常微分方程平衡点及稳定性研究.

1、长春理工大学本科毕业论文摘 要本文给出了微分方程稳定性的概念, 并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。 这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的, 无法求出其解析解 , 这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。所以我们讨论了通过 Liapunov 稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性， 并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。在此基础上， 讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性， 这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用 , 并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型.1NtN t r t N

2、t1cNt的平衡点 x1的全局吸引性 , 所获结果改进了文献中相关的结论。关键词： 自治系统平衡点稳定性全局吸引性AbstractIn this paper,we gived the conceptions of differential equation stability. Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analy

3、tical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed th

4、e stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability o

5、f the model, and the global attractivity of the positive equilibrium x 1 of the following delay single population model.1NtN t r t N t1cNtis investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature.Key Words: au

6、tonomous system;equilibrium point;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivityI长春理工大学本科毕业论文目 录摘 要 .IAbstract.I目 录 .II第 1 章 引言 .1第 2 章 微分方程平衡点及稳定性分析 .32.1平衡点及稳定性定义 .32.2自治系统零解的稳定性 .42.2.1V 函数 .42.2.2Liapunov 稳定性定理 .52.3非自治系统的稳定性 .82.3.1V 函数和 k 类函数 .82.3.2零解的稳定性 .102.4判定一阶微分方程平衡点稳

7、定性的方法 .142.4.1相关定义 .142.4.2判定平衡点稳定性的方法 .142.5判定二阶微分方程平衡点稳定性的方法 .152.5.1相关定义 .152.5.2判定平衡点稳定性的方法 .15第 3 章 一类时滞微分方程平衡点的全局吸引性 .173.1差分方程 (3-7)的全局渐近稳定性 .173.2微分方程 (3-1)的全局吸引性 .19第 4 章常微分方程稳定性的一个应用 .23第 5 章 结论 .25参考文献 .27致谢 .29II长春理工大学本科毕业论文第 1 章 引言20 世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生

8、和发展，在自然科学（如物理化学 生物 天文）和社会科学（如工程 经济 军事）中的大量问题都可以用微分方程来描述，尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间 （空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来形态时， 要建立对象的动态模型， 通常要用到微分方程模型， 而稳定性模型的对象仍是动态过程， 而建模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定。稳定性模型不求解微分方程， 而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。20 世纪 5060 年代，在美国贝尔曼 (RBellman)、莱夫谢茨 (SLefschetz)及拉萨尔 (J P LaSalle)等的大力介绍和推动下，稳定理

9、论在世界范围内迅速发展起来。在中国，则在秦元勋、张学铭、许淞庆等的大力提倡下，形成一支可观的研究队伍。叶鲁金等研究李雅普诺夫第1 方法中一次近似系统特征数与稳定性保持问题的关系，并进一步探讨特征数的性质与计算等。50 年代马尔金提出特征数的稳定性问题，贝洛夫等则研究了最大、 最小特征数的上、 下稳定性和特征数的重合等问题。对于李雅普诺夫第2 方法，切塔也夫等研究李雅普诺夫稳定性条件。提出了一致稳定性等概念， 建立了著名的切塔也夫不稳定定理。同时研究了李雅普诺夫稳定性条件的必要性。通过分类并应用微分方程的解构造V 函数，基本上解决了各种稳定性定理的逆问题。关于稳定性定理条件的研究，除了个别条件的

10、削弱，例如dvdt 定号性的减弱等条件之外， 最有名的是向量李雅普诺夫函数和微分不等式比较方法的引入。60年代贝尔曼和马特洛索夫通过向量 V 函数将微分方程稳定性的研究转化为以V函数为自变量的另一微分方程的正解的稳定性的研究。李雅普诺夫定义的稳定性原是局部性质的概念， 在实际应用中往往要考虑全相空间的情形。 50 年代初巴尔巴辛和克拉索夫斯基引进了无限大函数的概念把李雅普诺夫定理推广到全空间， 建立了全局稳定性理论。 其结果后来广泛应用于自动调节系统、电力系统和生态系统中。早在 60 年代，拉萨尔便应用拓朴动力系统的极限集概念建立了“不变性原理”。用李雅普诺夫函数刻划微分方程解的极限集位置。7

11、0 年代以来，不变性原理用于全局稳定性的各种研究。从力学问题中还提出了部分变元稳定性概念。通过对 V函数条件的改进也得到了部分变元稳定性的有关定理。1长春理工大学本科毕业论文70 年代以来，稳定性理论得到了进一步的发展。除了5060 年代发展起来的控制系统的绝对稳定性、 临界情形稳定性、 向量李雅普诺夫函数和比较方法等继续得到发展外，在科学技术发展的推动下还提出了若干新的问题和方法。 同时，稳定性理论与方法，已广泛地渗透到其他学科中去。李雅普诺夫方法已不限于研究稳定性问题，也可应用于研究解的有界性、 振动性等。吉泽太郎 (TYoshizawa)曾深入研究概周期微分方程的稳定性、有界性。同时，利

12、用李雅普诺夫函数研究周期解、概周期解的存在性。李雅普诺夫稳定性理论与方法已渗透到各类学科中去。对动力系统、 泛函微分方程、随机微分方程、 微分积分方程、 含脉冲系统及偏微分方程建立了相应的稳定性理论。李雅普诺夫特征数在浑沌 (Chaos) 和分形 (Fractals)研究中也起着重要作用。今后，稳定性理论将继续在新技术的应用中发挥作用，并在控制理论、偏微分方程、微分积分方程等学科中得到发展。同时，动力系统理论、非线性科学的发展和电子计算机的应用将为稳定性理论的发展开拓新的方向。2长春理工大学本科毕业论文第 2 章 微分方程平衡点及稳定性分析2.1 平衡点及稳定性定义初始值的微小变化对不同系统的

13、影响不同。例如初始值问题dxt 0 ， x0 0(2-1)ax x(0) x0dt的解为 x(t ) x0 eat.x 0 是(2-1)的一个解，我们称它为零解。 当 a 0 时，无论 x0多小，只要 x00，当 t时，总有 x(t )，即初始值的微小变化会导致解的误差任意大；而当 a0 时， x(t )x0eat 与零解的误差不会超过初始误差 x0 ，且随着 t 的增加很快就会消失，所以当x0 很小时， x(t ) 与零解的误差也很小。这个例子表明 a 0 时(2-1)的零解是“不稳定的” ，而当 a 0 时(2-1)的零解是“稳定”的。下面我们就给出微分方程零解稳定的严格定义。设微分方程d

14、xf (t, x) ， x(t0 )x0 ， x Rn(2-2)dt满足解的存在惟一性定理的条件，其解x(t)x(t ,t0 , x0 ) 的存在区间是 (, ) ，f (t, x) 还满足条件f (t ,0)0(2-3)(2-3)保证 x(t) 0 是(2-2)的解，我们称它为零解。定义 2.1 若对任意给定的0，都能找到( , t0 ) ，使得当 x0时(2-2)的解 x(t ,t 0 , x0 ) 满足x(t, t0 , x0 )， tt0(2-4)则称 (2-2)的零解是稳定的，否则称 (2-2)的零解是不稳定的。注 1 (2-2)零解稳定的意义是对任意给定的半径，总能在 Rn 中找到

15、一个以原点为中心、半径为的开球 B ，使得 (2-2)在 tt 0 时刻从 B 出发的解曲线当t t0 时总停留在半径为 的开球 B 内。注 2 (2-2) 的零解不稳定的数学描述是至少存在一个0 0 ，使得对任意的0 ，在开球 B内至少有一个点 x0和一个时刻 t1 t0 ，使得 x(t, t0 , x0 )注 3 对(2-2)_ 0的任何一个解都可以定义稳定性。 事实上，若 x(t)x(t ,t0 , x ) 是(2-2)的一个解，为了考察其他解 x(t)x(t , t0 , x0 ) 和它的接近程度， 我们就可以令_y(t) x(t ) x( t ) ，带入 (2-2) 得3长春理工大学

16、本科毕业论文dy(t )_(2-5)f (t , y(t ) x(t)f (t, x(t)dt_这样一来， (2-2)解 x(t) 的稳定性就转化为 (2-2)零解的稳定性。 所以在本文的讨论中，我们仅研究 (2-2)零解的稳定性。定义 2.2 设 U 是 Rn 中包含原点的一个开区域，对所有x 0U 和任意给定的0，总能找到一个 TT ( , t0 , x0 ) ，使得当 tt 0T 时，有 x(t, t0 , x0 )成立，我们就称 U 是(2-2)零解的一个吸引域，这时称(2-2)的零解是吸引的。U 是 (2-2) 零解的一个吸引域，更简单的描述是对所有 x0U ，均有l i m x t

17、( t,0 x,0) 0 . 即从 U 中出发的解趋于 0 。t定义 2.3 若(2-2)的解释稳定的，又是吸引的，则称 (2-2)的零解是渐近稳定的；如果 (2-2)的零解的吸引域是整个Rn ，则称 (2-2)的零解是全局渐近稳定的。定义 2.4 若定义 2.1 中的与 t0 无关，则称 (2-2)的零解是一致稳定的；若定义 2.2 中的 T 与 t0 和 x0 无关，则称 ( 2-2)的零解是一致吸引的； 若 (2-2)的零解是一致稳定和一致吸引的，则称 (2-2)的零解是一致渐近稳定的。定义 2.5 若有正数，对任意给定的0 ，有0 ，使得当 x0时有0)e( t t0 )x(t ,t0

18、 , x则称 (2-2)的零解是指数渐近稳定的。2.2 自治系统零解的稳定性前面给出了微分方程稳定性的概念，并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。 这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的，无法求出其解析解，这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性，Liapunov 直接方法就是解决这一问题的有效途径。这一节中我们先引入V 函数的定义，然后再给出Liapunov 稳定性定理。2.2.1V 函数设函数 V ( x) 在 Rn 中原点的某邻域 U 中有定义， V ( x) 在 U 中连续可微，且满足 V (0)0 。定义 2.6

19、 若除原点外对所有xU 均有 V ( x)0(V ( x)0) ，则称 V ( x) 为正定函数 ( 负定函数 ) ；若对所有 xU 均有 V ( x)0(V ( x)0) ，则称 V ( x) 为半正定函数或常正函数 ( 半负定函数或常负函数 ) ；若 U 中原点的任一邻域内 V ( x) 既可取正值，也可取负值，则称 V ( x) 为变号函数。例如， V ( x)x12x22x32 是 R3 中的正定函数， V ( x)x12x22 是 R3 中的半正4长春理工大学本科毕业论文定函数，而 V ( x) x12x22 是 R3 中的变号函数。由定义 2.6 看出，V ( x) 正定时必是半正

20、定的。 另外正定和半正定与空间的维数和邻域 U 的大小有关。例如 V( x)x12x22 是 R2 中的正定函数，而它在 R3 中仅是半正定的。 利用化为极坐标的方法可以看出， 函数 V ( x)x12x22x14x24 在 R2中的区域 x12x221中是正定函数，而在 x2x22 中却不是正定函数。212最常用的V函数是二次型 V ()A，因为二次型的表达式简单，其符号xx x类型可以利用线性代数中有关A 的特征值理论来判定， 且一些复杂的 V 函数往往可以通过对二次型的修改得到。一般 V 函数的符号判断十分困难，通常是把V ( x) 在原点展开为 Taylor 级数V ( x) Vm (

21、 x) Vm 1( x)其中 Vm( x) ， Vm1( x) 分别是 x 的 m 次、 m1次齐次函数，根据 V ( x) 展开式中的最低次项，在许多情况下就可以确定V ( x) 在原点邻域内的符号。对正定函数 V ( x) ，容易证明当 c0 充分小时， V ( x)c 是 Rn 中包围原点的闭曲面，且随着 c 趋于零， V (x)c 缩向坐标原点。事实上，由正定函数的定义可知，在 U 内的闭曲面 x上， V ( x) 有正的下界，当 0 c时，在连接原点与 x任一点的任一条连续曲线的线段上至少有一点x0 ，使 V ( x0 )c ，所以 V ( x)c 是包围原点的闭曲面。2.2.2Li

22、apunov 稳定性定理设 n 维自治微分方程dx(2-6)f ( x), f (0) 0dt的解为 x( x1 (t ), x2 (t ), xn (t) 。为了研究 (2-6)解的稳定性，考察随时间变化时V ( x(t ) 的变化情况。将 V ( x(t ) 视为 t 的复合函数，关于 t 求导得dV ( x(t)V dx1V dx2V dxnnV ( x)fk ( x) V ( x) (2-7)dtx1 dtx2 dtxn dtk 1xk(2-7)为函数 V ( x) 沿着 (2-7)轨线的全导数。定理 2.1 若有原点的邻域 U 和一个正定 ( 负定 ) 函数 V ( x ) ，使得

23、V ( x ) 是半负定 ( 半正定 ) 的，则系统 (2-6)的零解是稳定的；且使得 V ( x ) 负定 ( 正定 ) 时， (2-6) 的零解是渐近稳定的。定理 2.1 的几何意义是函数 V ( x) 正定时， V ( x)c是包围原点的闭曲面族，且随着 c 的减少而缩向原点。当全导数V ( x) 半负定时，在 tt0 时过 x0 的轨线0xx(t) 上， V ( x(t ) 的值不会增加， (2-6)的轨线只能停留在 V ( x)V ( x ) 内，所5长春理工大学本科毕业论文以原点是稳定的。当V ( x) 负定时，原点邻域内 (2-6)的轨线不断跑向闭曲面族V ( x)c 中更小的一

24、个闭曲面，最终趋于原点，所以(2-6)的零解是渐近稳定的。该几何意义也正是我们证明定理2.1 的基本思想。证 设 V ( x) 正定，对任意给定的0 ( 不妨假设闭球 Bx, x在 U中 ) ，取m min V ( x)0，x则当 lm 时，V ( x)l 的点 x 必全部位于原点的邻域内。由 V ( x) 的连续性知，必有0 ，使得当 x时 V ( x)l 。由于 V ( x)0 ，当 x0时，对一切 t t0 有，所以 V ( x(t )V ( x0 )l ，当 tt0 时， x(t)。这就说明了 V ( x) 半负定时， ( 2-6)的零解时稳定的。当 V ( x) 负定时， (2-6)

25、的零解稳定，只要 limx(t )0 ，即可证明 (2-6)的零解t渐近稳定。利用反证法，设 (2-6) 的零解不是渐近稳定的，则至少有一个从上述_原点的 邻域内某点出发的解 x(t) ，使得 lim x(t)0 。由于 V ( x) 负定，故 V ( x(t )t_单调下降，从而由 V 的正定性知必有 lim V ( x(t)V *0 ，且 tt0 时 V ( x(t) V * 。t由 V ( x) 的连续性知，必存在0，使得 tt0 时 x(t )。又由于 V ( x) 是负定的，必有0 ，在区域x内， V ( x)0 ，由 (2-7)式得_dV ( x(t )，tt 0(2-8)dt对

26、(2-8)式两边积分得_ 0V ( x(t ) V ( x )(t t 0 )(2-9)_V *(2-9)表明 lim V ( x(t )，这与 V ( x(t )0 矛盾。故 (2-6)的零解是渐近稳定t的。d 2 xdxx 0例 2.1讨论系统 dt 2dt零解的稳定性dx1解 令x2dt ，将该方程化为等价的微分方程组6长春理工大学本科毕业论文dx1x2dt(2-10)dx2x1 x2dt令 V x1, x2 3x122x1x22x22 ，显然 Vx1, x2是正定函数，容易求得 Vx1 , x2 沿(2-10)轨线的全导数为 Vx1, x22x12x22，它是负定函数，由定理 2.1

27、知该系统的零解是渐近稳定的。应当注意，如果取 Vx1, x21x12x22，那么，所求得的 V x1 , x2x22 ，2V x1, x2 是半负定的，由定理 2.1 只能得到 (2-10)的零解稳定这一结论，得不到渐近稳定性。 这表明构造适当的 V函数是非常重要的。 当一个系统的零解事实上是渐近稳定时，我们有可能构造出V 函数用定理2.1 来证明零解是渐近稳定的。也可能所构造出 V 函数仅能证明零解是稳定的， 也可能构造不出 V 函数，连零解的稳定性也无法得到。例 2.1 也提示我们在证明零解渐近稳定时， V x 负定这一条件有可能再补充其他条件后削弱为半负定， 这就是下面的定理2.2，它降

28、低了 V x 负定这一条件，给出了判定渐近稳定性的又一结果。定理 2.2 设在原点的邻域 U 内存在正定函数1，它沿着 (2-6)轨线的全导数V x 是半负定的，如果集合Mx | Vx0内除原点 x 0 外，不在包含系统的其他轨线，则(2-6)的零解是渐近稳定的。证由定理 2.1 知，在定理 2.2 的条件下 (2-6)的零解是稳定的。于是对给定的 00 ( 不妨假设 Bx | x0含在 U 内) ，可以找到0，使得 x 0时，(2-6)满足 x(t0 )x0 的解 x(t)x(t, t0 , x0 ) ；当 t t0 时满 x(t)0 ，且由 V0易见 Vx t 是 t 的单调非增有界函数，

29、故 Vx t必有极限，令lim Vx tV *0t由于 xt,t 0 , x0 的正半轨有界，故它的极限x0 非空，若 xx0 ，则 V xV * ，V x0 . 这表明 xM ，从而有0M 。由于0xx 是由 (2-6)的整条轨线组成，而在 M 中除 x 0外不再包含 (2-6)的其他轨线，故有00 。于是有x7长春理工大学本科毕业论文lim x t,t0, x00。零解的渐近稳定性得证。t例 2.2讨论非线性振动系统dx1x2dt(2-11)dx2fx1g x2dt零解的渐近稳定性。其中fx和 g x都是连续函数，且满足下列条件(1)f00, x1 fx10x10 ，(2)g00, x2

30、g x20x20解 选取 V ( x1, x2 )1 x22x1x1 dx1 ，由条件 (1)知， V (x , x ) 是正定函数。f2012计算 V ( x1 , x2 ) 沿着 (2-11)的轨线的全导数得 V ( x1 , x2 )x2 g x2. 由(2)知 V ( x1 , x2 )是半负定的。又因为集合Mx1 , x2 | V( x1 , x2 ) 0x1 , x2 | x20由 (2-11)可见 x20 时，满足方程组的解必有 x10 ，从而集合 M 内除 (0,0) 外不再包含 (2-11)的其他轨线，所以 (2-11)的零解是渐近稳定的。2.3 非自治系统的稳定性这一节研究

31、非自治系统dxt ,0 0(2-12)f t, x , fdt零解的稳定性问题，将建立与上一节类似的定理。2.3.1 V 函数和 k 类函数设 I = t0 ,) ， U 是 Rn 中包含闭球 Bhx | xh 的一个邻域， V t, x 是I U 上定义的连续可微函数， W ( x) 是 U 上定义的连续可微函数。定义 2.7 若有正定 ( 负定 ) 函数 W ( x) ，使得V (t , x) W ( x) V t, x W ( x)在 I U 上成立，且 Vt , 00 ，则称 V t , x是 I U 上的正定 ( 负定 ) 函数。若V t, x 0 Vt , x0，则称 Vt, x

32、是半正定函数 ( 半负定函数 ) 。注: 分析定理2.1的证明过程，不难发现，正定 ( 负定 ) 函数下述性质是证明的关键所在，即 x时， V xl0 (x时 V xl 0 ) 。对于 V t , x而言，若仅要求 Vt , 00， Vt, x0x0 ，则上述性质不一定能保持。例如 V t, x1 , x2et x12x22。这就是为什么要通过 V x 的正定性来定义 V t , x8长春理工大学本科毕业论文正定的原因。例 如 V t , x1 , x21 e tx12x22是 IR2的 正 定 函 数 ， 而V t , x1 , x2e t x12x22 仅是半正定函数。定义 2.8若 Wx

33、是 Rn 的正定函数，且 limW ()，则称W x是 Rn 上xx的无穷大正定函数。定义 2.9若有正定函数 W1 x ，使得 Vt , xW1 x ，则称 Vt, x 具有无穷小上界；若有无穷大正定函数 W2x ，使得 V t, xW2x ，则称 Vt , x 具有无穷大下界。例如对 Vt, x1, x21e tx12x22，可以取 W1x1, x21 e tx12x22，W1 x1, x21 e tx12x22， 所 以 有 W x, x2V , t ,x xW , x， x即2112112V t, x1 , x2 是具有无穷小上界和无穷大下界的函数。函数 V t , x 具有无穷小上界

34、的特征是当V t , xl0 时，必有正数，使得x，即 x 充分小时，V t, x 可以充分小。当 V t , xV x 时，这就等价于 V 00 ， V x 连续。由此不难理解引入无穷小上界的原因。而V t, x 具有无穷大下界的特征是当x 充分大时， V t, x 可以任意大。定义 2.10 设r 是 RR 的连续函数 Rr | r0 ，且 00 ， r严 格单 调递 增 ，则 称 r是 k 类 函数 ， 记 为 rK 。 若 r还 满足l i m r，则称r 为无穷大 k 类函数。rk 类函数与正定函数、有无穷小上界的函数和有无穷大下界函数之间有着十分密切的关系。引理 2.1 (1)W

35、x 是正定函数的充分必要条件是有1r ，2rK ，使得1xWx2x(2-13)(2) 若有1rK ，使得 V t, x1x，则 V t , x 必是正定函数，反之亦真；(3) 若有2rK ，使得 V t , x2x，则 V t , x 具有无穷小下界，反之亦真；(4)若有无穷大 k 类函数r，使得 V t, xx，则 V t , x 是具有无穷大下界的函数，反之亦真。证由于引理 2.1 的( 2)( 4) 又可以从定义和引理2.1 的(1)直接推出，故在此9长春理工大学本科毕业论文仅证明 (1)。若 有1r， 2rK ， 使 得 (2-13) 成 立 ， 则 显 然 有 W 00和W x 0

36、x0 ，故 W x为正定函数，充分性得证。反过来，若W x是正定函数，则可以定义函数1 rr min Wx ，由 W x的正定性和连续性知， 1rh rxh连续， 100 ，且 r0 时， 1r0. 又当 0 xh 时，xminxWymin Wy Wx1hxy hx y h当 0 r1r2 时，1 r1minr1 Wxminr1 Wxminr2 W x1(r )r1 x hhr2x hhr2 x hh这表明1 (r ) 是严格单调递增的函数，且满足1xWx . 同理可定义2 (r )maxW xr .xr按前面类似的过程可以验证2 (r ) 是满足2xWx 的 k 类函数。所以 (2-13)式成立，必要性得证。2.3.2 零解的稳定性设 V (t, x) 是 I U 上定义的连续可微函数， x(t ) x(t, t0 , x0 ) 是(2-12)的解。定义 V (t , x) 沿着 (2-12)解的全导数为dV (t, x)V (t, x)dttn V (t