第二章 点直线平面投影

1、普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材建筑工程制图（第三版）建筑工程制图（第三版）第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影投影的基本知识投影的基本知识点的投影点的投影直线的投影直线的投影平面的投影平面的投影投影变换投影变换平面直线的相对位置平面直线的相对位置第一节第一节 投影的基本知识投影的基本知识 在日常生活中看到这样一些现象：在日常生活中看到这样一些现象： 物体在灯光或日光照射下，会在地面、墙面或其物体在灯光或日光照射下，会在地面、墙面或其它物体的表面上产生影子，并能在某种程度上显示出它物体的表面上产生影子，并能在某种程度上显示出物体的形状和大小

2、，并随光线照射方向的不同而变化。物体的形状和大小，并随光线照射方向的不同而变化。投影的方法就是人们从这些自然现象中抽象出来的。投影的方法就是人们从这些自然现象中抽象出来的。1、投影的形成、投影的形成H光线光线影子影子光线光线投影投影H投影面投影面投射线投射线规定规定：影子落在一个平面影子落在一个平面上，且光线可穿透物体，上，且光线可穿透物体，使得所产生的影子不象真使得所产生的影子不象真是影子那样黑色一片，而是影子那样黑色一片，而能在影子范围内有线条来能在影子范围内有线条来显示物体的完整形象。显示物体的完整形象。 应用通过物体的一组选定的直线，在一个选定应用通过物体的一组选定的直线，在一个选定的

3、面上形成的图形，称为该物体在该面上的的面上形成的图形，称为该物体在该面上的投影投影。2、投影的分类投影的分类 按照投射线之间的关系和对投影面的方按照投射线之间的关系和对投影面的方向不同向不同投投 影影中心投影中心投影平行投影平行投影正投影正投影斜投影斜投影中心投影法中心投影法 投射中心、物体、投影面三者之间投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差度量性较差投射线投射线投射中心投射中心物体物体投影面投影面投影投影物体位置改物体位置改变，投影大变，投影大小也改变小也改变 这种投射线这种投射线集中于一点时集中于一点时的投影称为中的投影称为中

4、心投影心投影。 2、投影的分类投影的分类 按照投射线之间的关系和对投影面的方按照投射线之间的关系和对投影面的方向不同向不同平行投影平行投影正投影正投影斜投影斜投影 投射线垂直于投射线垂直于投影面时的投影投影面时的投影称为正投影。称为正投影。 投射线倾斜于投射线倾斜于投影面时的平行投影面时的平行投影称为斜投影。投影称为斜投影。 2、投影的分类投影的分类平行投影平行投影 投射线垂直于投射线垂直于投影面时的投影投影面时的投影称为正投影。称为正投影。 S1.1.正投影正投影SHABCabc2、投影的分类投影的分类平行投影平行投影 投射线倾斜于投射线倾斜于投影面时的平行投影面时的平行投影称为斜投影。投影

5、称为斜投影。 H2.2.斜投影斜投影90SSABCabc平行投影法平行投影法投影大小与物体和投影面之间的距离无关。投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好度量性较好工程图样多数采用正投影法绘制。工程图样多数采用正投影法绘制。投射线互相平行投射线互相平行且垂直于投影面且垂直于投影面斜角投影法斜角投影法投射线互相平行投射线互相平行且倾斜于投影面且倾斜于投影面直角（正）投影法直角（正）投影法即即:正投影法正投影法3、 平行投影的特性平行投影的特性 1.真实性真实性 当线段或平面平行于投影面时，其平行投影反当线段或平面平行于投影面时，其平行投影反映实长或实形。这种投影性质称为真实性。映实长或实

6、形。这种投影性质称为真实性。 AabBBACacbHH3、平行投影的特性平行投影的特性 2.积聚性积聚性 当直线或平面平行于投射线时，（在正投影时，则垂当直线或平面平行于投射线时，（在正投影时，则垂直于投影面），则直线的平行投影积聚为一点；平面的平直于投影面），则直线的平行投影积聚为一点；平面的平行投影积聚为一条直线。这种性质称为积聚性。行投影积聚为一条直线。这种性质称为积聚性。 Aa(b)BHBACHcabH3、 平行投影的特性平行投影的特性 3.类似性类似性 当直线或平面倾斜于投影面时，则直线的正投影为小当直线或平面倾斜于投影面时，则直线的正投影为小于实长的直线，平面的正投影为小于实形的平

7、面图形，如于实长的直线，平面的正投影为小于实形的平面图形，如三角形仍投射成三角形。这种性质称为类似性。三角形仍投射成三角形。这种性质称为类似性。 bcadHABBCDAab3、 平行投影的特性平行投影的特性 4从属性从属性 点在直线上，点的投影一定在该直线的同面投影上。点在直线上，点的投影一定在该直线的同面投影上。这种性质称为从属性。这种性质称为从属性。 5 5定比性定比性 直线上两线段上的长度之比，等于它们的平行投影的直线上两线段上的长度之比，等于它们的平行投影的长度之比，这种性质称为定比性。长度之比，这种性质称为定比性。若若: K在在AB上上则则: k在在 ab上上 AK:KB=ak:kb

8、abKABHk3、平行投影的特性平行投影的特性 6平行性平行性 相互平行的直线在同一投影面上的平行投影仍然相互相互平行的直线在同一投影面上的平行投影仍然相互平行，且空间线段的长度之比等于它们的同面投影的长度平行，且空间线段的长度之比等于它们的同面投影的长度之比，这种性质称为平行性。之比，这种性质称为平行性。 若若 ABCD则则 abcdacbdacbfedHHACDBABCDFE4、 工程中常用的投影工程中常用的投影 在表达工程物体时，由于表达目的和被表达对象在表达工程物体时，由于表达目的和被表达对象的不同，往往需要采用不同的工程图。常用的工程图的不同，往往需要采用不同的工程图。常用的工程图有

9、下列四种：有下列四种： 1.1.正投影图正投影图2.2.轴测投影图轴测投影图 3.3.透视投影图透视投影图4.4.标高投影图标高投影图 4、 工程中常用的投影工程中常用的投影 一个物体在几个投影面上的正投影，称为正投影图。一个物体在几个投影面上的正投影，称为正投影图。 特点特点 作图较其它图示法简便，便于度量，工程上应用最广，作图较其它图示法简便，便于度量，工程上应用最广，但缺乏立体感。但缺乏立体感。(1) (1) 正投影图正投影图4、工程中常用的投影工程中常用的投影 物体在一个投影面上的平行投影，称为轴测投影，也称物体在一个投影面上的平行投影，称为轴测投影，也称为轴测图。为轴测图。 特点特点

10、： 立体感强，非常直观。但是作图较繁，表面形状在图中立体感强，非常直观。但是作图较繁，表面形状在图中往往失真，度量性差，只能作为工程上的辅助性图样。往往失真，度量性差，只能作为工程上的辅助性图样。(2) (2) 轴测投影图轴测投影图4、工程中常用的投影工程中常用的投影 以人眼为中心，物体在一个投影面上的中心投影，称为以人眼为中心，物体在一个投影面上的中心投影，称为透视投影。透视投影。 (3) (3) 透视投影图透视投影图( (采用中心投影法采用中心投影法) )特点特点 图形逼真，直观性强。但作图复杂。形体的尺寸不能直接图形逼真，直观性强。但作图复杂。形体的尺寸不能直接在图中度量，故不能作为施工

11、依据，仅用于建筑设计方案的比在图中度量，故不能作为施工依据，仅用于建筑设计方案的比较及工艺美术和宣传广告画等。表达房屋及装饰的立体效果。较及工艺美术和宣传广告画等。表达房屋及装饰的立体效果。4、工程中常用的投影工程中常用的投影 标高投影图是在物体水平投影面上加注某些特征面、线标高投影图是在物体水平投影面上加注某些特征面、线以及控制点的高度数值的单面正投影以及控制点的高度数值的单面正投影 。 (4) 标高投影图标高投影图第二节第二节 点的投影点的投影空间点空间点A A的单面投影的单面投影 HAa由单面投影定空间点的位置由单面投影定空间点的位置 HaCBA 只根据点在一个投影面上的投影，不能确定该

12、点只根据点在一个投影面上的投影，不能确定该点在空间的位置。在空间的位置。 分角的概念分角的概念中途返回请按“ESC” 键我国采我国采用第一用第一分角分角H HW WV V一、三投影面体系一、三投影面体系正立投影面（简称正正立投影面（简称正 面用面用V V表示）表示）水平投影面（简称水水平投影面（简称水 平面用平面用H H表示）表示）侧立投影面（简称侧侧立投影面（简称侧 面用面用W W表示）表示）O OX XZ Z OXOX轴轴 V V面与面与H H面的交线面的交线 OZOZ轴轴 V V面与面与W W面的交线面的交线 OYOY轴轴 H H面与面与W W面的交线面的交线三个投影面三个投影面互相垂直

13、互相垂直Y Y 原点原点O OX XY YZ ZO OV VH HW W向后向后旋转旋转90向下旋转向下旋转90不动不动注意：注意：OY轴一分为轴一分为二：二： YH、Yw三、投影面展开三、投影面展开V VW WH H三视图的形成视图的形成 用正投影法绘制的物体的投影图称为视图。用正投影法绘制的物体的投影图称为视图。正面投影正面投影 体的正面投影体的正面投影正面图正面图水平面投影水平面投影 体的水平投影体的水平投影水平面图水平面图侧面投影侧面投影 体的侧面投影体的侧面投影左侧立面图左侧立面图2.2.三视图之间的度量对应关系三视图之间的度量对应关系正面图与水平面图长相等且对正正面图与水平面图长相

14、等且对正正面图与左侧立面图高相等且平齐正面图与左侧立面图高相等且平齐水平面图与左侧立面图宽相等且对应水平面图与左侧立面图宽相等且对应长长高高宽宽宽宽长对正长对正宽相等宽相等高平齐高平齐三等关系三等关系V面投影面投影反反映了形体的映了形体的正面形状和正面形状和长度及高度长度及高度高高高高宽宽长长长长宽宽W面投影面投影反映反映了形体的左侧了形体的左侧面形状和面形状和高度高度及宽度及宽度H面投影面投影反映反映了形体水平面了形体水平面的形状和的形状和长度长度及宽度及宽度平面立体的投影性质平面立体的投影性质三面投影的度量关系三面投影的度量关系YWOXZYH长对正长对正 高平齐高平齐 宽相等宽相等三面正投

15、影的投影关系三面正投影的投影关系平面立体的投影性质平面立体的投影性质高高高高宽宽长长长长宽宽YWOXZYHV面投影和面投影和H面投影面投影“长相等长相等”V面投影和面投影和W面投影面投影“高相等高相等”H面投影和面投影和W面投影面投影“宽相等宽相等” V面投影图反映形体的上、下和左、右关系；面投影图反映形体的上、下和左、右关系；H面投面投影图反映形体的前、后和左、右关系；影图反映形体的前、后和左、右关系；W面投影图反映面投影图反映形体的上、下和前、后关系。形体的上、下和前、后关系。右左左右前前上下下上后后后前 左右下上三面正投影的方位关系三面正投影的方位关系平面立体的投影性质平面立体的投影性质

16、YWOZYHX3.3.三视图之间的方位对应关系三视图之间的方位对应关系 正面图反映：上、下正面图反映：上、下 、左、右、左、右 水平面图反映：前、后水平面图反映：前、后 、左、右、左、右 左侧立面图左侧立面图反映：上、下反映：上、下 、前、后、前、后上上下下左左右右后后前前上上下下前前后后左左右右上上下下左左右右前前后后W WH HV VO OX XZ ZY Y二、空间点在三个投影面上的投影二、空间点在三个投影面上的投影a 正面投影正面投影a 水平投影水平投影a 侧面投影侧面投影a aa A A规定规定:空间点空间点-用大写字母表用大写字母表示。示。投影点投影点-用相应小写字用相应小写字母表示

17、。母表示。W WH HV VO OX XZ ZY Y二、空间点在三个投影面上的投影二、空间点在三个投影面上的投影a 正面投影正面投影a 水平投影水平投影a 侧面投影侧面投影a aa A A规定规定:空间点空间点-用大写字母表用大写字母表示。示。投影点投影点-用相应小写字用相应小写字母表示。母表示。X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a 向后向后旋转旋转90向下旋转向下旋转90不动不动注意：注意：OY轴一分为轴一分为二：二： YH、Yw三、投影面展开三、投影面展开45 点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影HVOXaaZaXaza”WYHYW带边框的三面投影图带边框的

18、三面投影图OXaaZaXaza”YHYWaYHaYW去边框的三面投影图去边框的三面投影图点的三面投影规律点的三面投影规律 （1 1）点的水平投影和正面投影的连线垂直于）点的水平投影和正面投影的连线垂直于OXOX轴轴 （aaOX) ) （2 2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直于）点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZOZ轴轴 （aa”OZ) )HVOXAaaWYZa”axayaz45OXaaZaXaza”YHYWaYHaYW点的三面投影规律点的三面投影规律(3)(3)各投影到投影轴的距离，等于该点到通过该轴的各投影到投影轴的距离，等于该点到通过该轴的相邻投影面的距离。相邻投影面的距离。( (也

19、等于空间点到投影面的距离也等于空间点到投影面的距离) )Aax = a az =A 到到V 面面的距离的距离a ax= a aYW =A 到到H 面面的距离的距离a az = aaYH =A 到到W 面面的距离的距离HVOXAaaWYZa”axayazOXaaZaxaza”YWaYHaYWYH点的三面投影规律点的三面投影规律【例2-1】已知点已知点A的水平投影的水平投影a和正面投影和正面投影a , ,求侧面投影求侧面投影a”。中途返回请按“ESC” 键aa”aOXZYWYH特殊位置的点特殊位置的点 下一页下一页特殊位置的点特殊位置的点 1 1投影面上的点投影面上的点：一投影与该点本身重合，另外

20、两投影在投影轴上。一投影与该点本身重合，另外两投影在投影轴上。 2 2投影轴上的点投影轴上的点：两投影重合于该点本身，另外一投影与原点两投影重合于该点本身，另外一投影与原点O O重合。重合。 3 3一点与原点重合一点与原点重合：三个投影亦均与原点重合。：三个投影亦均与原点重合。HVOXCBbWYZDddd”b”bc c”OXZYHYWbb”cc”ccddd”点的投影与坐标的关系点的投影与坐标的关系 HVAaaWYZa”aXayazOXA点到点到W W面的距离面的距离( (Aa”)=A点的点的x坐标（坐标（Oax x) )A点到点到V V面的距离面的距离( (Aa)=A点的点的y坐标（坐标（Oa

21、y y) )A点到点到H面的距离面的距离( (Aa)=)=A点的点的z坐标（坐标（Oaz z) )OXaaZazaXa”YHYWaYHaYWXZYyyxxzz后后前前后后前前左左右右 a a aAb b bBXYZZYHXYWbbaa”b”a两点的相对位置两点的相对位置 是指平行于投影轴是指平行于投影轴X、Y、Z 的左右、前后和上下的相对关系。的左右、前后和上下的相对关系。X值大的点值大的点在左在左Y值大的点值大的点在前在前Z值大的点值大的点在上在上B点在点在A点的左边点的左边A点在点在B点的前边点的前边A点在点在B点的上边点的上边左左右右上上下下上上下下 第三节第三节 两点的相对位置和重影点

22、两点的相对位置和重影点 两点的相对距离，并非指两点的相对距离，并非指两点间的真实距离，而是指平两点间的真实距离，而是指平行行 X、Y、Z轴的距离，即到轴的距离，即到W、V和和H面的距离差面的距离差, ,即：即：一、两点的相对距离一、两点的相对距离坐标差：坐标差：X（长度差）（长度差）Y（宽度差）（宽度差）Z（高度差）（高度差） 二、重影点及可见性重影点及可见性 两点位于某一投影面的两点位于某一投影面的同同一条投射线上一条投射线上，则它们在这，则它们在这一个投影面上的投影互相重一个投影面上的投影互相重叠，该两点叠，该两点称为对该投影面称为对该投影面的一对重影点的一对重影点。 一个投影面上重影点的

23、可见性，必须依靠该两点一个投影面上重影点的可见性，必须依靠该两点在另外的投影面上的投影来判定。在另外的投影面上的投影来判定。 规定规定：重合投影标记为：可见点写在前面，把不：重合投影标记为：可见点写在前面，把不可见点的字母写于后面；或者将不可见点加以圆括号。可见点的字母写于后面；或者将不可见点加以圆括号。 HBa(b)AOZXYHYW VWHZXYOOZXYHYW ABDCFEbaa(b)bac(d)dcdceff ee(f )ef efe(f )cdcdc(d)a(b)baabVZXWHYVWHZXYOOOZXYHYW 二、重影点及可见性重影点及可见性 H面的重面的重影点影点A、BV面的重面

24、的重影点影点C、DW面的重面的重影点影点E、F三种情况三种情况 三、 有轴投影图和无轴投影图有轴投影图和无轴投影图 1. 1. 有轴投影图：表示出投影轴的投影图。有轴投影图：表示出投影轴的投影图。 2. 2. 无轴投影图：不画投影轴的投影图。无轴投影图：不画投影轴的投影图。 投影图上不画投影轴时，空间两点的相对位置、相对距离投影图上不画投影轴时，空间两点的相对位置、相对距离没有变化，所以表达其它几何形体时，可以不画投影轴。但是没有变化，所以表达其它几何形体时，可以不画投影轴。但是仍然应该想象成空间存在各种方向的投影面和投影轴。因此，仍然应该想象成空间存在各种方向的投影面和投影轴。因此，三个投影

25、之间互相排列方向，仍旧按有投影轴时一样，投影特三个投影之间互相排列方向，仍旧按有投影轴时一样，投影特性不变，即它们投影之间的连线方向亦不变。性不变，即它们投影之间的连线方向亦不变。 投影的形状、大小不受物体和投影面之间投影的形状、大小不受物体和投影面之间的距离影响。的距离影响。正投影法正投影法2 2. 无轴投影图无轴投影图HVOXBAababOXaabb 当投影面平行移动时，只能引起投影轴的移动，当投影面平行移动时，只能引起投影轴的移动，而不能引起投影图的形状和大小的变化。而不能引起投影图的形状和大小的变化。LH1O1X1La1b1O1X1La1b12 2. 无轴投影图无轴投影图 在工程上，一

26、般只要求投影图能够表达空间形体的在工程上，一般只要求投影图能够表达空间形体的形状和大小，而不需考虑对投影面的距离。因此，可形状和大小，而不需考虑对投影面的距离。因此，可以不必画投影轴。以不必画投影轴。2. 无轴投影图无轴投影图HVOXBAababOXaabbLH1O1X1La1b1O1X1La1b1HVOXBAababOXaabbLH1O1X1La1b1O1X1La1b1不画出投影轴的正投影图就叫做不画出投影轴的正投影图就叫做无轴投影图无轴投影图。 2. 无轴投影图无轴投影图 2. 无轴投影图无轴投影图 【例【例2-22-2】已知】已知A点的投影点的投影a、a”，B点的投影点的投影b、b。 求

27、求a、b”。单击绿色按纽单击绿色按纽第四节第四节 直直 线线 的的 投投 影影直线的投影直线的投影直线的实长直线的实长 直线上的点直线上的点两直线的相对位置两直线的相对位置直线的投影特性直线的投影特性 空间直线是无限长的，但在投影图中我们常以空间直线是无限长的，但在投影图中我们常以有限长的线段来代表直线。直线的空间位置可由直有限长的线段来代表直线。直线的空间位置可由直线上任意两点的位置确定（或直线上一点及指向）。线上任意两点的位置确定（或直线上一点及指向）。 直线的投影一般仍为直线。直线的投影一般仍为直线。 HH直线的投影特性直线的投影特性 Ha(b)BAabbaABAB 当直线垂直投影面时，

28、其投影当直线垂直投影面时，其投影积聚为一点积聚为一点，如图（，如图（a）所）所示；当直线平行投影面时，其投影与直线本身示；当直线平行投影面时，其投影与直线本身平行且相等平行且相等，如，如图（图（b）所示；当直线倾斜于投影面时，其投影的长度比直线）所示；当直线倾斜于投影面时，其投影的长度比直线本身的本身的长度缩短长度缩短，如图（，如图（c）所示。）所示。(a)(b)(c)OXBAababOXaabb直线的投影图直线的投影图 VH 作直线的投影，只需作出直线上两端点的投影，并连接该作直线的投影，只需作出直线上两端点的投影，并连接该两点在同一投影面上的投影（简称同面投影）即可。两点在同一投影面上的投

29、影（简称同面投影）即可。 在投影图中，直线的投影用在投影图中，直线的投影用粗实线粗实线表示。直线的名称可由表示。直线的名称可由其端点表示（如直线其端点表示（如直线AB，三个投影表示为，三个投影表示为ab、ab、ab）；）；也可以用一个字母表示（直线也可以用一个字母表示（直线L，它的投影表示为它的投影表示为l、l、l)。直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置 在三投影面体系中，根据直线与投影面的相对位在三投影面体系中，根据直线与投影面的相对位置不同，直线可分为置不同，直线可分为投影面垂直线投影面垂直线、投影面平行线投影面平行线和和一般位置直线一般位置直线。前二者统称为。前二者统称为特殊位置

30、直线特殊位置直线。 投影面垂直线投影面垂直线 垂直于某一个投影面，而平行于另两个投影面的垂直于某一个投影面，而平行于另两个投影面的直线称为直线称为投影面垂直线投影面垂直线。投影面垂直线有三种情况：。投影面垂直线有三种情况： 垂直于垂直于H面的直线称为面的直线称为铅垂线铅垂线； 垂直于垂直于V面的直线称为面的直线称为正垂线正垂线； 垂直于垂直于W面的直线称为面的直线称为侧垂线侧垂线。铅垂线铅垂线 ABH单击橙色按钮铅垂线铅垂线 ABH H H面垂直线具有下列投影特性：面垂直线具有下列投影特性： (1)(1)在在H H面上的投影积聚成一点面上的投影积聚成一点; ; (2)(2)在另外两个投影面上在

31、另外两个投影面上V V、W W的投影，反映了实长，并共同平的投影，反映了实长，并共同平行于同一条投影轴行于同一条投影轴Z Z。ZXOYHYWb a b a a(b)b a(b)a a b ABVWYXZOHOZXYHYW VWHZXYOOZXYHYW 三种投影面垂直线的立体图、投影图三种投影面垂直线的立体图、投影图ABABBAbaa(b)ba(a)babababbaa(b )ababa(b )baba(a)ba(b)baabVZXWHYVWHZXYOOOZXYHYW铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性 投影特性：直线在其垂直的投影面上的投影投影特性：

32、直线在其垂直的投影面上的投影积聚为一点积聚为一点；在另两投影面上的投影在另两投影面上的投影共同平行于这两个投影面交成的投影轴共同平行于这两个投影面交成的投影轴（或分别垂直于相应的投影轴），且（或分别垂直于相应的投影轴），且反映直线实长反映直线实长。 读图时，读图时，只要一投影积聚为一点，只要一投影积聚为一点，即可断定该直线是投影即可断定该直线是投影面垂直线（垂直于积聚投影所在投影面）。面垂直线（垂直于积聚投影所在投影面）。OZXYHYWOZXYHYWababa(b )baba(a)ba(b)baabOZXYHYW投影面平行线投影面平行线 平行于某一个投影面，倾斜于另两个投影面的直平行于某一个投

33、影面，倾斜于另两个投影面的直线称为线称为投影面平行线投影面平行线。投影面平行线有三种情况：。投影面平行线有三种情况： 平行于平行于H面的直线称为面的直线称为水平线水平线； 平行于平行于V面的直线称为面的直线称为正平线正平线； 平行于平行于W面的直线称为面的直线称为侧平线侧平线。 水平线水平线 ABHXza b a b OYHYWba Zaa b a bb ABVWYXO (1)(1)在在H面上的投影，平行于直线本身，且为等长；该投影面上的投影，平行于直线本身，且为等长；该投影与水平方向和竖直方向间夹角，分别反映了直线对其他两个投与水平方向和竖直方向间夹角，分别反映了直线对其他两个投影面倾角的大

34、小。影面倾角的大小。 H (2)(2)直线在它不平行的两个投影面上直线在它不平行的两个投影面上V、W的两个投影，共同的两个投影，共同垂直于这两个投影面交成的投影轴垂直于这两个投影面交成的投影轴Z。 VWHZXYOZXYHYWZXYHYWOZXYHYW 三种投影面平行线三种投影面平行线BAabababABbOabaabababbaBAabababbOabaabOababbaVWHZXYOVWHZXYO水平线水平线正平线正平线侧平线侧平线三种投影面平行线三种投影面平行线 投影特性：投影特性：直线在其平行的投影面上的投影，直线在其平行的投影面上的投影，平行于直线平行于直线本身，且反映实长本身，且反映

35、实长；该投影与水平方向和竖直方向间夹角，分；该投影与水平方向和竖直方向间夹角，分别别反映了直线与另两投影面的倾角反映了直线与另两投影面的倾角；在另两投影面上的投影在另两投影面上的投影共共同垂直于这两个投影面交成的投影轴（或分别平行于相应的投同垂直于这两个投影面交成的投影轴（或分别平行于相应的投影轴），且不反映线段的实长影轴），且不反映线段的实长。 读图时，读图时，一个投影平行于投影轴，而另一投影倾斜于投影一个投影平行于投影轴，而另一投影倾斜于投影轴，轴，即可断定该直线是投影面平行线。即可断定该直线是投影面平行线。ZXYHYWZXYHYWOZXYHYWabababbOcbccbOababba一般

36、位置直线一般位置直线 1.一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性 三个投影面上的投影三个投影面上的投影均倾斜于投影轴均倾斜于投影轴，且小于空间线段的实，且小于空间线段的实长；三个投影与相应轴的夹角均不反映直线对投影面的倾角。长；三个投影与相应轴的夹角均不反映直线对投影面的倾角。 a a aa b a bb AZVWYXOHBXOYHYWZa b a b ab一般位置直线一般位置直线 1.一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性 读图时，读图时，只要直线的任两投影呈倾斜状态只要直线的任两投影呈倾斜状态，即可断定该直，即可断定该直线是一般位置直线。线是一般位置直线。 a a aa b a

37、 bb AZVWYXOHBXOYHYWZa b a b ab第五节第五节 一般位置直线的实长和倾角一般位置直线的实长和倾角 aa b bAZVYXOHBa aXOa b abZAZBZAZBKa aABZBZAZBZA 直角三角形法：直角三角形法：在直角在直角AKB中中,直角边直角边AKab；BKBbAa,即即A、B两点的两点的Z坐标差；斜边坐标差；斜边AB为实长；为实长；AB与与AK的夹角，就的夹角，就是直线是直线AB 对对H 面的倾角面的倾角。一般位置直线的实长和倾角一般位置直线的实长和倾角 XOa b abABYAYBYAYB 直角三角形法求直线的实长及直角三角形法求直线的实长及其对某投

38、影面的倾角其对某投影面的倾角: : 应以线段在应以线段在该投影面上的投影该投影面上的投影长度为一直角边长度为一直角边； 以线段以线段两端点到该投影面的距两端点到该投影面的距离差（坐标差）为另一直角边离差（坐标差）为另一直角边构成构成直角三角形。直角三角形。 直角三角形的直角三角形的斜边为线段的实斜边为线段的实长长，斜边与投影的夹角即为空间直斜边与投影的夹角即为空间直线对该投影面的倾角线对该投影面的倾角。 【例【例 】直线】直线AB长长30mm，试补全其正面投影，试补全其正面投影ab。 XOB0 分析：分析：根据直角三角形法，由已知直线的根据直角三角形法，由已知直线的H投影及实长，作投影及实长，

39、作出直线出直线AB的的Z坐标差，便可得到点坐标差，便可得到点B正面投影正面投影b，连接，连接ab即可。即可。 a ab作图：作图：（1）过）过b作作ab的垂线；的垂线；（2）过）过a作作30mm长的线段交长的线段交ab的垂线于的垂线于B0；（3）过）过b作作OX轴的垂线与由过轴的垂线与由过a的水平线交于的水平线交于点点b0，在该垂线，在该垂线上量取上量取 ZAZB bB0b0b，连接连接ab即为所求。即为所求。另一解为另一解为ab1。30mmb0 b b1 【例】【例】 试判断三棱锥各棱线相对于投影面的位置试判断三棱锥各棱线相对于投影面的位置XOa abYHSA、SC:YWZb c s ca

40、(c )s b 一般位置直线一般位置直线 SB : 侧平线侧平线AB、BC:水平线水平线 AC : 侧垂线侧垂线s第六节第六节 直线上的点直线上的点 直线上一点的投影，必在该直线的同面投影上，且符合点直线上一点的投影，必在该直线的同面投影上，且符合点的投影规律的投影规律。 (点点E在直线在直线AB上，点上，点 K不在直线不在直线AB上上 )aa bAVXOHBXOa b abb KEek e k ekke b 直线上的点的投影直线上的点的投影 判断点是否在直线上判断点是否在直线上 一般情况下一般情况下，根据点，根据点的两个投影是否在直线的同的两个投影是否在直线的同面投影上就可以确定。面投影上就

41、可以确定。 当当直线是某一投影面直线是某一投影面的平行线的平行线时，还应观察直线时，还应观察直线所平行的那个投影面上的投所平行的那个投影面上的投影，才能判别一点是否在直影，才能判别一点是否在直线上。线上。XOa abYHYWZa b c cc 故故C点不在点不在AB上。上。 直线上的线段之比直线上的线段之比 点点E在直线在直线AB上上AE:EBae:eb ae: eb ae: eb。 aa bAVXOHBb Ee e 由平行投影的特性可知：若点在线上，由平行投影的特性可知：若点在线上，点分空间线段长度之点分空间线段长度之比等于其同面投影长度之比比等于其同面投影长度之比。 【例【例 】 试把已知

42、线段试把已知线段AB分成分成AC:CB2:3。 XO 分析：分析：由定比性知：由定比性知：ac:cbac: cbAC:CB2:3，为此，用几何作图的，为此，用几何作图的方法分线段方法分线段AB的一个投影（如的一个投影（如ab）为）为ac:cb2:3，可得，可得C点的水平投影点的水平投影c；然后；然后按直线上点的投影特性在按直线上点的投影特性在ab上定出上定出c，C（c、c）即为所求。即为所求。 a b作图：作图：（1）过投影）过投影a作任意辅助线作任意辅助线aB0，在此线上度量五等分，使在此线上度量五等分，使aC0:C0B0=2:3，确定，确定C0；（2）连）连b和和B0，再过，再过C0作辅助

43、线平行作辅助线平行于于B0b交交ab于点于点c，在水平投影在水平投影ab上得上得分点分点C的水平投影的水平投影c ；（3）再由）再由c向上作铅垂连系线，在正向上作铅垂连系线，在正面投影面投影ab上得分点上得分点C的正面投影的正面投影c。b B0C0ac cd 定比法定比法:把正面投影把正面投影e 所分所分cd的比的比m:n移到移到cd上面作出上面作出e 。XOc dc 分析：分析：分析：由投影可知分析：由投影可知CD为侧平线，由为侧平线，由e 不能直接对应不能直接对应作出投影作出投影e，因此可用定比法或第三投影作图。，因此可用定比法或第三投影作图。nmnm作出第三面投影：作出第三面投影： 先作

44、出先作出CD的侧面投影的侧面投影cd，再在，再在cd上作出上作出e，最后在，最后在cd上上找到找到e。Zc d YHYWe e e【例【例 】已知侧平线】已知侧平线CD上一点上一点E的正面投影的正面投影e，要求作出点，要求作出点E的水的水平投影平投影e。 直线的迹点直线的迹点 直线与投影面的交点，称为该直线的直线与投影面的交点，称为该直线的迹点迹点。 水平迹点水平迹点或或H面迹点面迹点：直线与直线与H投影面的交点；投影面的交点； 正面迹点正面迹点或或V面迹点：面迹点：直线与直线与V投影面的交点；投影面的交点； 侧面迹点侧面迹点或或W面迹点：面迹点：直线与直线与W投影面的交点。投影面的交点。 迹

45、点是投影面上的点，故迹点在它所在的投影迹点是投影面上的点，故迹点在它所在的投影面上的投影，与本身重合，在另外投影面上的投影在面上的投影，与本身重合，在另外投影面上的投影在投影轴上。投影轴上。 ba AVXOHBb n Nnm 延长延长AB直线，与直线，与H面面交于交于M点（点（水平迹点水平迹点），），其其H面投影面投影m在在ab上又与上又与M重合，而重合，而V面投影面投影 m必必在在OX轴上又在轴上又在ab 上；上； 延长延长AB直线，与直线，与V面面交于交于N点（点（正面迹点正面迹点），），其其V面投影面投影n在在ab上又与上又与N重合，而重合，而H面投影面投影n在在OX轴上又在轴上又在ab

46、上。上。mMa直线的迹点直线的迹点 直线上的线段之比直线上的线段之比 求作迹点投影的过程：求作迹点投影的过程：水平迹点：水平迹点：延长延长AB的正面投的正面投影影ab 与与OX轴相交于轴相交于m, ,再由再由m引引OX轴的垂线与直线的水轴的垂线与直线的水平投影平投影ab的延长线相交得的延长线相交得m。正面迹点：正面迹点：延长延长AB的水平投的水平投影影ab与与OX轴相交于轴相交于n,再由再由n引引OX轴的垂线与直线的正面投轴的垂线与直线的正面投影影ab的延长线相交得的延长线相交得n。XOa abb mm n n第七节第七节 两直线的相对位置两直线的相对位置 两直线在空间的相对位置有三种：即两直

47、线在空间的相对位置有三种：即平行平行、相交相交、交叉交叉。特殊情况下为互相。特殊情况下为互相垂直垂直。两平行、相交直线均。两平行、相交直线均为为共面直线共面直线，交叉两直线为，交叉两直线为异面直线异面直线。c d 平行两直线平行两直线 若空间两直线互相平行，则其同面投影也平行；反之，若若空间两直线互相平行，则其同面投影也平行；反之，若两直线的同面投影互相平行，则此空间两直线一定平行。两直线的同面投影互相平行，则此空间两直线一定平行。 VWHcda b c d BACDa b abXZa b a b OYHYWbacdc d c d 平行两直线平行两直线根据投影根据投影判断两直线是否平行判断两直

48、线是否平行: 对于对于一般位置的两直线一般位置的两直线，仅根据直线的任意两个同面投影，仅根据直线的任意两个同面投影是否平行即可判别它们在空间是否平行；是否平行即可判别它们在空间是否平行； XZa b a b OYHYWbacdc d c d XOa 对于对于平行于同一投影面的两直线平行于同一投影面的两直线，则需要有一组是被平行的，则需要有一组是被平行的投影面上的投影；或者由各同面投影的指向和长度之比是否一致投影面上的投影；或者由各同面投影的指向和长度之比是否一致来确定。来确定。 ZYHYW平行两直线平行两直线b abc d cda b d c XOa ZYHYWb abc d dca b d

49、c 平行平行 不平行不平行 相交两直线相交两直线 若空间两直线相交，则其同面投影也相交，且各投影的交若空间两直线相交，则其同面投影也相交，且各投影的交点符合点的投影规律。点符合点的投影规律。VWHBACDabXZYOcdc d a b k kKc d b a k XZa b a b OYHYWbacdc d c d kk k 反之，若两直线的同面投影相交，且各同面投影的交点的反之，若两直线的同面投影相交，且各同面投影的交点的连线符合空间一点的投影特性，则两直线在空间一定相交。连线符合空间一点的投影特性，则两直线在空间一定相交。 两条一般位置直线，只要任意两组同面投影符合上述条件，两条一般位置直

50、线，只要任意两组同面投影符合上述条件，即可肯定两直线相交。即可肯定两直线相交。 f e f e efghg h g h 不相交不相交相交两直线相交两直线 如两直线中，只要有一条为如两直线中，只要有一条为某投影面的平行线某投影面的平行线，如要判别，如要判别它们是否相交，应画出在该投影面上的同面投影才能肯定，或它们是否相交，应画出在该投影面上的同面投影才能肯定，或者利用分比法来判定。者利用分比法来判定。 a b cbadc d c d 不相交不相交相交两直线相交两直线e a 【例】【例】 判别四边形判别四边形ABCD是否为平面四边形。是否为平面四边形。 O 分析：分析：若四边形若四边形ABCD为平

51、面四边形，则四边形的两对角线一为平面四边形，则四边形的两对角线一定相交，否则为空间四边形。定相交，否则为空间四边形。a作图：作图：（1）连接）连接ac和和ac；（2）连接）连接bd和和bd；（3）检查）检查ac和和bd的交点的交点与与ac和和bd的交点的交点连线是否垂直连线是否垂直于于OX轴。因交点连线轴。因交点连线不垂不垂直于直于OX轴，所以可判别四边形轴，所以可判别四边形ABCD不是平面四边形。不是平面四边形。 a Xb c d bcd否否 空间既不平行又不相交的两直线，称为空间既不平行又不相交的两直线，称为交叉两直线交叉两直线。交叉两。交叉两直线的各面投影不具备两平行或相交直线的投影特性

52、。直线的各面投影不具备两平行或相交直线的投影特性。交叉两直线交叉两直线 XOa ZYHYWb abc d dca b d c 交叉交叉 f e f e efghg h g h 交叉交叉 VXOH交叉两直线交叉两直线 空间交叉两直线在任何投影面上的投影的交点是空间两个点空间交叉两直线在任何投影面上的投影的交点是空间两个点的重合投影，这两个点分属于两条直线上，因为它们位于同一投的重合投影，这两个点分属于两条直线上，因为它们位于同一投射线上，是射线上，是重影点重影点。投影时，需判断重影点的。投影时，需判断重影点的可见性可见性。 ABCDb a d c abcdMNm(n)n m k (l )LKkl

53、aa Xb c d bcOdm(n)m n lkk (l )VH垂直两直线垂直两直线 相交两直线的夹角的投影一般不反映角的实际大小，只有当相交两直线的夹角的投影一般不反映角的实际大小，只有当构成夹角的构成夹角的两直线平行于同一投影面时两直线平行于同一投影面时，在该投影面上的投影反，在该投影面上的投影反映两直线间的映两直线间的真实夹角真实夹角， b a c BACabcabcb a c VH垂直两直线垂直两直线 空间垂直空间垂直的两直线，若其中有的两直线，若其中有一条直线平行于某一投影面一条直线平行于某一投影面，另一条不平行也不垂直于该投影面时，则两直线另一条不平行也不垂直于该投影面时，则两直线

54、在该投影面上的在该投影面上的投影反映直角投影反映直角，此定理称为，此定理称为直角投影定理直角投影定理。 b a c BACabcABBC、ABBbabABABBbcC平面平面abBbcC平面平面abbc。证明：证明： VH垂直两直线垂直两直线 空间垂直空间垂直的两直线，若其中有的两直线，若其中有一条直线平行于某一投影面一条直线平行于某一投影面，另一条不平行也不垂直于该投影面时，则两直线另一条不平行也不垂直于该投影面时，则两直线在该投影面上的在该投影面上的投影反映直角投影反映直角，此定理称为直角投影定理。，此定理称为直角投影定理。 b a c BAababcb a c 垂直两直线垂直两直线 逆定

55、理：即若两直线的逆定理：即若两直线的同面投影垂直同面投影垂直，且其中一条直线平行且其中一条直线平行该投影面该投影面，则可判定该两直线在，则可判定该两直线在空间相互垂直空间相互垂直。 VHb a c BACabcabcb a c 垂直两直线垂直两直线 直角投影定理不仅适用于相交垂直的两直线，也适用于直角投影定理不仅适用于相交垂直的两直线，也适用于交叉交叉垂直的两直线。垂直的两直线。【例】求点【例】求点C到正平线到正平线AB的距离的距离CD。 分析分析：点到直线的距离，是由该点到该直线所引垂线之长。直线：点到直线的距离，是由该点到该直线所引垂线之长。直线AB为正为正平线，所以点平线，所以点C到到A

56、B的距离的距离CD和和AB的正面投影的正面投影ab与与cd一定相互垂直（一定相互垂直（直角直角投影定理投影定理）。因此，先求出垂线的正面投影，然后求出水平投影，最后用直）。因此，先求出垂线的正面投影，然后求出水平投影，最后用直角三角形法求出垂线实长。角三角形法求出垂线实长。 acb a c bd dCD作图：作图：（1 1）作）作cdab交于交于ab一一点点d。（2 2）由）由d 作竖直连系线交作竖直连系线交ab于一点于一点d，并连结，并连结cd。（3 3）利用直角三角形法求）利用直角三角形法求出出CD的实长的实长。【例】已知正方形【例】已知正方形ABCD对角线的投影，对角线的投影，B在在A的

57、下的下方试完成正方形的两面投影。方试完成正方形的两面投影。 分析分析：正方形对角线一定相交垂直且等长，由正方形对角线一定相交垂直且等长，由acox轴，对角线轴，对角线AC为水为水平线，因此两对角线的水平投影平线，因此两对角线的水平投影acbd。又因。又因BDACac，且对角线半长，且对角线半长KCkc，由对角线的半长的水平投影，由对角线的半长的水平投影kb可求出其可求出其kb的长度和的长度和K、B的的Z坐标差。坐标差。 aeb a c bd 作图：作图：（1 1）求中点的投影）求中点的投影k、k，并过，并过k作对角线作对角线AC的水平投影的水平投影ac。（2 2）直角三角形法求（）直角三角形法

58、求（kbe），求出求出K、B的的Z坐标差，并求出坐标差，并求出b。（3 3）过）过k作对角线作对角线BD的正面投的正面投影影bd，连接对角线的端点，即完，连接对角线的端点，即完成正方形成正方形ABCD的两面投影。的两面投影。oxdk kc第八节第八节 平平 面面平面的投影平面的投影平面对投影面的相对位置平面对投影面的相对位置平面上的点和线平面上的点和线平面上的特殊线平面上的特殊线平面几何元素表示法平面几何元素表示法cbacbaccabbaabccabccaabccababdd不在一直线上三点不在一直线上三点一直线和线外一点一直线和线外一点相交两直线相交两直线平行两直线平行两直线任意平面图形任意

59、平面图形平面的投影性质平面的投影性质1 1、平面图形的投影，由平面图形的轮廓线的投影表示。、平面图形的投影，由平面图形的轮廓线的投影表示。 abccabbaABCXXYZZYHYWabababcccO平面的投影性质平面的投影性质(a)bcad 2 2、平面图形倾斜于某投影面时，在该面上的投影是一个、平面图形倾斜于某投影面时，在该面上的投影是一个类似图形，但形状、大小均可变化类似图形，但形状、大小均可变化( (图图a)a)。 平面的投影性质平面的投影性质(a)bcadd(a)c(b)(b)EFMemf积聚投影3 3、平面垂直于某投影面时，在该面上的投影积聚成一、平面垂直于某投影面时，在该面上的投

60、影积聚成一直线直线( (图图b)b)。 平面的投影性质平面的投影性质(a)bcadd(a)c(b)(b)EFMemf4 4、平面平行于某投影面时，在该面上的投影反映平面、平面平行于某投影面时，在该面上的投影反映平面图形的真实性状、大小和方向等图形的真实性状、大小和方向等( (图图c)c)。 (c)badc迹线表示法迹线表示法迹线是平面与投影面的交线。迹线是平面与投影面的交线。 VHWPPHPVPW侧面迹线水平迹线正面迹线P（迹线平面）迹线平面表示法迹线平面表示法 作出迹线平面的三面投影，由此三面投影即作出迹线平面的三面投影，由此三面投影即可确定平面。可确定平面。迹线表示法迹线表示法迹线平面表示