定理求极限12(二)利用改进后积分中值定理进行相应的证明13五、积分第二中值定理的应用14（一）第二定理的直接应用14（二）积分第二中值定理在不等式中的应用15六、在力学方面的应用15（一）求平均速度15（二）求

4、对空间累计的平均作用力16七 总结16参考文献17序言积分中值定理是积分学中的基本定理，现行教材中所给中值定理中的取值于积分中值定理的应用带来很大的不便，改进后的积分中值定理取值于开区间，这为积分中值定理的应用带来很大的空间。一、积分第一中值定理定理 若函数在闭区间上连续，则在上至少存在一点使得1评述定理的几何意义如图所示：由函数在区间上所形成的曲边梯形的面积，等于以为底、高为的矩形的面积（图）证明由闭区间上连续函数的最大最小值定理知函数在上取到最大值（设为）和最小值（设为）于是对于有(1)(1)中的三部分都是可积的，在上进行积分，利用定积分对于被积函数的单调性，可得(2)(2)式的几何意义如

5、图所示（图）由(2)式可得 于是，由介值定理可知在上至少存在一点使得，于是我们得到定理 若函数在闭区间连续，函数在可积且不变号，则在上至少存在一点使得1评述定理明显是定理当时的特殊情况如果先叙述定理，则定理可作为定理的推论，就不必单独证明了然而先易后难符合人们的认识规律，而且，在许多情况下应用的就是定理的形式，所以，先叙述定理，再叙述定理，比较自然证明不妨设对于有设函数在上取到最大值和最小值，则对于有， (3) 及 (4)(3)式中的三部分都是可积的，分别在上积分，由定积分对于被积函数的单调性可得 (5) 由知有如果，则由式知也有，从而都使成立；因而以下只需考虑的情况在的情况下，(5)式可改写

6、为 (6) 于是，由介值定理，在上至少存在一点使得 ， 由此可得 (7)二、定积分第一中值定理的改进形式定理 若函数在闭区间连续，则在开区间内至少存在一点使得1评述定理与定理的区别仅在于点的位置开区间是闭区间的子集，因而定理的结论比定理的结论强为了证明定理，只需在定理的基础上证明点一定可以不取为区间的端点证明如果函数在区间上恒为一常数，则命题明显成立，因为可取为开区间内任意一点于是以下只需考虑在区间上不恒为常数的情形在不恒为常数的情况下，若上面定理的结论中的点取作了区间的端点，例如，由定积分的几何意义，既不应该是在区间上的最大值，也不应该是在区间上的最小值于是，在等式成立的情况下，必及使，其中

7、与与上文一样分别是在区间的最小值与最大值，如图或图所示（图）（图）于是，由介值定理，在点与点之间上至少存在一点使得，点既不与点重合，也不与点重合，于是点既不是点，也不是点，因而，而且可以类似地处理的情况定理 若函数在闭区间连续，函数在可积且不变号，则在开区间内至少存在一点使得1证明仍不妨设对于有，于是还是只需对于的情况证明定理结论中的点一定可以不取为区间的端点以下分为两种情况第一种情况：(6)式中的点满足条件，其中与和上文一样分别是在区间上的最小值与最大值，如图所示在图示的情况下可以把定理结论中的点取为点在这种情况下，虽然现在的被积函数与定理的被积函数不同，但是点还是仅由函数在该点取值，这与定

8、理的证明中处理过的情况是类似的，还是可以不把点取为点而取到如果遇到可以把点取为点的情况，同样的思路告诉我们也可以不把点取为点，而取到因而在此种情况下命题成立（图）第二种情况：(6)式中的点满足条件或，与和上文一样分别是在区间上的最小值与最大值，不妨设注：在即定理的情况下，如果不恒为一常数，的情况是不会发生的，如定理的证明所述但是在与都不恒为常数的情况下，(6)式没有当时那样明显的几何意义，或是可能的 我们来证明，在这种情况下，点也可以不取为区间的端点，而取为开区间内的某一点用反证法，假设点不可以取为开区间内的某一点，我们来推出矛盾如果点不能取为开区间内的某一点,则对于都有，这时由式可得，(8)

9、注意这里被积函数中的两个因子与都是非负的取两个严格单调的数列和，使当时有和由可积函数的变上限积分及变下限积分对于上、下限的连续性，易知而，于是由极限的保号性知存在自然数使得只要就有我们来看按前面所设，在上恒取正值且连续，故使得，从而对于有(9)把(7)式和(8)式结合起来，可以得到下面的出现了矛盾的不等式：此矛盾说明，(6)式中的点不可能不可以取为开区间内的某一点对于(6)式中的点使的情况可以类似地讨论三、积分第二中值定理定理5 设函数在上可积，在上单调且在上连续，那么存在一点，使得在上可积1 . (1)证 假设在上单调减少且非负，将区间分成几部分，即而,记则:,由于在上单调减少且非负,即而,

10、根据阿贝尔引理有:,当时,有即:,所以，当时有:（时成立的）,而当时也成立.由介值定理知连续函数在上某点处取得上、下确界之间的中间值即： (2) 令,由于单调减少,则单调减少且非负,由得：,即 如果在处不一定连续,则公式可改写为:.如果在上具有连续导数,在上连续则上述定理可用一个较简单的方法证明,在证明过程中主要使用分部积分法和积分第一中值定理.证 由于在上连续,则为其原函数,现对使用分部积分,其中令,对使用积分第一中值定理所以.四定积分第一中值定理的改进形式的应用 (一)利用改进后积分中值定理求极限 例1 求：解：由定理3，故= 例2 求： 解一：由定理3，= sin （ 0,1），故 =

11、解二：因为，在0,1上是连续的 ，且在0,1 上不改变符号 由定理4，一定存在一个使： 因此有=0 例 3 求 dy 解：，则 在不变，则由定理4，一定存在使：则(二)利用改进后积分中值定理进行相应的证明例4 求极限解： 由于 在x在 上连续，所以由定理3可知，在上至少存在一点点，使得： 因此有：评注：按原来的中值定理是不能像这样解的。因此不能排除，即的情况。例 5 证明 证明： 而 于是： ，因为时，所以 则评注：按原来定理，只能得到“=0”例6 设实数满足条件， 求证方程在内至少有一实根2证明：设，则由定理3 立即可知使得例 7 设在上不恒为，且其导函数连续，并有试证明：存在点，使得证明：

12、（使用改进了的定积分第一中值定理）由及在上不恒为，可知在上不恒为常数，在上不恒为，因而，如果，则命题明显成立下面考虑的情形由定理改进了的定积分第一中值定理、和Lagrange中值公式可知，使得,其中于是可得五、积分第二中值定理的应用（一）第二定理的直接应用例8 若在上可积,在上单调递增且非负,在上连续,则存在,使.证 令，因为非负且单调递减利用公式有:.而由即.（二）积分第二中值定理在不等式中的应用例9 证明时.证 取,由积分中值定理及其推广可得:六、在力学方面的应用 （一）求平均速度例10 设速度函数在时间区间内连续，根据定理1，由 3 由力学知识知，物体位移，则 即就是物体的平均速度例11

13、 当物体做均匀变速直线运动时，即 （a=恒量）时内的平均速度： ,而所以这个结果说明，只有当速度函数对时间均匀变化时，平均速度等于内始、末速度的算术平均值。（二）求对空间累计的平均作用力例12 设力在位置区间内连续，根据积分中值定理，有 与相对位置的作用力为 当与位置坐标x无确定函数关系时，利用动能定理4 可得当与变量x由确定的函数关系时，可直接求出平均作用力。例13 弹簧振子的作用力为，那么振子所受的平均作用力是： 计算即F与x有线性关系时，平均作用力等于质点始、末位置所受力的算术平均值。七 总结我们知道积分中值定理是数学分析中的主要定理之一,同时也是定积分的一个主要性质,它建立了积分和被积函数之间的关系,从而使我们可以通过被积函数的性质来研究部分的性质,.主要使用积分中值定理在应用中的作用是可以去掉积分号,从而使问题简单化.因此,对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式,或者要证的结论中含有定积分,或者所求的极限式中含有定积分时,一般应考虑使用积分中值定理,去掉积分号.在使用该定理时,