定积分在生活中应用

1、目录1.定积分的概述11.1定积分的定义11.2定积分的性质21.3定理91.4方法102.定积分的应用102.1计算平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长上的应用102.2定积分在物理中的应用156小结19致谢20英文翻译部分21定积分在生活中的应用 姓名： 学号：201004110110 指导老师：胡业刚 摘要:定积分在高校中是很重要的组成部分，计算与应用程序开发，导出行星三大定律得益于牛顿的微积分，定积分在生活中具有广泛的应用。从那时候起，定积分大大促进了数学微积分的发展，以及天文学、物理学、化学等科学的大力发展。伴随着工程学、经济学和人类知识的大力发展，微积分在指导人类走向认知的过程中发挥

2、着越来越重要的作用。关键词：微元法; 定积分; 数列极限前言:定积分在高校中是很重要的组成部分，计算与应用程序开发，导出行星三大定律得益于牛顿的微积分，定积分在生活中具有广泛的应用。从那时候起，定积分大大促进了数学微积分的发展，以及天文学、物理学、化学等科学的大力发展。伴随着工程学、经济学和人类知识的大力发展，微积分在指导人类走向认知的过程中发挥着越来越重要的作用。1.定积分的概述1.1定积分的定义设函数在区间上有界，在中任意插入若干个分点， 把区间分成个小区间： 有且各个小区间的长度依次为，。在每个小区间上任取一点，作函数与小区间长度的乘积（），并作出和。记，如果不论对怎样分法，也不论在小区

3、间上点怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分（简称积分），记作，即= 数学分析上册（第二版）复旦大学数学系编.高等教育出版社，1983.07公式（1）其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。1.2定积分的性质 性质1 若f在a,b上可积，k为常数，则kf在a,b上也可积，且.1公式（2） 证 当k=0时结纶显然成立. 当k时,由于 其中J=因此当f在a,b上可积时,由定义,任给 从而 即kf在a,b上可积，且性质若fg都在a,b可积，则f在a,b上也可积，且1 公式（3）证明与性质类同。注1 性质与性质

4、是定积分的线性性质，合起来即为其中为常数。注2 在f，g，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有任意两个在a,b上可积，则另外一个在a,b上可积.在f，g，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有一个在a,b上可积，一个在a,b上不可积， 则另外一个在a,b上必不可积.性质 若fg都在a,b上可积，则fg在a,b上也可积。证由f、g都在a,b上可积，从而都有界，设且，（否则f、g中至少有一个恒为零值函数，于是f、g亦为零值函数，结论显然成立）。任给由f、g可积，必分别存在分割、，使得令（表示把、的所有分割点合并而成的一个新的分割T）。对于a,b上T所属的每一个，有 利用3习题第1题，可知 这

5、就证得fg在a,b上可积.注 在一般情形下.思考：有没有相除后可积的性质？ 若fg都在a,b上可积，|f(x)|m0,xa,b,则在a,b上可积.事实上，由条件可证在a,b上可积(本节习题第7题).再由性质3知在a,b上可积.性质4 f在a,b上可积的充要条件是：任给，在a,c与c,b 上都可积。此时又有等式 1 公式（4） 证 充分性 由于f在a,c与c,b上都可积，故任给分别存在对a,c与c,b的分割，使得 现令它是a,b的一个分割,且有由此证得f在a,b上可积.必要性 已知f在a,b上可积,故任给存在对a,b的某分割T,使得在T上再增加一个分点C,得到一个新的分割由3习题第一题,又有 分

6、割在a,c和c,b上的部分,分别构成对a,c和c,b的分割,记为,则有 这就证得f在a,b和b,c上都可积. 在证得上面结果的基础上最后来证明等式(3).为此对a,b作分割T,恒使点C为其中的一个分点,这时T在a,c与c,b上的部分各自构成对a,c与c,b的分割,分别记为.由于 因此当时,对上式取极限,就得到(3)式成立. 注 性质4及公式(3)称为关于积分区间的可加性.当时,(3)式的几何意义就是曲边梯形面积的可加性.如图1所示,曲边梯形AabB的面积等于图1曲边梯形AacC的面积与CcbB的面积之和. 按定积分的定义,记号只有当ab时才有意义,而当a=b或 ab时本来是没有意义的.但为了运

7、用上的方便,对它作如下规定: 规定1 当a=b时，令 规定2 当ab时，令 有了这个规定之后，等式（3）对于a、b、c的任何大小顺序都能成立。例如，当 abc时，只要f在a，c上可积，则有 = 性质5 设f为a，b上的可积函数。若则 1 公式（5） 证 由于在a，b上，因此f的任一积分和都为非负。由f在a，b上可积，则有 推论（积分不等式性）若f与g为a，b上的两个可积函数，且a，b，则有 1 公式（6） 证 令Fa，b，由性质2知道F在a，b上可积，且由性质5推得 不等式（5）得证.性质6 若f在a，b上可积，则在a，b上也可积，且 1 公式（7）证 由于f在a，b上可积，故任给0，存在某分

8、割T，使得由绝对值不等式 可得知于是有 从而证得在a,b可积。 再由不等式应用性质5（推论），即证得公式（7）成立。 注 这个性质的逆命题一般不成立，例如 在0，1上不可积（类似于狄利克雷函数）；但它在0，1上可积。 例1 求其中 解 对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即 注 上述解法中取其中被积函数在x=0处的值已由原来的由3习题第3题知道这一改动并不影响f在-2，0上的可积性和定积分的值。 例2 证明：若若fg都在a,b上可积，则fg在a,b上也可积在a,b上连续，且 证 用反证法。假如有某x0a,b使f则由连续函数的局部保号性，存在的某邻域，使在其中由性质4和性质5推知

9、 这与假设相矛盾。所以 。 注 从此例证明中看到，即使f为一非负可积函数，只要它在某一点处连续，且则必有定理1 (积分第一中值定理) 若f在a,b上连续，则至少存在一点，使得 数学分析下册（第二版）复旦大学数学系编.高等教育出版社，1983.11 公式（8）证 由于f在a,b上连续，因此存在最大值M和最小值m.由,使用积分不等式性质可以得到 或者再由连续函数的介值性，至少存在一点使得 图2图表 1这就证得公式（8）成立。 积分第一中值定理的几何意义：如图2所示，若非负数f在a,b上是连续的，则y=f()在a,b上的曲边梯形面积等于以（2）所示的为高，a,b为底的矩形面积。而则可理解为在区间a,

10、b上所有函数值的平均值。通常这是有限个数的算术平均值的推广。注 把定理中f在a,b上连续，减弱为f在a,b上可积.定理结论为：若f在a,b上可积， 则存在 使.事实上，由，有 从而有令，则 且.性质7中的f()与这里的都可看作函数在区间a,b上所有函数值的平均值。例3 试求在0，上的平均值。解 所求平均值为 定理2 （ 推广的积分第一中值定理）若f与g都在a,b上连续，且g(x)在a,b上是不变号的，则至少存在一点a,b，使得 常微分方程 （第三版）王高雄等编 .高等教育出版社，2006.07 公式（9）（当g(x)=1时，即为定理9.7）证 设g(x)0，xa,b，则有 其中M、m分别为f在

11、a,b上的最大值、最小值。由定积分的不等式性质，能得到若则由上式可知从而对任何a,b，公式（9）式都成立。若则得到 由连续函数的介值性可知，一定至少有一点a,b，使得 这就证得公式（9）成立。1.3定理定理1 微积分基本定理 如果函数在区间上连续,则积分上限函数=在上可导,并且它的导数是= 华东师范大学数学分析上册M第三版 高等教育出版社 公式（10）定理 2 原函数存在定理如果函数在区间上连续,则函数=就是在上的一个原函数.定理3 如果函数是连续函数在区间上的一个原函数,则 = 华东师范大学数学分析下册M第三版 高等教育出版社 公式（11）称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.1.4方法 定积分

12、的换元法 假设函数在区间上连续,函数满足条件(1),;(2) 在(或)上具有连续导数,且其值域,则有= 公式（12）上面的公式叫做定积分的换元公式. 同济大学 高等数学上册M第五版 高等教育出版社定积分的分部积分法根据不定积分的分部积分法,有 简写为 =或= 同济大学 高等数学下册M第五版 高等教育出版社 公式（13）2.定积分的应用2.1计算平面图形面积的应用利用定积分计算平面图形的面积设连续函数和满足条件，求曲线，及直线所围成的平面图形的面积（如图3）解法步骤： 第一步：在区间上任取一小区间，并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以为高，以为底的矩形面积近似，于是第二步：在区间上将无限求和

13、，得到.图3 上面所诉方法是以为积分变量进行微元，再求得所围成图形的面积；我们还可以将作为积分变量进行微元，再求围成的面积。由连续曲线、其中与直线、所围成的平面图形（图3）的面积为：图4例1 求由曲线，及两直线，所围成的图形的面积A图5解 作出图形，如下图所示，在上，曲线与的交点为；取为积分变量，积分区间为从图中可以看出，所围成的图形可以分成两部分；在区间上的面积和区间上的面积分别为，所以，所求图形的面积为=+ 例2 求椭圆的面积.解椭圆是关于轴,轴都对称,所以所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即利用椭圆的参数方程则应用定积分的换元法,且当时,时,于是旋转体体积的应用2.2旋转体体积的应用求

14、旋转体体积求一个立体图形的体积，我们也可以用类似求平面图形面积的思想，例如一个木块的体积，我们可以将此木块来作分割划分成很多基本的小块，每一块的厚度可以为，假设每一个基本的小块横切面积为，为上连续函数，那么此小块的体积大约是，将所有的小块都加起来，再令，我们就可以得到其体积： 6例2 求由曲线, 直线 ,绕轴旋转一周而形成的立体体积.解 先画图形，因为图形绕轴旋转，所以取为积分变量，的变化区间为1,4，相应于1，4上任取一子区间,+的小窄条，绕轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为，底面积为的小圆柱体体积近似代替，即体积微元为 =, 然后体积 图6=1616=12.2.3曲线弧长上的应用求曲线的

15、弧长设曲线在上有一阶连续导数（如下图）,利用微元法，取为积分变量，在上任取小区间，切线上相应小区间的小段的长度近似代替一段小弧的长度，即.得弧长微元为：,再对其积分，则曲线的弧长为：参数方程表示的函数的弧长计算，设曲线上一段的弧长.这时弧长微元为：即则曲线的弧长为：4图7例3 (1)求曲线 上从0到3一段弧的长度解 由公式 = （ ）知,弧长为=.(2)求摆线在上的一段弧的长度（）解 取为积分变量，积分区间为由摆线的参数方程，得，于是，由公式（16-13），在上的一段弧的长度为3定积分在物理中的应用定积分在物理学中应用,可以说是定积分最重要的应用之一,正是由于微积分的发展,使得物理学中精确测量

16、,计算成为可能,从而使物理学得到长足的发展。3.1求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) 0) 在时间区间a,b上的定积分，即 普通物理学第一册（第五版）江之水等编 .高等教育出版社，2007.12例 1、一辆汽车的速度一时间曲线如图所示求汽车在这1 min 行驶的路程解：由速度一时间曲线可知：图8因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m . 3.2定积分在变力作功的应用 一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为

17、W=Fs 普通物理学第二册（第五版）江之水等编 .高等教育出版社，2008.02探究如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (ab) ，那么如何计算变力F(x）所作的功W呢？与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题可以得到图9 例2 设40N的力使一弹簧从原长10cm拉长到15cm现要把弹簧由15cm拉长到25cm，需作多少功？解 以弹簧所在直线为轴，原点为弹簧不受力时一端的位置根据胡克定律，当把弹簧拉长m时，所需的力为，（1）其中是是常数，为弹性系数根据题意得，当把弹簧由原长10cm拉长

18、到15cm时，拉伸了0.05m，把代入式（1），得 ， 所以因此当把弹簧由15cm拉长到25cm，即从变到时，所需作的功为3.3定积分在在电学中的应用 例3、有一均匀带电圆盘，其半径为，电荷面密度为（如下图），求圆盘轴线上与盘心O相距为的任一给定点处的场强？分析：圆盘带电均匀分布，可以把圆盘分成许多同心的细圆环。分成的细圆环同样也是均匀带电的，如果知道各细圆环在点处的场强，我们可以同样利用微元法在细圆环上任取微小的电荷元，求出每一电荷元在点的场强，那么由场强叠加原理，最后即可求出圆盘在点处的总场强。图10 解：从圆盘上任取一半径为，宽度为的细圆环，因为圆盘的面密度，则细圆环所带的电荷量为.那么

19、我们先来计算一下这个圆环(假设带电量为)在点激发的场强。如下图所示，在圆环上任取长度元，电荷线密度，则上所带的电荷量为：图11在点处所激发的场强为：式中是从指向点的矢量，其大小，由于圆环上各电荷元在点激发的场强的方向各不相同，为此把分解为平行于轴线的分量和垂直于轴线的分量。根据对称性，各电荷元的场强的分矢量相互抵消。所以点的合场强是平行于轴的那些分矢量之和，即从而，带电细圆环在点激发的场强为：那么，带电圆盘就是这些带电细小圆环所激发的场强的矢量和，即场强的方向与圆盘相垂直，其指向则视的正负而定，的方向与同向；，与反向。4定积分在数学应用的现状：探索定积分在几何中的应用，使定积分应用于实际问题，

20、很多问题都可以迎刃而解。本文参考文献包括高等教育出版社出版的数学分析上下册，和高等数学上下册。但是这两种教材有不尽如人意的地方。例如,在平面图形的定积分区域计算方面,不是直接给出公式,而仅仅是通过例题给出示范，而且给出的公式与其它公式不容易区分,教材中没有明确的指出这些公式之间之间有何不同,这些公式怎么用以及为什么要这么用。而我所参考的文献高等数学同步精讲上册就填补了这两本教材不足的地方，方便了我以后的学习和研究。5主要研究成果:定积分与微元法的应用可以解决许多几何问题。在现实生活中随处可见，不少几何问题几何问题是复杂的，难以解决，我们使用的整体方法：如解决一些不规则形状的区域。利用定积分微元

21、法可以直观，轻松解决这个问题。参考文献高等数学同步精讲上册和我所学的数学分析及高等数学教材基本上给出了定积分在几何应用中的所有一些情况及解法。6存在问题：目前，一些材料“定积分的应用”用于在几何和物理的主要内容。在应用定积分的几何形状，也出现了一个问题，那就是在教学和学习中教与学两者都容易出现故障。选择做出时候经常会出现一定的积分在平面图形的面积求等应用中的错误。在解决实际问题所以要具体问题具体分析，不能应用于直接的公式，这将是一个平滑的解决问题的方法。7小结 从上面的讨论可以看出，在很宽范围的定积分的应用，将集成解决其他学科的一些问题，非常简单和方便，可以在学习看，以为益处。因此，我们必须学

22、会横向学习，是众多学科，如果我们能够找到这些链接，并研究和分析，总结和应用程序之间的链接的存在，它不仅能加深我们对知识的理解，强化旧知识，我们可以扩大应用知识的范围，促使我们积极思考，无论从深度和广度，这是一个质的飞跃。致谢 近两个月终于完成本文，期间遇到许多困难和障碍，在论文写作过程中，感谢学生和老师的帮助，特别感谢我的论文指导老师 - 胡业刚老师，他无私地给了我指导和帮助，帮助我修改和改进。 此外，我在学校图书馆查阅资料时，图书馆的老师也给了我很多的支持和帮助。在这里，向帮助和指导我所有的老师致以最诚挚的问候！ 本文谢谢涉及到的每一位学者。本文所引用的文献中，如果没有你们的学术研究对我的帮助和和启发，我将很难完成本文的写作。我感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给了我很多的材料，在我写作过程中提供的帮助。由于我有限的学术水平，不足之处，期待老师和校友的批评和指正！ 英文翻译部分The Definite Integral in Our Life of ApplicationName:Fan Kaili Student Numeber:201004110110Advisor:Hu YegangAbstract：.This paper briefly discusses the basic app