运筹学 CH7存储论

1、存储论的基本概念存储论的基本概念确定性存储模型确定性存储模型存储模型的存储模型的ExcelExcel解法解法Page 2水电站在雨季到来之前，水库应蓄水多少？蓄水太少，遇上旱季，将影响水电站运行及农田灌溉；蓄水太多，遇上洪水，将影响水坝及领域环境安全。工厂原材料供应量应为多少？供应太少或供应不及时，不足以满足生产需要，将使生产过程中断；供应太多，超过了生产的需要，造成资金积压和资源的浪费。Page 3商店商品供应量为多少合适？供应太少或不及时，以致商品脱销，影响销售利润和竞争能力；供应太多，将影响资金周转并带来积压商品的有形或无形损失。矛盾：矛盾：供应量和需求量之间的矛盾；供应时间和需求时间之

2、间的矛盾。Page 4 存储是缓解供应与需求之间出现的供不应求或供过于求等不存储是缓解供应与需求之间出现的供不应求或供过于求等不协调情况的必要和有效的方法措施。协调情况的必要和有效的方法措施。存储输入(供应)输出(需求)存储的费用在企业经营的成本中占据非常大的部分。存储的费用在企业经营的成本中占据非常大的部分。存储论主要解决存储策略的存储论主要解决存储策略的两个问题两个问题： 1 1 补充存储物资时，每次补充数量是多少？补充存储物资时，每次补充数量是多少？ 2 2 应该间隔多长时间来补充这些存储物资？应该间隔多长时间来补充这些存储物资？ 模型中需求率、生产率等一些数据皆为确定的数值时，模型中需

3、求率、生产率等一些数据皆为确定的数值时，称之为确定性存储摸型；模型中含有随机变量的称之为随机称之为确定性存储摸型；模型中含有随机变量的称之为随机性存储模型。性存储模型。Page 5益民食品批发部为附近益民食品批发部为附近200200多家食品零售店提供多家食品零售店提供某品牌方便面的货源。为了满足顾客的需求，批发某品牌方便面的货源。为了满足顾客的需求，批发部几乎每月进一次货并存入仓库，当发现货物快售部几乎每月进一次货并存入仓库，当发现货物快售完时，及时调整进货。如此每年需花费在存储和订完时，及时调整进货。如此每年需花费在存储和订货的费用约货的费用约3700037000元。元。负责人考虑如何使这笔

4、费用下降，达到最好的负责人考虑如何使这笔费用下降，达到最好的运营效果？运营效果？Page 6 益民食品批发部收集到以下益民食品批发部收集到以下数据：数据：需求量：需求量： 3000(3000(箱箱/ /周周) ) ；已知单位存储费（包含占用资金利息已知单位存储费（包含占用资金利息 12 12 ，仓库，保险，损耗仓库，保险，损耗, ,管理费用管理费用 8 8 ，合计，合计 20 20 ，每箱费用每箱费用 30 30 元）：元）： c c1 1 303020 20 6 6 元箱元箱又知每次订货费（包含手续费、电话费、交通又知每次订货费（包含手续费、电话费、交通费费 13 13 元，采购人员劳务费元

5、，采购人员劳务费 12 12 元）：元）： c c3 3 25 25 元次元次Page 7主要参数：主要参数：单位存储费：单位存储费：c1 每次订购费：每次订购费： c3订货量订货量 ： Q Q各参量之间的关系：各参量之间的关系：订货量订货量Q Q 单位存储费单位存储费 c c1 1 每次订购费每次订购费 c c3 3 越小越小 产生的费用越小产生的费用越小 产生的费用越大产生的费用越大 越大越大 产生的费用越大产生的费用越大 产生的费用越小产生的费用越小Page 8每年花费在存储和订货的总费用与订货量和订货次数每年花费在存储和订货的总费用与订货量和订货次数相关。全年的订货次数又与每次订货之间

6、的间隔时间有关。相关。全年的订货次数又与每次订货之间的间隔时间有关。因此，问题转化成多长时间内定多少量的货物，使得因此，问题转化成多长时间内定多少量的货物，使得总费用最低。总费用最低。Page 9假设：假设：n需求（即单位时间从存储中取走物资的数量）是连续的，需求（即单位时间从存储中取走物资的数量）是连续的，均匀的；均匀的；n当存储降为零时，可以立即得到补充并且所要补充的数量当存储降为零时，可以立即得到补充并且所要补充的数量全部同时到位（生产时间为零）（注：生产时间根短时，全部同时到位（生产时间为零）（注：生产时间根短时，可以把生产时间近似地看成零）；可以把生产时间近似地看成零）；n不允许缺货

7、。不允许缺货。Page 10存储量与时间的关系：存储量与时间的关系：QQ/20TTT123时间时间存储量存储量订货：订货：订货量订货量Q Q订货：订货：订货量订货量Q Q时间间隔时间间隔t tPage 11公式：年存储费平均存储量年单位存储费 Qc1/2年订货费年订货次数一次订货费 Dc3/Q年总费用（ TC ）年存储费年订货费 TC Qc1/2 Dc3/Q求 TC 的最小值：对 Q 求导数并令其为零，得到最优存储量：( Economic Ordering Quantity, EOQ ) Q*=(2 Dc3/c1)1/2 年存储费年订货费 (Qc1c3/2)1/2 订货间隔时间 T0=365(

8、天) 订货次数 (D/Q)Page 12数据：需求量近似常数数据：需求量近似常数 3000(3000(箱箱/ /周周) ) 单位存储费单位存储费（包含占用资金利息（包含占用资金利息 12 12 ，仓库，保险，损耗，仓库，保险，损耗, ,管理费用管理费用 8 8 ，合计存储率合计存储率 20 20 ，每箱费用，每箱费用 30 30 元）元） c c1 1 303020 20 6 6 元年元年 箱箱 订货费订货费（手续费、电话费、交通费（手续费、电话费、交通费 ，采购人员劳务费，采购人员劳务费 ） c c3 3 25 25 元元/ /次次解：利用上述公式，可求得解：利用上述公式，可求得 最优存储量

9、最优存储量 Q Q* *=(2 Dc=(2 Dc3 3/c/c1 1) )1/21/2=1140.18(=1140.18(箱箱) ) 年存储费年存储费年订货费年订货费 ( (QcQc1 1c c3 3/2)/2)1/21/2 3420.53(3420.53(元元) ) 订货间隔时间订货间隔时间 T T0 0=365Q=365Q* *D = 2.668(D = 2.668(天天) ) 总费用总费用 TC=3420.53+3420.53 = 6841.06(TC=3420.53+3420.53 = 6841.06(元元) )Page 13例题结论的实际操作1、进货间隔时间 2.67 天（无法操作）

10、延长为 3 天，于是每次订货量变为 Q=D/365=3000523/365 1282 箱；2、为保证供应决定多存储 200 箱，于是第 1 次进货为 1282 200 1482 箱，以后每次 1282 箱；3、若需提前 1 （或 2 ）天订货，则应在剩下货物量为 D/365=300052/365=427 箱（或 854 箱）时就订货，这称为再订货点。于是实际总费用为 TC Qc1/2 Dc3/Q 200c1 8088.12 元Page 14存储系统：存储系统： 是一个由供应、存储、需求三个环节紧密构成的现是一个由供应、存储、需求三个环节紧密构成的现实运行系统。实运行系统。 需求需求: : 由于

11、需求，从存储中取出一定的数量，使存储量减少，由于需求，从存储中取出一定的数量，使存储量减少，这是存储的这是存储的输出输出。需求类型：需求类型：间断的间断的, , 连续的连续的; ; 确定性的确定性的, , 随机性的。随机性的。Page 15QTWS间断需求间断需求QTWS连续需求连续需求Page 16补充补充(订货和生产订货和生产)： 由需求存货减少，必须加以补充，这是存储的输入。由需求存货减少，必须加以补充，这是存储的输入。 拖后时间拖后时间(订货时间订货时间): 补充存储的时间或备货时间。补充存储的时间或备货时间。订货时间：订货时间： 可长，可短；可长，可短； 确定性的确定性的, 随机性的

12、。随机性的。Page 17存储费用：存储费用：存储费：存储费： C1订货费订货费: 订购费用订购费用(固定费用固定费用) C3 , 进货成本进货成本(可变费用可变费用) KQ. (k为货物单价，为货物单价，Q为货物数量）为货物数量）生产费生产费: (与订货费相似与订货费相似)缺货费缺货费: C2 ( 缺货损失缺货损失)需求速度：需求速度： R定货时间间隔：定货时间间隔： t总平均费用：总平均费用： C(t)Page 18存储策略：存储策略：决定多少时间补充一次以及每次补充数量决定多少时间补充一次以及每次补充数量的策略。的策略。存储策略的类型：存储策略的类型：t0 -循环策略循环策略: 每隔每隔

13、 t0补充固定存储量补充固定存储量 Q。(s, S )策略策略: 当存量当存量 x s 时不补充时不补充, 当存量当存量 x s 时不补充时不补充, 当存量当存量 x = s 时时, 补充量补充量 Q = S - x。将存储量补充到。将存储量补充到S。S称为订货点称为订货点（安全存储量）（安全存储量）最优存储策略：最优存储策略：总平均费用最少的策略。总平均费用最少的策略。Page 19模型模型1：不允许缺货，生产时间很短。不允许缺货，生产时间很短。模型模型2：不允许缺货、生产需一定时间（非即时补不允许缺货、生产需一定时间（非即时补充的经充的经 济批量模型）。济批量模型）。模型模型3：允许缺货允

14、许缺货(缺货需补足缺货需补足)，生产时间很短。，生产时间很短。模型模型4: 允许缺货允许缺货(缺货需补足缺货需补足)，生产需要一定时，生产需要一定时间。间。Page 20 模型模型1: 不允许缺货，不允许缺货， 生产时间很短生产时间很短 ）Page 21假设：假设：缺货费用无穷大；缺货费用无穷大；当存储降至零时，可以得到立即补充；当存储降至零时，可以得到立即补充；需求是连续的、均匀的；需求是连续的、均匀的；每次订货量不变，订购费用不变（每次生产量不每次订货量不变，订购费用不变（每次生产量不变，装配费不变）；变，装配费不变）；单位存储费不变。单位存储费不变。Page 22平均平均存储量存储量QQ

15、2 t0接收接收订货订货存储消耗存储消耗 (需求率为需求率为)存存储储状状态态图图tt0 -循环策略循环策略Page 23假定每隔假定每隔t t时间补充一次存储时间补充一次存储 R R：单位时间的需求量：单位时间的需求量 R Rt t： t t时间内的总需求量时间内的总需求量 Q = RQ = Rt t： 订货量订货量订货费订货费CC3 3 ： 订购费，订购费，K K： 货物单价货物单价订货费为订货费为: C: C3 3 + KRt+ KRtPage 24存储费存储费平均存储量平均存储量 : Rt/2: Rt/2单位时间内单位存储物存储费单位时间内单位存储物存储费: C: C1 1t t时间内

16、存储费时间内存储费: C: C1 1t t（Rt/2Rt/2）t t时间内平均总费用：时间内平均总费用：RtCKRtCtC1321)(订货费为订货费为: C3 + KRtPage 25n求极小值求极小值021)(123RCtCdttdCRCCt130213002CRCRtQn最佳订货间隔最佳订货间隔n最佳订货批量最佳订货批量Page 26n最佳费用最佳费用 RCCRCCRCCRCCtC31131313022212)(RCCtRtCtCtC130132 21)(经济订购批量经济订购批量Q与与K无关，有无关，有时可省略。时可省略。(+KR)n费用曲线费用曲线最佳生产批量 例例1 :某厂按合同每年需

17、提供某厂按合同每年需提供 D 个产品，个产品，不许缺货。假设每一周期工厂需装配费不许缺货。假设每一周期工厂需装配费 C3 元。存储费每年每单位产品为元。存储费每年每单位产品为 C1 元，元，问全年应分几批供货才能使装配费、存问全年应分几批供货才能使装配费、存储费两者之和最少。储费两者之和最少。最佳生产批量解解: 设全年分设全年分 n 批供货，每批生产量批供货，每批生产量 QDn，周期为，周期为 1/n 年年(即每隔即每隔 1/n 年供年供货一次货一次)。 每个周期内平均存储量为每个周期内平均存储量为(1/2)Q， 每个周期内的平均存储费用为每个周期内的平均存储费用为 2 12111nQCnQC

18、最佳生产批量全年所需存储费用全年所需存储费用 全年所需装配费用全年所需装配费用 2 211QCnnQCQDCn33 C最佳生产批量全年总费用全年总费用(以年为单位的平均费用以年为单位的平均费用)，为求出为求出 C()的最小值，把看作连续的变量的最小值，把看作连续的变量QDCC31 2Q C(Q)130231231 20210 CDCQQDCCQDCCdQdC(Q)最佳生产批量最佳批次最佳批次最佳周期最佳周期 2 31CDCQDn00 2 13DCCt0平均平均存储量存储量QQ2 t0接收接收订货订货存储消耗存储消耗 (需求率为需求率为)存存储储状状态态图图即时补充的即时补充的 经济批量模型经济

19、批量模型非即时补充的非即时补充的 经济批量模型经济批量模型t存储量存储量tt0模型模型2: 不允许缺货、生产需一定时间不允许缺货、生产需一定时间 （非即时补充的（非即时补充的 货物并非一次运到；货物并非一次运到； 通过内部生产来实现补充；通过内部生产来实现补充；非即时补充的 经济批量模型假设假设缺货费用无穷大；缺货费用无穷大；不能得到立即补充，生产需一定时间；不能得到立即补充，生产需一定时间；需求是连续的、均匀的；需求是连续的、均匀的；每次订货量不变，订购费用不变（每次每次订货量不变，订购费用不变（每次生产量不变，装配费不变）；生产量不变，装配费不变）；单位存储费不变。单位存储费不变。非即时补

20、充的 经济批量模型天数天数存储量存储量非即时补充的 经济批量模型天数天数存储量存储量非即时补充的 经济批量模型天数天数存储量存储量tt非即时补充的 经济批量模型假设：假设：Q - Q - 生产批量生产批量 T - T - 生产时间生产时间P = Q/T - P = Q/T - 生产速度生产速度 R - R - 需求速度需求速度 (R P)(R P)P - R - P - R - 存储速度存储速度( (生产时，同时也在消耗生产时，同时也在消耗) )非即时补充的 经济批量模型天数天数存储量存储量tt斜率 = -R斜率 = P-R非即时补充的 经济批量模型天数天数存储量存储量tt斜率斜率 = -R决

21、策变量决策变量: : 和（或）和（或）Q Q 在在0,t0,t区间内区间内 生产量：生产量：Q = PTQ = PT即即 PT = RtPT = Rt，所以所以 斜率斜率 = P-R图图 135天数天数存储量存储量tt斜率斜率 = -R存储状态存储状态: : 每一期的存储量每一期的存储量: :每一期的存储费每一期的存储费: :斜率斜率 = P-Rt t T T, ,T T) )- -R R( (- -R R) )T T- -( (P PT T 0 0, ,R R) )- -( (P P I I( () )R R) )T Tt t- -( (P P2 21 1I I( () )d dt t0 0

22、R R) )T Tt t- -( (P PC C2 21 11 1图图 135天数天数存储量存储量tt斜率 = -R斜率 = P-R生产费生产费( (订货费订货费) )：不考虑变动费不考虑变动费: C: C3 3 单位时间总平均费用单位时间总平均费用 图图 135天数天数存储量存储量tt斜率 = -R斜率 = P-R生产费生产费( (订货费订货费) )：不考虑变动费不考虑变动费: C: C3 3 单位时间总平均费用单位时间总平均费用 t tC CP PR Rt tR R) )( (P PC C2 21 1t tC CR R) )T T( (P PC C2 21 1) )C CR R) )T T

23、t t( (P PC C2 21 1( (t t1 1C C( (t t) )3 31 13 31 13 31 1 最佳周期 最佳批量 0)(21)(231tCRPRCPdttdC)(2130RPRCPCtR)R)(P(PC CRPRP2C2CRtRtQ Q1 13 30 00 0最佳费用最佳生产时间 库存的最高量P PR)R)(P(PR RC C2C2C) )C(tC(t3 31 10 0R R) )P P( (P PC CR R2 2C CP PR Rt tT T1 13 30 00 0P PC CR R) )R R( (P P2 2C CR RT TQ QS S1 13 30 00 00

24、 0P PR)R)(P(PR RC C2C2C) )C(tC(t3 31 10 0当当与模型与模型1比较，多一个因子：比较，多一个因子：RCCtC3102)(RCCt1302)(2130RPRCPCt例例3：某厂每月需甲产品：某厂每月需甲产品100件，每月生产率为件，每月生产率为500 件，每批装配费用为件，每批装配费用为5元，每月每件产品存元，每月每件产品存储费用为储费用为0.4元，求元，求E.O.Q及最低费用。及最低费用。解：解：P = 500, R = 100, C3 = 5, C1 = 0.45 56 61 10 00 0) )( (5 50 00 00 0. .4 45 50 00

25、01 10 00 05 52 2Q Q0 01 17 7. .8 89 95 50 00 01 10 00 0) )( (5 50 00 01 10 00 05 50 0. .4 42 2) )C C( (t t0 0R R) )( (P PC CR RP P2 2C CQ Q1 13 30 0P PR)R)(P(PR RC C2C2C) )C(tC(t3 31 10 0例例4：某商店经售甲商品，成本单价某商店经售甲商品，成本单价500元。年存储费用为成本的元。年存储费用为成本的20%，年，年需求量需求量365件，需求速度为常数甲商件，需求速度为常数甲商品的定购费为品的定购费为20元，提前期为

26、十天，元，提前期为十天，求求 E.O.Q及最低费用。及最低费用。图图 136天数天数存储量存储量t1ttt1图图 136天数天数存储量存储量t1ttt1解：解：此例应与模型一相同，只需在此例应与模型一相同，只需在存储降至零时提前十天订货即可保存储降至零时提前十天订货即可保证需求。证需求。 由于提前期为由于提前期为1010天，天，1010天内的需求为天内的需求为1010单位甲商品，因此单位甲商品，因此只要当存储降至只要当存储降至1010就要订货。一般就要订货。一般设设 t t1 1为提前期，为提前期，R R为需求速度，当为需求速度，当存储降至存储降至 L = RtL = Rt1 1 时订货时订货

27、 L L称为称为“ 订 购 点订 购 点 ” ( ( 或 称 订 货 点或 称 订 货 点 ) )模型模型3: 允许缺货允许缺货(缺货需补足缺货需补足)，生产，生产时间很短。时间很短。 把缺货损失定量化；把缺货损失定量化； 企业在存储降至零后，还可以再等一段时间企业在存储降至零后，还可以再等一段时间然后订货这就意味着企业可以少付几次订贷然后订货这就意味着企业可以少付几次订贷的固定费用，少支付一些存储用；的固定费用，少支付一些存储用； 本模型的假设条件除允许缺贷外，本模型的假设条件除允许缺贷外， 其余条件其余条件皆与模型一相同皆与模型一相同假设假设允许缺货；允许缺货；立即补充定货，生产时间很短；

28、需求是连续的、均匀的；每次订货量不变，订购费用不变（每次生产量不变，装配费不变）；单位存储费不变。图图 137天数天数存储量存储量图图 137天数天数存储量存储量图图 137天数天数存储量存储量t1tt1t假设：假设：C C1 1 单位存储费用单位存储费用 （单位时间单位存储物）（单位时间单位存储物）C C2 2 - -单位缺货费单位缺货费C C3 3 - - 每次订购费用每次订购费用R - R - 需求速度需求速度S S - - 最初存储量最初存储量天数天数存储量存储量t1tt1tSR(t-t1)S =Rt1图图 137天数天数存储量存储量t1tt1tSR(t-t1)S =Rt1决策变量:

29、S 和 t存储费t时间平均储量: t时间的存储费: 天数天数存储量存储量t1tt1tSR(t-t1)S =Rt1决策变量: S 和 t存储费t时间平均储量: t时间的存储费: ）因RStRSCStC12111( 2121S21图图 137天数天数存储量存储量t1tt1tSR(t-t1)S =Rt1缺货费平均缺货量:t时间内的缺货费)(211ttRRSRtCttttRC22112)(21)(21图图 137天数天数存储量存储量t1tt1tSR(t-t1)S =Rt1订货费：C3t期间内的平均总费用上式对t和S求偏导： )2)(2(1),(32221CRSRtCRSCttSC0),(0),(ttS

30、CStSC对S和t求偏导, 令其等于零, 求解得: 212130)(2RCCCCCt)(2211230CCCRCCS)(2)(212310CCCRCCtC与模型一比较，最佳周期 t0是模型一的最佳周期 t 的 倍，又由于 ，所以两次订货时间延长了。1 1C CC CC C时,时,当C当C) )C C(C(CC C: :仅差因子仅差因子与模型一比较,与模型一比较,2 21 12 22 22 21 12 22 22 21 1C C) )C C(C(C 1 1C C) )C C( (C C2 22 21 1不允许缺货量，订货量为最大缺货量为：2 22 21 11 13 32 21 12 21 13

31、30 00 0C C) )C C(C(CC C2RC2RCRCRCC C) )C C(C(C2C2CR RRtRtQ Q) )C C( (C CC CC C2 2R RC C) )C C( (C CC CC CC C2 2R RC C) ) )C C( (C CC CC C) )C C( (C C( (C C2 2R RC C) )C C( (C CC CC C2 2R RC CC C) )C C( (C CC C2 2R RC CS SQ Q2 21 12 21 13 32 21 12 21 11 13 32 21 12 22 22 21 11 13 32 21 12 21 13 32 22

32、 21 11 13 30 00 0模型一、二、三 比较最佳生产间隔期最佳生产批量最大存储量2 22 21 11 13 31 13 31 13 30 0C CC CC CR RC C2 2C C R RP PP PR RC C2 2C C R RC C2 2C Ct t2 22 21 11 13 31 13 31 13 30 0C CC CC CC CR R2C2C R RP PP PC CR R2C2C C CR R2C2CQ Q2 21 12 21 13 31 13 31 13 30 0C CC CC CC CR R2C2C P PR RP PC CR R2C2C C CR R2C2CS S

33、图图 137天数天数存储量存储量t1tt1tSR(t-t1)S =Rt1图图 137天数天数存储量存储量t1tt1tSR(t-t1)S =Rt1例例4：某厂每月需甲产品：某厂每月需甲产品100件，件，每月生产率为每月生产率为500 件，每批装配件，每批装配费用为费用为5元，每月每件产品存储元，每月每件产品存储费用为费用为0.4元，缺货费用为元，缺货费用为0.15元，求元，求E.O.Q及最低费用。及最低费用。解：解：P = 500, R = 100, C3 = 5, C1 = 0.4， C2 = 0.15，) )C C( (C CC CC C2 2R RC CS S2 21 11 12 23 3

34、0 0) )C C(C(CC CR RC C2C2C) )C(tC(t2 21 12 23 31 10 0图图 137天数天数存储量存储量t1tt1tSR(t-t1)S =Rt1例例4：某厂每月需甲产品：某厂每月需甲产品100件，件，每月生产率为每月生产率为500 件，每批装配件，每批装配费用为费用为5元，每月每件产品存储元，每月每件产品存储费用为费用为0.4元，缺货费用为元，缺货费用为0.15元，求元，求E.O.Q及最低费用。及最低费用。解：解：P = 500, R = 100, C3 = 5, C1 = 0.4， C2 = 0.15，) )C C( (C CC CC C2 2R RC CS

35、 S2 21 11 12 23 30 0) )C C(C(CC CR RC C2C2C) )C(tC(t2 21 12 23 31 10 02 26 60 0. .1 15 5) )( (0 0. .4 40 0. .4 45 50 0. .1 15 51 10 00 02 2S S0 0图图 137天数天数存储量存储量t1tt1tSR(t-t1)S =Rt1例例4：某厂每月需甲产品：某厂每月需甲产品100件，件，每月生产率为每月生产率为500 件，每批装配件，每批装配费用为费用为5元，每月每件产品存储元，每月每件产品存储费用为费用为0.4元，缺货费用为元，缺货费用为0.15元，求元，求E.O

36、.Q及最低费用。及最低费用。解：解：P = 500, R = 100, C3 = 5, C1 = 0.4， C2 = 0.15，) )C C( (C CC CC C2 2R RC CS S2 21 11 12 23 30 0) )C C(C(CC CR RC C2C2C) )C(tC(t2 21 12 23 31 10 02 26 60 0. .1 15 5) )( (0 0. .4 40 0. .4 45 50 0. .1 15 51 10 00 02 2S S0 01 10 0. .4 46 60 0. .1 15 50 0. .4 40 0. .1 15 51 10 00 05 50 0

37、. .4 42 2) )C C( (t t0 0模型模型4: 4: 允许缺货允许缺货( (缺货需补足缺货需补足) )，生产需要一定时间。生产需要一定时间。允许缺货；允许缺货；不能立即补充定货，生产需要一定时间；不能立即补充定货，生产需要一定时间；需求是连续的、均匀的；需求是连续的、均匀的；每次订货量不变，订购费用不变（每次生每次订货量不变，订购费用不变（每次生产量不变，装配费不变）；产量不变，装配费不变）；单位存储费不变。单位存储费不变。 假设：假设：C C1 1 - - 单位存储费用单位存储费用 C C2 2 - - 单位缺货费单位缺货费C C3 3 - - 每次订购费用每次订购费用R -

38、R - 需求速度需求速度P - P - 生产速度生产速度天数天数存储量存储量tt1t2t30天数天数存储量存储量tt1t2t30取取 0, t 为一个周期，设为一个周期，设 t1时刻开始生产。时刻开始生产。 0, t2 时间内存储为零，时间内存储为零，B为最大缺货量。为最大缺货量。t1, t2 满足需求及满足需求及 0, t1 内的缺货。内的缺货。t2, t3 满足需求，存储量满足需求，存储量以以P-R速度增加。速度增加。 t3时刻达到时刻达到最大。最大。t3, t 存储量以需求速度存储量以需求速度R减少。减少。BP - RRS图图 138天数天数存储量存储量tt1t2t30缺货费用：缺货费用

39、：最大缺货量：最大缺货量：B = Rt1 = (P - R)(t2 - t1)平均缺货量：平均缺货量：(1/2)Rt1得：得： 0, t 内缺货费用：内缺货费用： BP - RRS2 22 22 22 21 12 2t tP PR RP PR RC C2 21 1 t tRtRtC C2 21 1 21tPRPt图图 138天数天数存储量存储量tt1t2t30BP - RRS存储费用：存储费用：最大存储量：最大存储量：S = R(t - t3 ) = (P - R)(t3 - t2)平均缺货量平均缺货量: (1/2)(P - R)(t3 - t2)得：得： 0, t 内缺货费用：内缺货费用：

40、图图 138天数天数存储量存储量tt1t2t30BP - RRS存储费用：存储费用：最大存储量：最大存储量：S = R(t - t3 ) = (P - R)(t3 - t2)平均存储量平均存储量: (1/2)(P - R)(t3 - t2)得：得： 0, t 内存储费用：内存储费用： )1 (23tPRtPRt2 22 21 12 22 23 31 1) )t t( (t tP PR RR R) )( (P PC C2 21 1 ) )t t) )( (t tt tR R) )( (t t( (P PC C2 21 1装配费用：装配费用：C3t 时间内总平均费用：时间内总平均费用：上式对上式对

41、 t和和 t2 求偏导数得：求偏导数得：t tC C t tt t) )C C(C(Ct t2C2Ct tCCP PR RR)R)(P(P2 21 1) )C Ct tP PR RR)R)(P(PC C2 21 1) )t t(t(tP PR RR)R)(P(PC C2 21 1( (t t1 1 ) )t tC(t,C(t,3 32 22 22 21 12 21 11 13 32 22 22 22 22 21 12 2t tC C t tt t) )C C(C(Ct t2C2Ct tCCP PR RR)R)(P(P2 21 1) )C Ct tP PR RR)R)(P(PC C2 21 1)

42、 )t t(t(tP PR RR)R)(P(PC C2 21 1( (t t1 1 ) )t tC(t,C(t,3 32 22 22 21 12 21 11 13 32 22 22 22 22 21 12 2最佳生产间隔期最佳生产间隔期 最佳生产批量最佳生产批量2211302CCCRPPRCCt2 22 21 11 13 30 0C CC CC CR RP PP PC CR R2 2C CQ Q最大存储量：最大存储量： 最大缺货量：最大缺货量：2 21 12 21 13 30 0C CC CC CP PR RP PC CR R2C2CS SP PR RP P)C)CC C(C(CR RC C2

43、C2CB B2 22 21 13 31 10 0最小费用：最小费用： 2 21 12 23 31 10 02 20 0C CC CC CP PR RP PR RC C2 2C CC C) )t t, ,m mi in nC C( (t t2.5 价格有折扣的存储问题价格有折扣的存储问题 货物价格随订购量的变化而变化；货物价格随订购量的变化而变化； 一般情况下，购买数量越多，商品单价越低；一般情况下，购买数量越多，商品单价越低； 少数情况下，商品限额供应，超过限额部分的商少数情况下，商品限额供应，超过限额部分的商品单价要提高；品单价要提高； 本模型的假设条件除单价随购物数量而变化外，本模型的假设

44、条件除单价随购物数量而变化外，其余条件皆与模型一相同其余条件皆与模型一相同假设假设不允许缺货；不允许缺货；立即补充定货，生产时间很短；立即补充定货，生产时间很短；需求是连续的、均匀的；需求是连续的、均匀的；每次订货量不变，订购费用不变；每次订货量不变，订购费用不变；单位存储费不变。单位存储费不变。单价随购物数量而变化。单价随购物数量而变化。图图 1319单价单价 K(Q)123Q1Q2记货物单价为 K(Q)，设K(Q)按三个数量级变化：Q QQ QK KQ QQ QQ QK KQ QQ Q0 0K KK(Q)K(Q)2 23 32 21 12 21 11 1图图 1319123Q1Q2 C(Q

45、)平均单平均单位费用位费用当订购量为当订购量为 Q Q 时，一个时，一个周期内所需费用为：周期内所需费用为：K K( (Q Q) )Q QC CR RQ QQ QC C2 21 13 31 1图图 1310Q C(Q)平均单平均单位费用位费用0Q1Q2C1(Q)C2(Q)C3(Q)当订购量为当订购量为 Q Q 时，一个时，一个周期内所需费用为：周期内所需费用为：K K( (Q Q) )Q QC CR RQ QQ QC C2 21 13 31 1图图 1310Q C(Q)平均单平均单位费用位费用0Q1Q2C1(Q)C2(Q)C3(Q)当订购量为当订购量为 Q Q 时，一个周时，一个周期内所需费用

46、为：期内所需费用为：Q QK KC CR RQ QQ QC C2 21 1Q QQ QQ QK KC CR RQ QQ QC C2 21 1) )Q Q, , Q QQ QQ QK KC CR RQ QQ QC C2 21 1) )Q Q 0 0, ,Q QK K( (Q Q) )Q QC CR RQ QQ QC C2 21 13 33 31 12 22 23 31 12 21 11 13 31 11 13 31 1图图 1310Q C(Q)平均单平均单位费用位费用0Q1Q2C1(Q)C2(Q)C3(Q)平均每单位货物所需费用为：平均每单位货物所需费用为：2 23 33 31 13 32 21

47、 12 23 31 12 21 11 13 31 11 1Q QQ QK KQ QC CR RQ QC C2 21 1(Q)(Q)C C) )Q Q, ,QQQ QK KQ QC CR RQ QC C2 21 1(Q)(Q)C C) )Q Q0,0,Q QK KQ QC CR RQ QC C2 21 1(Q)(Q)C C价格有折扣的情况下，最佳批量的算法如下：价格有折扣的情况下，最佳批量的算法如下：1 1、对、对 C C1 1(Q(Q1 1) )（不考虑定义域）求得极值点为（不考虑定义域）求得极值点为 Q Q0 0：2 2、对、对 Q Q0 0 Q Q1 1，计算，计算 价格有折扣的情况下，最

48、佳批量的算法如下：价格有折扣的情况下，最佳批量的算法如下：1 1、对、对 C C1 1(Q(Q1 1) )（不考虑定义域）求得极值点为（不考虑定义域）求得极值点为 Q Q0 0：2 2、对、对 Q Q0 0 Q Q1 1，计算，计算 3 32 23 32 21 12 23 32 21 13 31 11 11 12 21 10 03 30 01 10 01 1K KQ QC CR RQ QC C2 21 1) )( (Q QC CK KQ QC CR RQ QC C2 21 1) )( (Q QC CK KQ QC CR RQ QC C2 21 1) )( (Q QC C价格有折扣的情况下，最佳

49、批量的算法如下：价格有折扣的情况下，最佳批量的算法如下：1 1、对、对 C C1 1(Q(Q1 1) )（不考虑定义域）求得极值点为（不考虑定义域）求得极值点为 Q Q0 0：2 2、对、对 Q Q0 0 Q Q1 1，计算，计算 由由 得到单位货得到单位货物最小费用的订购批量物最小费用的订购批量 Q Q* *3 32 23 32 21 12 23 32 21 13 31 11 11 12 21 10 03 30 01 10 01 1K KQ QC CR RQ QC C2 21 1) )( (Q QC CK KQ QC CR RQ QC C2 21 1) )( (Q QC CK KQ QC C

50、R RQ QC C2 21 1) )( (Q QC C ) )( (Q QC C) ), ,( (Q QC C) ), ,( (Q Qm mi in n C C2 23 31 12 20 01 1价格有折扣的情况下，最佳批量的算法如下：价格有折扣的情况下，最佳批量的算法如下：3 3、对、对 Q Q1 1= = Q Q0 0 Q Q2 2，由由 得到单位货物最小费用的订购批量得到单位货物最小费用的订购批量 Q Q* *4 4、对、对 Q Q2 2 Q Q0 0，则取，则取 Q Q* * = = Q Q0 0。上述步骤易于推广到单价和折扣分上述步骤易于推广到单价和折扣分 m m 个等级的情况。个等级的情况。)(),(min2302QCQC上述步骤易于推广到单价和折扣分上述步骤易于推广到单价和折扣分 m m 个等级的情况。个等级的情况。如订购量为如订购量为Q Q，其单价为，其单价为K(Q)K(Q)， Q QQ QK K. . . . . . .Q QQ QQ QK K. . . . . . .Q QQ QQ QK KQ QQ Q0 0K KK K( (Q Q) )1 1m mm mj j1 1j jj j2 21 12 21 11 1上述步骤易于推广到单价和折扣分上述步骤