水文统计例题

1、一、事件与概率1、一批按同一标准设计的小型水库，建成后能正常运行30年的概率为0.95，能正常运行40年的概率为0.80，问现在已正常运行了 30年的水库能正常运行到 40年的概率是多少？解：设A表示建成后能正常运行 30年”的事件，B表示能正常运行 40年”的事 件，则所求概率为2、某地区D位于甲乙两河汇合处，假设其中任一河流泛滥都导致该地 区淹没，如果每年甲河泛滥的概率为0.2，乙河泛滥的概率为 0.4，当甲河泛滥导致乙河泛滥的概率为0.3，求：1、任一年甲乙两河都泛滥的概率；2、该地区被淹没的概率；3、由乙河泛滥导致甲河泛滥的概率。解：令A表示事件“甲河泛滥” ，B表示事件“乙河泛滥”

2、，C表示事件“地区 D被淹没”，则 AB为事件“两河都泛滥”，则：3、 某防汛部门有甲乙两人各自独立开展洪水预报。甲报准的概率P(A)=0.88,乙报准的概率P(B)=0.92，求在一次预报中，甲乙两人中至少有1人报准的概率。解：设C表示事件“至少有11人报准”，则C=A+B由于A与B相互独立，故P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.88+0.92-0.88 X 0.92 0.994、 统计浙江浦阳江甲乙两地在1964-1966年3年内6月份90天中降雨的日数。甲地下雨46天，乙地下雨45天，两地同时下雨 42天。假定两地 6月份任一天为雨日的频率稳定， 试问：1、6月

3、份两地降雨是否相互独立？1、6月份任一天至少有一地降雨的概率为多少？解:设A,B分别表示6月份任一天甲乙两地降雨的时间，则P(A)=46/90;P(B)=45/90,1) 1、根据假定降雨频率稳定，所以以频率作为概率的近似值。P(A/B)=P(AB)/P(B)=(42/90)/(45/90)=42/45=0.93而P(A)=46/90=0.51则P(A/B)与P(A)不等，故不是相互独立事件2、P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=46/90+45/90-42/90=0.545、 一批水文数据由 A1, A2, A3三人抄录，各人抄录的数据分别为数据总量的0.5 , 0.25 ,0.2

4、5。各人的抄错率分别为2% 1% 0.5%，现从这批数据中任取一个，求该数据恰为错误数据的概率。解：Ai表示事件“该数为 Ai所抄录”。i=1,2,3, B表示事件“所取数据为错误数据”。P(B)=P(A1)*P(B/A1)+P(A2)*P(B/A2)+P(A3)*P(B/A3)=0.5 *2%+ 0.25* 1% +0.25* 0.5%=0.01375例艸 某班有学员30人有2张歌星演咽会的入场券，采用抽签方祛进齐分 配盒中装入30个纸签.其中2，签上写有中”字標抽到“中”宁签音即可获得人 场卷:现问第1个抽的学员和第2个抽的学员抽到41中”字签的概率各为多少？解 没右分别击示事件第个抽的学

5、员及第2个抽的学员抽觐“中宁 枳则pJ = M M S巩人J 二PSJ = |q因为右+入-nXjJi = 4所以儿构成亍完备群，根据全概率公式得P(A2) =P(4l)lA)十尸(AJP(為 |召)1L28 7 21_ 15 29 30 29156、一批水文数据由 A1, A2, A3三人抄录，各人抄录的数据分别为数据总量的0.5 , 0.25 ,0.25。各人的抄错率分别为2% 1% 0.5%，现从这批数据中任取一个，该数据为错误的，试问该错误数据是由 A1抄录的概率是多少？解：P(A1)=0.5，P(B/A1)=2%, P(B)=0.01375由贝叶斯公式得：P(A1/B)=(P(A1)

6、*P(B/A1)/P(B)=0.5*2%/0.01375=0.727二、随机变量及其分布1、有一批产品共100件，其中有5件次品，今从中任取 2件，我们可用X来表示任取的2 件产品中次品的件数。解：用“ X=0表示“没有取到次品” ；“X=1 ”表示“取到1件次品” ；“X=2”表示“取到2 件次品有关随机变量几个概念总体：在统计数学中，把某种随机变量所取数值的全体，称为总体。水文特征值如年径流量的总体数是无穷的样本：从总体中不带主观成分任意抽取的一部分，称为样本。样本所包含的项数，称为样本容量离散型随机变量的概率分布设随机变量X为离散型随机变量，则 X的取值可以一一列举出来。若X的所有可能取

7、值为xi(i =1,2 )，X取 xi 的概率为 Pi，即 P(X = xi) = Pi ,i = 1,2 则上式称为随机变量 X的概率函数。将X的所有可能取值xi以及与其相应的概率 Pi列成表，此表称为随机变量 X的分布列Xx2 * v兀 * 4片p2 V V 1!离散型随机变量的分布函数为:F (尤)=P (X =0,i=1,2,3,性质2:1、一批含有13只正品、2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，求抽得次品数X的分布列及分布函数。解：从含有2只次品的15只产品中抽取3只，抽得的次品数的可能取值为0,1,2。X的分布列为:X012P(X=xi)22/3512/351/35X的分布函数为:F(X)=侧3 已旬甜机嚨帚肾的分布寓戴为求丹” 和严寻人F*(l C； X 1 - (0.98 J*11 4 40)(6 02)(6 9*)絆宜捲计其I：式星然是麻烦趴利用近伯式(2 -来计祥嶽率P( X2).因为 P(X = *) * 塔一.A =8= 0) P(X = 1) 8t因此-9r 4 一 1 -0.003 (LW76、据气象部门预测，某号台风即将在我国东南沿海某地桩号为1000-2000km的海岸线登陆，如果登陆点 x是在1000-2000km区间内服从均匀分布