必修一值域求法

1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。f(x)是一次函数，且 ff(x) = 4x 3，求 f(x)2解：设f f (x) = af (x) b = a(ax b) b = a x ab b f (x) = ax +b (a 式0)贝寸i配凑法:已知复合函数fg(x)的表达式，求f (x)的解析式，fg(x)的表达式容易配成g( x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。f(X +1) =x2 +丄f例2已知xX (x 0)，求f (X)的解析式冒 f(x+ =(x+$2 _2 x+丄亠2 解：xx ， x三、换元

2、法：已知复合函数fg(x)的表达式时，还可以用换元法求f (x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例3已知f( x “ = X 厶X，求f(X 7)解：令 t=lx+1，则 t1,(t _1) v fx+Ox 十2 3,min分别令式中的x二1,2“ -1得：f(n)-f n - 1n将上述各式相加得：f (n) - f(1) =2 3 n， .f (n) =12 3 n =也 f (x) = x21 x, x N .2222.4. 求下列函数的解析式：丄(1)已知 f(x+1)=x2-3x+2，求 f(x).(2)已知 f(x)+2f( x )=3x,求 f(x)的解析式8

3、.已知f (x)是一次函数，且 2f(x)+f(-x)=3x+1 对xEr恒成立，则f ( x) =.函数值域求法一种1.直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1i.求函数-x的值域。解:显然函数的值域是：(-：,0) (，=)例2.求函数y=3 -、x的值域。解： -.XO. i-X _0,3 一 .一 x _3故函数的值域是：-二，32.配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。2 _例3.求函数y =x -2x 5,x -1,2】的值域。解：将函数配方得：y弋-1)4/ x【-1,2】由二次函数的性质可知：当x=1时，ymin =4，当x = -1时，ymax

4、=8故函数的值域是：4 , 8 3判别式法1 x x2例4.求函数1 x2的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程2(y -1)x +(y1)x=0(门当 y 式1 时，xR2:-(_1) -4(y -1)(y _1) -0解得:1昇曰 I(2)当y=1时，X =0，而_2 2故函数的值域为 L2 2例5.求函数y =x 严(2 _x)的值域。2 2解：两边平方整理得：2x _2(y 1)x y 0 ( 1)t xR=4(y 1)2 -8y -0解得：1 -2乞y乞1 .2但此时的函数的定义域由x(2 -x) _0，得0_x _22 2由二，仅保证关于x的方程：2x _2(y 1)x y在实

5、数集R有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程(1)有实根，由:-0求岀的范围可能比 y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为J，3可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。10 _X _2 y =x * X(2 _X). y min = 0, y = V 2 代入方程(1 )解得: 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔 除。即当2+42-22X1 :时，原函数的值域为:0,1 24.反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。3x 4例6.求函数5x - 6值域解：由原函数式可得:4

6、 -6y5x - 3，其定义域为:4 -6y3x -5故所求函数的值域为:5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例7.求函数-11的值域。解:由原函数式可得:ex丄y -1 0解得:_:：y d故所求函数的值域为(-1,1)COSX例8.求函数y _sinx -3的值域。解：由原函数式可得：ysinx -cosx =3y，可化为:1 驚1xr . sinx(x+护-VI即少 十1 解得:6. 函数单调性法例 9.求函数 y = 2 log 3 x -1(2 _x _10)的值域。Jsin x(x + B) =3y _.y 1 sinx(

7、x ：) = 3y 即，/1兰y兰-4 , 444故函数的值域为 -解：令*=log3沐-1则y!，y2在2，10 上都是增函数所以y=y1 y2在2，10 上是增函数当x=2时,ymin b |o才当 x=!0 时,ymax =2 log 39 =33故所求函数的值域为:例10.求函数y = 二5y -3则其反函数为: 1 - 、X -1的值域。2y 二 解：原函数可化为：x VX -1令y1 = x 2二x -1，显然y1, y2在1,；上为无上界的增函数所以y=y1，y2在1,；上也为无上界的增函数(0八 2厂笫M所以当x=1时，y2有最小值2，原函数有最大值2 显然y，故原函数的值域为

8、7.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数 学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例11.求函数y=x. x_1的值域。解：令X _仁t , (t0)则x2 1 2才.1.y“ t 1乂 7又t -，由二次函数的性质可知当t =时，ymin =1当t 0时,y y二故函数的值域为1，；)例12.求函数y =x 2 J -(x 1)的值域。因 1 (x 1)2 _0 即 (x 1)2 叮令 x +1 = cP, Cs ny 二cos ： T1 - cos2 ： =sin ： cos ： 1=2 sin( )10

9、 _ ： _ :,05 二4/44故所求函数的值域为 【，1 23x xy = 42例13.求函数 x 2x 1的值域。1 2x yx 解：原函数可变形为：2 1 x1 X21 x2可令x =tgl：,则有2x1 x2in2；r=cos2-.y =sin2 ： cos2 ：=sin 4：24 当二飞时，ymax二丄4当时,y min而此时tan :有意义。故所求函数的值域为X例 14.求函数 y =0nx +1)(cosx +1)，ji ji IxIL 12,2的值域。1 2sin x cosx (t -1)，则2解：y =(sinx 1)(cosx 1) =sinxcosx sin x co

10、sx 1 令 sinx cosx-(t2 一1) t 1 =(t 1)22 2JI JI由 t=sin x cosx2si n(x 二/4)且八 _122 可得：乎叭一2y max.当t =寸2时，3+v-l? 2，2 一3 .2y2 ，当 2时， 42故所求函数的值域为例15.求函数y =x 4 -x的值域。2I 更.t R Rm y = J5cosP + 4+寸5sinB = V10sin（B+丄）+ 4解：由5x2R，可得|xj5故可令xn5cosB,駅0,沪 次勺45 二 . 0兰0兰兀4_4_4当目=兀/4时，ymax=4+J10当目=兀时，yminu45故所求函数的值域为：4 -

11、、5,4 *门。8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法， 往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。2 2例16.求函数y（x 一2）. （x 8）的值域。解：原函数可化简得：y =lx _2 |x 8|上式可以看成数轴上点P（ x）到定点A（ 2）， B（-8）间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，y=|x-2| |x 8|=|AB| = 1当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y斗x -2| - |x 8| |AB U10故所求函数的值域为：1, 二例仃.求函数yx2 _6x 3x2 4x 5的值域。解：原函数可

12、变形为：上式可看成x轴上的点P（x，）到两定点A（3,2），B（-21）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ymin =|AB F . （3 2）2 （2 =.43，f故所求函数的值域为 43:例 18.求函数 y X2 _6x 13 - ： X2 . 4x 5 的值域。解：将函数变形为：“。匚3）2（匚2）2 一2）厂（门）2上式可看成定点 A（ 3，2）到点P（x，0）的距离与定点 B2,1）到点P（X,）的距离之差。即: y=|AP|-|BP|由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线 AB与x轴的交点时，如点 P，则构成 ABP，根据三角形两边之 差小于第三边，有 IIAPI

13、 T BP|AB |=J（3+2）2 十（2_1）2 = ”怎即:- 26 : y -26（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有|AP|-|BP|旧AB|= .26综上所述，可知函数的值域为：(-.26, .、26注：由例17, 18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），（-2，1），在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），（2，一1），在x轴的同侧。9.不等式法利用基本不等式a 2 ab，a b cBlabc （a,b,cR ），求函数的最值，其题型特征

14、解析式是和式时要 求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例19.求函数y =(sin xsinx1 2(cos x)cosx-4的值域。解：原函数变形为:当且仅当tanx 二 cotx 即当时（k z），等号成立故原函数的值域为:5,：）例20.求函数y =2sinxsin 2x的值域。解: y =4sinxsinxcosx 4sin2xcosx.2_222sin x 99故原函数的值域为当且仅当sin x =2 -2sin x，即当3时，等号成立6427可得:10.一一映射法ax b原理：因为y cx d（c）在定义域上x与y是一一对应的。故两个变

15、量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围1 -3xy =例21.求函数 2x 1的值域。解：.定义域为x|x1 或 X*丄？ y =1 3x xL22,由 2x +1 得2y 3 故 2y 32 或 2y 32解得11.多种方法综合运用32故函数的值域为x 2例22.求函数=X 3的值域。解：令 t = Jx +2(t 0)，则 x +3 = t2 +1(1)当t 0时,12当且仅当t=1，即X =1时取等号，所以。皿10,1（2）当 t=0 时，y=0。综上所述，函数的值域为： 注：先换元，后用不等式法例23.求函数1 x -2x2 x3 x41 2x2 x4的值域。解:1 -2x2x2x4x4丄 3X +x+1 2x