椭圆的弦的中点问题的解题方法及技巧

1、221.y xxy例 求直线 = +1被椭圆+2=4所截得的弦的中点坐标依据：中点坐标公式法一：求交点，得中点法二:用根系关系.设而不求，避免繁琐的运算22224:3+42=0= +1xyxxy x+=解 由得0显然112212+2= -23xyxyxyxxx设弦的端点为，中点为，则1131212+1+=22yyxxy2 1-3 3中点坐标为，22.4936ABABM 1 1AB.xy例2已知一直线与椭圆+=交于 、 两点，且弦的中点坐标， ，求直线的方程关键：需求关键：需求AB的的斜率斜率AMB法一法一:待定系数法待定系数法. 根系关系建立根系关系建立k的方程的方程11ABAByk x 解：

2、显然的斜率存在，设：2211936 yk xxy 由422241819 1360kxkk xk得 9122181124M 11 2 kkxxABk的中点，949k 0 可使9130AB 4 xy：法二：代点求差法(点差法)1122ABABx ,yx ,y解：设 又在椭圆上，则22229369361122xyxy44121212124+9=0 xxxxyyyy得：相减M 1 1 AB的中点，1212112 2 xxyy12128180 xxyy49ABk 9130AB 4 xy：检验：检验：AB确实与椭圆相交确实与椭圆相交故： 为所求91304 xyAMB一一. .直线方程的五种形式直线方程的五

3、种形式bkxy00()y yk x x1byax112121yyxxyyxxAx+By+C=02、斜率公式：、斜率公式：)(21211212xxyykxxyyk或直线与椭圆的位置关系：相离相切相交 通过联立方程组，用 法 0 无交点0 一个交点0 两个交点 = 弦长公式：弦长公式： 22212112 ABxxyyxx 221122114yAyy ykB 22212114AkxxBx x 22y xxy例 求直线 = +1被椭圆+2=4所截得的弦的中点坐标1.依据依据：中点坐标公式：中点坐标公式法一：求交点，得中点法一：求交点，得中点法二法二: 根系法根系法. 设而不求设而不求，避免繁琐的运算，

4、避免繁琐的运算22.4936ABABM 11AB.xy例2已知一直线与椭圆+=交于 、 两点，且弦的中点坐标，求直线的方程关键：需求关键：需求AB的的斜率斜率AMB求中点弦所在的直线方程：根系法与点差法求中点弦所在的直线方程：根系法与点差法(1)其中点差法有利于处理弦的中点坐标与斜其中点差法有利于处理弦的中点坐标与斜率的关系，简化了解题过程率的关系，简化了解题过程.(2)两种解法，都要使所求直线与椭圆有两个两种解法，都要使所求直线与椭圆有两个交点，否则解题不严密交点，否则解题不严密.22xy例 已知椭圆+=，此椭圆的一组平行弦的斜率是，求这些弦的中点的轨迹方程3.49363.2AMB法一；中点

5、可用根系法法一；中点可用根系法法二法二:点差法点差法求弦的中点的轨迹求弦的中点的轨迹22xy例 已知椭圆+= ，及椭圆外一点， ，过的直线与椭圆交于 、 两点，求的中点的轨迹方程14.1M 0 2M2ABAB.AMB解决与弦的中点有关问题解决与弦的中点有关问题：三种类型三种类型;求中点，求以定点为中点的弦的直线方程求中点，求以定点为中点的弦的直线方程 求弦的中点的轨迹求弦的中点的轨迹二种解法二种解法;点差法，根系法点差法，根系法两个注意两个注意;求以定点为中点的弦的直线方程时直线与椭求以定点为中点的弦的直线方程时直线与椭 圆要有两个交点圆要有两个交点 求弦的中点的轨迹时中点要在椭圆内求弦的中点

6、的轨迹时中点要在椭圆内作业作业1、教材第、教材第49面习题面习题A组第组第8题；题；2、已知椭圆、已知椭圆221164xy ，求：，求：（1）以）以P（2，1）为中点的弦所在直线的方程；）为中点的弦所在直线的方程；（2）过）过Q（8，2）的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程）的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程例例 已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为，椭圆的右焦点为F，(1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点判断点A(1,1)与椭圆的位置关系与椭圆的位置关系,并求以并求以A为中点为中点椭圆的弦所在的直线方程椭圆的弦所在的直线

7、方程.例例1 中心在原点，一个焦点为中心在原点，一个焦点为 的椭圆截直线的椭圆截直线 所得弦的中点横坐标为所得弦的中点横坐标为 ，求椭圆的方程，求椭圆的方程 中点问题中点问题例例4.已知点已知点A(4,2)是直线是直线l l被椭被椭 圆圆 截得线段的中点截得线段的中点, 求直线求直线l l的方程的方程193622yx例例3、P（1，1）为椭圆）为椭圆22142xy 内的一定点，过内的一定点，过P点引点引一弦，与椭圆相交于一弦，与椭圆相交于A、B两点，且两点，且P恰为弦恰为弦AB的中点，的中点，求弦求弦AB所在的直线方程及弦所在的直线方程及弦AB的长的长22143xy 4yxm 例例4、已知椭圆、已知椭圆C：，试确定，试确定m的取值范围，使的取值范围，使对称对称得椭圆上有两个不同的点关于直线得椭圆上有两