自动化车床问题(1)15组doc

1、五组自动化车床问题摘要本文是自动化车床中道具的检测与更换问题。在已知生产工序的费用参数和故障记录的情况下，建立随机模型，得出工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。首先我们对附表中的数据在6SQ软件拟合中进行分析并在MATLAB中对其进行假设检验，发现其服从X(600，1962)的正态分布。对于问题一，我们以每个正品的平均费用作为评价指标。我们规定一个周期内我们最多进行次检测，每次检测的零件序号为ci(i=1，2，n)。通过规定等概率间距对刀具零件进行检测。同时将总费用和生产正品的期望分为未达到最大检测次数前和达到最大检测次数两部分。然后，通过穷举法求解出不同间距和不同检验次数时，每个正品的

2、平均生产最小费用，我们得出其最优解。其结果为：检验次数为9次，检验的零件数序号分别为：58 ，99，135，167，196，221，244，263，281。换刀的间距为281零件。而平均每个正品零件花费为：4.5913元。对于问题二，我们采用单策略模型。由于正品的来源分为两个部分。因此在检测时存在误判问题。我们通过分析未达到最大检测次数前和达到最大检测各元素的来源，从而得出各元素的表达方法。最后通过matlab对不同间距和不同次数的花费进行比较，最后得出最优解。其结果为：检验次数为10次，检验的零件数序号为：82，101，152，184，211，237，253， 275，300，321。换刀的

3、间距为：320。平均均每个正品零件花费为：9.3912元。对于问题三，我们采用双策略模型。由于问题二中误判率较大，对生产工序有较大的误导作用，因此我们采用双策略模型即一次检验连续检查两个零件，这样通过概率计算工序正常时生产的产品合格率为96.04%，工序不正常时生产的产品合格率为16%。这样误判率就大大的降低。然后可以再通过穷举法，得出最优解。关键词：6SQ拟合 等概率间距 单策略 双策略 穷举法1.问题的重述工业生产中，自动化车床刀具的检测与磨损是比较常见的问题，如何检测何时更换刀具将直接影响生产成本。在本文中，我们将从某个方面对其合理规划，使生产工具平均成本最小。刀具更换背景：一道工序用自

4、动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占95%, 其它故障仅占5%。工序出现故障是完全随机的, 假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现积累有100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附表。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。 已知生产工序的费用参数如下： 故障时产出的零件损失费用 f=200元/件； 进行检查的费用 t=10元/次； 发现故障进行调节使恢复正常的平均费用 d=3000元/次(包括刀具费)； 未发现故障时更换一把新刀具的费用 k=1000元/次。 本文需要解决的问题：1)假定

5、工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品, 试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。 2)如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品。工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次。对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略.3）在2)的情况, 可否改进检查方式获得更高的效益。2. 模型的假设与符号说明2.1模型的假设假设1：题目所给数据是合理、正确的；假设2：换刀具时间可以忽略不计，不会影响到生产； 假设3：认为5%的其他故障发生时生产零件数是随机的； 假设4

6、：100个刀具故障数据所表示的意义具有普遍性；假设5： 零件损失费是有不合格产品造成。2.2符号说明符号符号说明平均每个正品花费正品个数期望总损失费用第j次检验后停止使用该刀具该刀具生产的正品数第i次检测出现故障的费用刀具更换费用检测第i个零件的序号数wpi第i次发生误判的概率第i次发生误判生产出正品的概率当第次检查是对应产品的期望值第i次发生误判的检查次数第次检查与第间的概率间距当发生故障时生产个零件的概率密度最多检查次数第次检查与第间的概率间距步长工序正常时合格品的概率工序故障时合格品的概率当检查完后刀具依然是正常的期望值3. 问题分析本题是车间生产中刀具更换与产品检测使经济效益最好的最优

7、化问题。何时更换刀具与何时检测产品，一方面涉及概率统计方面问题，另一方面涉及经济效益最好的最小值问题。通过统计软件可知机床无故障生产零件数服从的正态分布。要求经济效益最好就是零件生产的总费用与生产正品数的期望值之比最小。对于问题一， 当工序故障时，生产的零件全部是不合格品，无故障时，生产的零件全部是合格品，而通过对产品的检验可知工序是否故障。我们规定一个周期内我们最多进行次检测，每次检测的零件序号为。当刀具生产的零件未达到更换周期刀具就发现故障，则进行调节使其恢复正常再使用。而当刀具达到更换周期无论刀具能否再生产我们都更换零件。这样刀具生产时总费用就是不超过此更换周期刀具就出现故障所用费用的期

8、望与达到更换周期但刀具仍能工作时所用费用的期望值之和。最后以生产一个合格品所需费用为评价指标，通过穷举法，我们能得出评价指标的不同值，取其中最小值。其中检查的流程图如下图：开始检测该产品是否合格？?调节恢复更换刀具NNYY图一 检验流程图对于问题二，对于每次故障发生时，其生产的零件数为一概率函数，95%为,刀具损坏故障与5%为其它故障，其中95%,刀具损坏故障为正态分布的函数，5%其它故障平均分布。我们仍以每个正品的平均费用作为评判指标。通过单策略模型我们进行求解。由于在工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品。这样在检测过程

9、中无论检查出是合格品还是不合格品都存在误判问题。而把工序正常误认有故障停机会产生损失费用，同时把工序故障认为正常将会产生零件损失费用；因此在检测过程中我们误判数期望值使我们所求的第一个元素。其次正品数期望值，产品个数期望值，检查次数期望值都是我们求解总耗费中必须知道的量。安排合理的使用周期和适当的检验间距，从而使正品的平均费用最小；最后所求表达式将会是一个以c1， c2， c3为变量的函数，最后通过matlab编程，检查次数n取值范围为1到30，先固定n，在用穷举法排列各检查次数之间的间隔，并比较求出在n值固定时其对应的最好检查间隔安排；最后再比较各个n值下的最优解，得出最优结果。对于问题三，

10、需要得到更好的检验方法，使得生产中效益更高，我们评判指标不变。为了尽量减小误判产生的损失，我们需要对检测方式进行改进，如何改进检测方式才能减小误判，在一次检验一个零件误判率较大的情况下，我们可以采取一次抽查，连续检查两个零件，这样在工序出现故障时所产生的零件损失费用将得到减小为16%，且工序正常是被误判的概率改变并不大只改变0.39592%；最终误判所带来的损失就大大减小了。4. 数据分析4.1正态分布假设由于工序出现故障是完全随机的，对题目给出的100次刀具故障记录（见附录表），我们通过观测其再各个区间中出现得频数可以预估其符合正态分布。然后通过excel中6SQ统计软件的分析，最终得知工序

11、出现故障服从正态分布。其图如图4.1：图4.1 工序出现故障时零件分布图通过数据的分析，可知刀具无故障生产零件数服从参数和正态分布,其中。其概率密度函数为：在matlab中对正态分布的概率进行拟合，最后概率函数可以近似表达结果图二：图4.2 正态分布函数的拟合4.2 正态分布假设检验然后通过6SQ统计软件进行卡方拟合优度检验，检验结果见表4.1。表4.1 正态分布的假设检验假设检验零假设服从正态分布自由度9卡方统计量2.5218397p值0.9802904显著性水平0.05结果接受零假设5 问题一的解答5.1模型一的准备通过事件可得,零件生产数应在区间区间上，我们规定一个周期内我们进行次检测，

12、每次检测的零件序号为。当刀具生产的零件未达到更换周期刀具就发现故障，则进行调节使其恢复正常再使用。而当刀具达到更换周期无论刀具能否再生产我们都更换零件。为了体现选取零件的随机性我们约定其中相邻两次检验刀具出现故障的概率是相同的。即。5.1.1生产指标的说明当检测零件次数不大于就发现刀具故障，那么此次刀具费用则由前次得检测费，故障调节费与故障时产出的零件损失费组成，其表达是如下：当检查零件数大于且刀具仍能正常运行，此时刀具更换费用则由前次检测费和换刀费组成，其表达是如下：刀具生产时总费用就是不超过此更换周期刀具就出现故障所用费用的期望与达到更换周期但刀具仍能工作时所用费用的期望值之和，即总费用为

13、：而在生产中，产生正品数期望为未达到检查次数产生正品的期望与达到最大检查次数产生正品的期望,即：5.2问题一模型的建立我们以生产一个合格品所需费用作为我们的评价指标。则为零件生产的总费用与生产正品数的期望值之比。最终目标函数为：5.3问题一的求解5.3.1问题一求解思想为了选取零件的公平性，我们选取相邻两零件概率差为一定值。随机选取500个样点，令初始值=1，选取的零件检测，同时对变量检查次数同样赋予初始值，然后以每个正品花费作为比较标准，在通过两个循环，在与的约束范围内，比较得出当平均每个正品花费最少时的与的值。其流程图如下取样500个点 d=1d50?NNYd=d+1n500/d?结束，输

14、出与及其minNYY图5.1求解流程图5.3.2问题一结果的表达规定等概率间距后，我们通过穷举法，选取最优的等概率间距，然后把不同检测次数时每个正品平均耗费的最小值记录下来，我们记录四组不同检验次数，每个正品的平均花费结果如下表5.1：表5.1最终平均花费的记录检验次数9101314平均花费（元）4.59134.60074.59594.6009最终检验次数为9次，检验的零件数序号分别为：58 ，99，135，167，196，221，244，263，281。换刀的间距为281零件。而平均每个正品零件花费为：4.5913元。5.4问题一检验我们通过ttest检验，已知刀具的寿命服从正态分布，现在在

15、方差未知的情况下，检查所求结果（即刀具的平均寿命）为281是否合理输入命令： h ,sig , ci=ttest(x,281)结果为：h = 0， sig = 0.0628， ci = （ 276.1155 321.0155）所以，由以上结果可知，刀具的平均寿命为281是合理的。5.5问题一结果分析： 通过求解过程我们知道不同的检查次数会有不同的最优平均花费，但最优花费并不与检验次数成线性关系。而且换刀时生产的零件数远没达到刀具无故障生产零件数的平均值。分析其原因，虽然刀具出现故障的情况高发期在生产600个零件之后，但由于出现故障后再换费用过高，且在故障出现后将产生一些不合格品又造成了成本的增

16、加。故在刀具出现故障概率较低的条件下主动换刀比出现故障换刀更具有经济效益。6. 问题二的解答6.1问题二模型的准备通过事件可得，零件生产数应仍在区间区间上，同时我们记检测次数最多为n，产品的检验时序号依次为：c1，c2 ，c3。cn。6.1.1未超过最大检查次数各指标的期望设检查次数为i，当检查次数时，则以下指标分别为：在未达到最大检测次数就断定刀具故障，其中第i次发生误判的概率wpi为：在未达到最大检查次数就断定刀具故障，其中第i次产生正品的期望Ei由三部分组成：第一部分：前i-1次为全部正常工序产生的产品最后第i次发现故障产生正品的期望。第二部分：前i-1次为正常工序产生正品，后i次到n-

17、i-1次断定故障前为故障工序产生的正品，产生正品的期望。第三部分：前i-1次为正常工序产生正品，后n-i次为故障工序产生的正品的期望。其表达式为：其中表示第j次检验后停止使用该刀具该刀具生产的正品数。在未达到最大检查次数，产生的产品个数的期望cpi同样分为三部分：第一部分为前i-1次为全部正常工序产生的产品最后第i次发现故障产生的产品个数期望，第二部分是前i-1次为正常工序产生正品，后i次到n-i-1次断定故障前为故障工序产出的产品正品，最后产生产品的期望。第三部分为前i-1次为正常工序产生正品，后n-i次为故障工序产生的正品，而产生的产品的期望。其表达式如下：在未达到最大检查次数csi，扦插

18、次数的期望同样有此三部分构成，在此就不赘言。其表达式如下：6.1.2达到最大检查次数后个指标的期望当道具生产能力大于换刀周期，这样我们约定。在达到最大检验次数后，发生误判的概率wpi为：在达到最大检验次数后，正品产生的个数期望En为：其中Enj与Enn与6.1.1中表达相同。产品个数cpi为：检查次数的期望csi为：6.2各期望值的表达误判次数的期望：正品个数期望：产品个数期望：检查次数期望：其中表示相邻两个检测序号之间一段的概率。最后一次检测时刀具仍为好刀的概率。这样在此生产过程中，所造成总损失fy的表达式如下：6.3问题二模型的建立我们以生产一个合格品所需费用作为我们的评价指标。则为零件生

19、产的总费用与生产正品数的期望值之比。最终目标函数为：5.3问题二的求解问题二求解过程致相同，我们记录不同检测次数时每个正品平均耗费的最小值，我们选取四组最优的的结果列入下表6.1：检验次数8101112平均花费（元）9.40079.39129.39789.4012最终检验次数为10次，检验的零件数序号为：82，101，152，184，211，237，253， 275，300，321。换刀的间距为：321。平均均每个正品零件花费为：9.3912元。5.4问题二检验检查所求结果（即刀具的平均寿命）为321是否合理输入命令： h ,sig , ci=ttest(x,321)结果为：h = 0， si

20、g = 0.1181， ci = （306.9845 330.0155）所以，由以上结果可知，刀具的平均寿命为321是合理的。5.5问题二结果的分析在用但策略模型的求解中我们可以得知，换刀间距相比问题一更大了，同时平均每个正品零件的花费也比问题一打了一些。这个当我们不能完全判定生产正品的刀具是否出现故障的条件下，检查花费和误判花费风险有点大。7. 问题三的解答7.1问题三模型的建立：对于问题二，我们采用一次检查一个零件的方法判断工序是否有故障；由于工序出现故障时依然有40%的合格率，这将导致产生很大的误判期望值。为了减少误判，我们采用一次检查连续检查两个零件的方式，只有当两个零件都为合格时才认

21、为工序正常。在这种检测方式下，工序正常时生产的产品合格率为96.04%，工序不正常时生产的产品合格率为16%；经过这样的改进模型中的误判大大的减小了。在误判概率大大减少的前提条件下，其求解指标仍是平均每个正品所需费用。7.2问题三的求解的方法：相比较模型二，我们称问题三的模型为双策略模型。在双策略模型中我们将事件分为两大类，第一类称为，即表示生产是所用刀具在第与第次检查间各种损坏；第二类事件称为，即表示生产是所用刀具在第次检查中在两次产品零件中抽查的各种损坏。在事件中每次事件下都对应在次前将好的道具误判为坏刀具，以及在次在两次产品中抽查的各种损坏；在事件中每次事件下都对应在次中在两次产品零件中

22、抽查的各种误判损坏；在第一类事件下以及第二类事件下，我们将求的所需的正品数期望值、产品数期望值、检查次数期望值、误判期望值以及废品期望值。另外，为了更进一步的减少模型中由于误判带来的损失，我们还可以将模型进一步改进，采用一次检测三个零件的方式；在这种模型下，当工序正常时生产的产品合格率为94.12%，相比较其不合格率为5.88%；当工序不正常时生产的产品合格率为6.4%，相比较其误判期望值将进一步减少。8. 模型的评价、改进及推广8.1模型评价优点：（1） 采用不定步长，使模型更合理，更符合实际情况（2） 针对问题所建立的模型对所有的要求未知变量，都是互相约束，这样求出的解更加精确。（3） 模

23、型比较清晰，把总费用分为未达到指定周期前刀具出现故障所用费用的期望，和达到换刀周期换刀所用费用的期望。看起来比较清晰。缺点：（1）问题一的求解时我们只考虑刀具损坏的原因是刀具损坏故障，而5%的其他故障未予考虑，从而使得问题结果不能进一步精确。（2）未对问题三更精确地求解，只是将方法比较系统的叙述。8.2模型改进在问题一中，考虑故障出现原因，这样是的问题结果更加精细。同时在问题二的产品检验中我们可以一次检验连续检验三个零件，这样会使得误判概率更小，从而使检验过程更精确，损失更小。8.3模型推广 本模型不仅适用于车间刀具的检测，对其他不能直接检测而检测产品的问题同样适用。同时本模型不仅适用于单工序

24、生产，还可以拓展到多工序的生产问题中。参考文献1 宋来忠，王志明,数学建模与实验,北京：科学出版社,2005。2 朱道元等，数学建模案例精选，北京：科学出版社，20033 盛骤，谢式千，潘承毅，概率论与数理统计（浙大第三版），高等教育出版社，20074 运筹学教材编写组编，运筹学（3版），北京：清华大学出版社，2005.6附录第一问的程序 function y=myfun(k,n)clear;clca=459 362 624 542 509 584 433 748 815 505612 452 434 982 640 742 565 706 593 680926 653 164 487 734

25、 608 428 1153 593 844527 552 513 781 474 388 824 538 862 659775 859 755 649 697 515 628 954 771 609402 960 885 610 292 837 473 677 358 638699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120447 654 564 339 280 246 687 539 790 581621 724 531 512 577 496 468 499 544 645764 558 378 765 666 763 217 715 310 851;a=res

26、hape(a,1,100);junzhi=mean(a);biaozhuncha=std(a);fangcha=var(a);x1=1:1200;y2=normcdf(x1,600,196.6292);syms xp=polyfit(y2,x1,7);y=poly2str(p,x);y=234521.8102 *x7 - 820675.4379 *x6 + 1149655.4062 *x5 - 822687.9167* x4+ 318787.5027 *x3 - 65736.434* x2 + 7232.907* x + 51.2888;x=subs(y,x,0.001:0.002:1); n

27、=length(y) ;x=round(x);t1=50;cell50,500=;k1=50;k2=500;for d=1:t1 for n=1:floor(k2/d) for i=1:n k(i)=x(i-1)*d+1); end celld,n =k ; k=; end endmmm=zeros(50,k2);for t=1:50 for j=1:k2 k=cellt,j;n=length(k);if n=0 break;elsegz=zeros(1,n); % Coefficients: p1 = 2.0149e-022; p2 = -1.0498e-018; p3 = 2.1751e-

28、015; p4 = -2.2636e-012; p5 = 1.2327e-009; p6 = -3.407e-007; p7 = 4.7618e-005; p8 = -0.0026611; p9 = 0.036721; q1 = 4.4495e-026; q2 = -2.403e-022; q3 = 5.2302e-019; q4 = -5.817e-016; q5 = 3.4804e-013; q6 = -1.1287e-010; q7 = 2.2096e-008; q8 = -1.8975e-006; q9 = 0.00010151; q10 = 0.00032867 ;y11=1/9*p

29、1*k.9+1/8*p2*k.8+1/7*p3*k.7+1/6*p4*k.6+1/5*p5*k.5+1/4*p6*k.4+1/3*p7*k.3+1/2*p8*k.2+p9*k; y2 = q1*k.9 + q2*k.8 +q3*k.7 + q4*k.6 + q5*k.5 + q6*k.4 +q7*k.3 + q8*k.2 +q9*k.1 + q10; zg=0; for i=1:n if i=1gz(i)=(10*i+3000+200*k(i)*(y2(i)-0)-200*(y11(i)-0);zg=zg+gz(i); else gz(i)=(10*i+3000+200*k(i)*(y2(i)

30、-y2(i-1)-200*(y11(i)-y11(i-1);zg=zg+gz(i); endend wgz=(1000+10*(n-1)*(1-y2(n); zhp=y11(n)+k(n)*(1-y2(n); y=(wgz+zg)/(zhp); mmm(t,j)=y; endendendfor i=1:50for j=1:k2 if mmm(i,j)=0 mmm(i,j)=100; endendendk3=b,v=min(min(mmm);k4=b,v=min(min(mmm);weizhi=find(mmm=mmin)cellk3,k4问题二的程序（1）函数方程拟合源代码： %a=459 3

31、62 624 542 509 584 433 748 815 505612 452 434 982 640 742 565 706 593 680926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844527 552 513 781 474 388 824 538 862 659775 859 755 649 697 515 628 954 771 609402 960 885 610 292 837 473 677 358 638699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120447 654 564 339 280 246 687 539

32、 790 581621 724 531 512 577 496 468 499 544 645764 558 378 765 666 763 217 715 310 851;a=reshape(a,1,100);junzhi=mean(a);biaozhuncha=std(a);fangcha=var(a);x1=1:1200;%概率密度y0=normpdf(x1,600,196.6292);%由于考虑到刀具损坏故障占95%, 其它故障仅占5%。y1=y0*0.95+0.05/1050*ones(1,length(y0);plot(x1,y1),%figure 1 积分拟合后=y2;%对机器零

33、件的概率分布的拟合；y11=y1.*x1; figure, plot(x1,y11),%figure 2 %对y1积分的概率分布函数y2; syms x p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 y1=p1*x8 + p2*x7 +p3*x6 + p4*x5 +p5*x4 + p6*x3 +p7*x2 + p8*x1 +p9 ;y2=int(y1,x,0,k);%即y2=1/9*p1*x9+1/8*p2*x8+1/7*p3*x7+1/6*p4*x6+1/5*p5*x5+1/4*p6*x4+1/3*p7*x3+1/2*p8*x2+p9*x;%对y11的积分y11=y1(i)*x(i)

34、的概率分布=y3；syms x q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8 q9 q10;y11=q1*x9+q2*x8+q3*x7+q4*x6+q5*x5+q6*x4+q7*x3+q8*x2+q9*x1+q10; y3=int(y11,x,0,k); %即y3=1/10*q1*k10+1/9*q2*k9+1/8*q3*k8+1/7*q4*k7+1/6*q5*k6+1/5*q6*k5+1/4*q7*k4+1/3*q8*k3+1/2*q9*k2+q10*k;%Coefficients:Norm of residuals = 0.00019961; p1 = 3.1755e-025; p2 =

35、 -1.5245e-021; p3 = 2.8816e-018; p4 = -2.6894e-015; p5 = 1.2774e-012; p6 = -3.0004e-010; p7 = 3.9165e-008; p8 = -1.5612e-006; p9 = 8.8067e-005; %Coefficients:Norm of residuals = 0.12987 q1 = 2.4578e-025; q2 = -1.1369e-021; q3 = 2.0059e-018; q4 = -1.6165e-015; q5 = 5.0476e-013; q6 = 3.1234e-011; q7 =