第8章季节性时间序列模型

1、123S总和平均N Nz z3 3乙11乙十#r rZriiT.2(n-l)*+3(n-l)*+3-ZzZz总和TjTjT2.T3.Tn.TZi.Zi.Z3.T/nT/ns8.2传统方法第8章季节性时间序列模型由于在日常生活中经常遇到季节性时间序列， 因此我们为其单辟一章。在引 入一些基本概念和常用模型之后，我们将自回归求和移动平均模型加以推广， 用 来描述季节时间序列。另外，为了说明该方法，我们还给出了详细例子。8.1基本概念许多商业和经济时间序列都包含有季节现象，即在一段时期后不断地对自身作有规律的重复。重复现象出现的最小时间间隔称为季节周期。例如，并吉林小玲的季度序列在夏季最高，序列在每

2、年都重复这一现象，相应的季节周期为4。 类似地，汽车的月度销量和销售额在每年 7月和8月也趋于下降，因为这是经常 更换新的车型。而玩具的月销售量在每年的12月增加。后两种情形的季节周期是12。季节现象源于一些因素，如气候影响许多商业和经济活动，如旅游和房 屋建筑；一些习惯性事件，如圣诞节就与珠宝、玩具、贺卡及邮票的销售密切相 关；夏季几个月的毕业典礼直接关系到这几个月的劳动力状况。作为说明的例子，图8-1给出了 1971-1981年美国月度就业人数，调查对象 是美国16-19周岁的男性。序列的季节特性是明显的，在夏季几个月人数急剧增 加，在学期结束的6月出现高峰，而在秋季学校开学后就下降了。这

3、种现象每 12个月重现一次，因而季节周期是 12。通常，时间序列被看做由趋势项（Pt），季节项（St）以及不规则分量（e）混合而 成。如果这些分量被假定为是可加的，可以将时间序列乙写成Zt =Pt+ St+ et为了估计这些分量，文献中引入了一些分解方法。1200JiDoaiDoa - -750750 H H表直丄 季节时间序5IJ5IJ的Buys-BBuys-B allotallot表Tj.=第j牛乖F蛊和z.= S j牛李市甲均 T =謝j關期想和2.,=带j周朝1T均T=住部字刊总和ms 4乙 入 rt， v rDjt ei=1j =1或者=：0ms/2 :-iti - i=1j =1s

4、in(年)jcos) e(8.2.7)(8.2.8)821回归方法在回归方法中，可加性时间序列可以写成下面的回归模型Zt =Pt+ St+ etkm八=0 7 i/iUit 亠.1 .jVjt- et-jk其中R Fp 7 m：.Uit，Uit是趋势-循环变量；S = jVjt和是季节j 二变量。例如，线性的趋势-循环分量Rt可以写成R = ： 0 川二吐（8.2.3）更一般地，循环-趋势分量可以写成关于时间的 m次多项式：m iR *o * v J it（ 8.2.4）类似地，季节分量St可以表示为季节虚拟（示性）变量的线性组合，或表示成 各种频率正弦-余弦函数的线性组合。例如，一个周期为s

5、的季节序列可以写成s JS =jDjt（ 8.2.5）其中，如果t对应于季节的第j期，有Djt=1，对于其他情况就为0;注意，当季节周期为s时，我们只需要（s-1）个季节虚拟变量。换言之，令：0使得系数s （其中，j _s）表示在周期为s时第j期的季节影响。另一方面，St也可以写成(826)其中，s/2是s/2的整数部分。这类模型将在第11章讨论。于是，模型（8.2.2） 成为对于给定数据集和特定的 m和s的值，可用标准最小二乘回归方法得到参数-i，P Ya9j和的估计值， j和j。Rt，St，和方程（8.2.7）中的et的估计值可由下 式给出：NRNRsAS 八：jDjtj 4和A AA A

6、 A Ae 二乙R s对于方程（8.2.8）可由下式给出(8.2.9a)(8.2.9b)(8.2.9c)(8.2.10a)S：sin（）:(8.2.10b)As- -ARAR-乙-和A G(8.2.10c)(8.2.11)8.2.2移动平均万法移动平均方法基于这样的假定：一个季节时间序列的年度总和中只有少量的 季节变量，因此，令Nt二PT et为序列的非季节变量，而非季节变量的估计可以用对称移动平均算子得到，即内mN Nt 二 Zti -_m其中，m为一正数，为常数，且有打二 -i以及v“打=1。季节分量的估计A可由原序列减去Nt得到，即A A _ _ 人2=乙-叫（8.2.12）前面的估计可

7、以通过重复各种移动平均算子得到。利用移动平均方法的成功例子 是人口普查局X-12方法，该方法被政府和工业企业广泛地采用。被消除了季节影响的序列，即 乙-S，称为季节调整序列。因此，前述季 节分解方法也是熟知的季节调整方法。人们普遍认为季节分量是有规律的特征， 能够以合理的精度进行预报，所以政府和产业对于调整序列的季节性有着很大的 兴趣。这一专题在这里只是简要的论及，感兴趣的读者可以参考由Zellner（ 1978） 编辑的优秀的论文集。有关该专题最新的文章，主要有Dagum（ 1980），Pierce（1980）, Hillmer 和 Tiao（ 1982），Bell 和 Hillmer（ 1

8、984），以及 Cupingood 和 Wei（ 1986）。8.3季节性ARIMA模型+百，R显然8 不是白噪声序列，因为它包含未被解释的周期 令：j(s)EQb)，j=162(季节)之间的相关关系。(8.3.2)8.2节给出的传统方法基于季节分量是确定性的， 且与其他非季节分量相独 立。然而，许多时间序列并没有那么好的性质。 更多的情况是季节分量可以是随 机的，并且与非季节分量相关。本节我们将前一章讨论的ARIMA模型推广到季节时间序列。为了说明问题，我们考察美国1971-1981年1619岁男性的月度就业统计 数字，Buys-Ballot表在表8-2中给出。该表显示就业统计数字不仅月与月

9、相关， 而且年与年也相关。因此，为了对6月份的就业水平进行预报，我们不仅要考察 相邻月份(如5月和7月)的就业水平，而且还要考察前几年6月份的就业水平。表8.28.2 U.S.U.S.月度就业人数(千人)统计戳字的Buys-BaUotBuys-BaUot乘年MarAJJT.May.JunoJunoJulyAufi.Sep*Sep*Ocit,Ocit,Nov,Nov,Dec,Dec,总数平均LD7LLD7L707oaa644574BBScwo5S75S7837fM50fM50灿u197275883S747617554929929BIB702610610SSB”75g酣0710,7173哥】。65

10、1605605592527SMSM939SL 1却57S&72蚪517B2S65Z 119747147156725BB56710&7019683771708SZISZIB3590S375S.919759809699319318U2826383887711589965.71976100795190690691181211721101900&11&11853922922S86112S2938.510778969(K29(K2765735123110528179S75518208207251CHS2873u5LOTS82189S831734MlMl9907507277047

11、928179761107&107&AM酯弱733STBLODILODI皿777TfilTfil709777777TTlTTl973SSll.ASll.AIUA0IUA0HID8477T472(5MM110110034snoH川1肿临1OlilWt1020IO：CO9l9li iHtkULL90LL901U3KBS71184892 A潢MCISTO579B67ftya115028770S1HLwnffilB15U049091,)7平均837.7851.8800.800. 1 172669010951095 J21004.7797.2753,3743.7815.51.69917.6826. 1-6

12、通常Buys-Ballot表意味着乙？包含周期内部和周期之间的相关关系。周期内部的关系表示，Zt-2，Zt-1，Zt，乙+1，乙+2，之间的相关性。周期之间相关 关系表示，Zt-2s, Zt-s，Zt，Zt+s，Zt+2s,之间的相关性。假设我们不知道乙？包含周期之间的季节性变化，而对序列拟合一个非季节性的ARIMA模型，即p(B)(1-B)d 乙q(B)bt(8.3.1)是的自相关函数，它描述了未解释的周期之间的相关关系。由此不难 得到，周期之间的相关关系也能用 ARIMA模型加以描述： ：p(Bs)(1-Bs)Dbt “Q(Bs)at(8.3.3)其中：p(Bs) =1 -门占- ：2B2

13、s -川-GP(BPs)并且(8.3.5)-0.81.64，j -1(8.3.6)飞(Bs) =1 -0iBs -GVB2卜0Q(BQS)这些Bs的多项式没有共同的根，且根都在单位圆之外，2?是0均值的白噪声过程。为了说明问题，假设式(833)中P=1，s=12, D=0, Q=0,则(1 - ：B12)bt =at( 8.3.4)若G =0.9,山？的自相关函数成为 讣12) =(0.9)j，如图8-2所示。0.8-0.8-O.6O.60.20.20 0 M.4M.4-0.81-0.81-1.0-1.0图 8.28.2 (l-.9J(l-.9Jlala 的ACFACF类似地，若P=0, s=

14、12, D=0，Q=1，则有bt =(1 -心 B12)at若Q =0.8，自相关函数成为如图8-3所示结合式(8.3.1)和式(8.3.3),我们可以得到著名的Box-Jenkins乘积 季节ARIMA模型：h(Bs) p(B)(1-B)d(1-Bs)D 乙q(B)%(Bs)at其中-,d 二 D =0Zt, other为方便起见，我们通常分别称（B）和二（B）为常规的自回归和移动平均因p pq q * *子（或多项式），分别称；（Bs）和科（Bs）为季节性自回归和移动平均因子（或多项式）。式（836）中的模型一般记为 ARIMA （p,d,q） *（P,D,Q） s,其 中下标s为季节周期

15、。例 8-1 我们考虑 ARIMA （ 0,1,1）*（ 0,1,1）12,模型(1_B)(1 _B12)Zt =(1-汨)(1 - GB12)q(837)人们发现这个模型是非常有用的，它可以描述大量的季节时间序列，如航 空数据，交易序列等。该模型由Box和Jenkins首先引入来描述国际航空旅 客数据，因而在文献中也称其为航线模型。令Wt = （1 - B）（1 - B12）Zt,则W的自协方差可以很容易地求出：0 二（1）（1。2记2 二（1 02）二211_丸沐a12-七（1 二纸213-兀:匚aj =0,其他因此，ACF是 P_1( J)8Q(8.3.8)11 = (1 T)(1 心)

16、=%Q12(1心) =0，其他对于二=0.4和0 =0.6时，匚在图8-4给出一般的ARIMAARIMA模型 更一般地，我们可以写出一般的 ARIMA模型如下：MKdi iN丨j(B)i【1-Bs Z【/疋(8310)j =4i 4k 4因此，该模型可以包含K个差分因子，M个自回归因子以及N个移动平均 因子。这种推广对于描述许多非标准时间序列是非常有用的，例如，可以 包含不同周期混合而成的季节现象。由于这是大多数时间序列软件使用的 一般形式，因而我们现在更详细地解释这种一般模型。第i个差分因子是di i1Bs具有阶数s( B的幕次)和次数di。如果K=0，则Zt =乙- 1，否则Zt二乙，序列

17、的均值不出现。参数描述确定性趋势，当且仅当K=0时才考虑。第 j个自回归因子为1(B) =(1- 畀B 32 -|一 ijijBPj j)其中，包含一个或多个自回归参数jm o第k个移动平均因子是H(B) =(1-*B-花 B2-|)%Bqk)包含一个或多个移动平均参数 Hn o在大多数应用中，K,M和N的值通常小于或等于2o在自回归和移动平均的参数中，除了考虑每种第一个因子的参 数，其他参数都考虑为模型中的季节参数。显然我们可以用任意阶数的因 子，如果需要的话，我们可以取每种的第一个因子作为“季节因子”。对于差分因子也完全类似。季节模型的PACFPACF ,IACF,IACF和ESACFES

18、ACF 季节模型的PACF和IACF更复杂。 一般来说，季节和非季节的移动平均分量所产生的 PACF和IACF在季节或 非季节延迟点上指数衰减或阻尼正弦波动的。对于季节模型计算，ESACF非常费时，通常形式也很复杂。此外，由于 ESACF所给出的知识关于p和 q最大阶数的信息，在建立季节时间序列模型中它的用处非常有限。因此， 的 ACFACF在识别季节时间序列模型时标准的 ACF分析仍是最有用的方法。-.8B)(1 - .67? %图&5&5对于季节模型的建模和预报由于季节模型是第3、4章中引入的ARIMA模型的特殊形式，因而有关模型识别、参数估计、诊断检验和预报都按照 第5、6和7章的陈述，

19、在这里就不再重复了。在下一节中，我们将针对几 个季节时间序列来说明方法的具体应用。&4实例例8-2本例给出来自于ARIMA(0,1,1)*(0,1,1) 4模型的150个模拟值:(1 B)(1 B4)Zt =(1rB)(1 -B4)at( 841)这里n =0.8, 0=0.6,是高斯型N(0,1)白噪声。该序列是列在附录中的序列 W8。如图8-5所示，序列明显具有向上趋势的季节性。表8-3和图8-6给出序列的样本ACF和样本PACF。ACF的值很大且 缓慢衰减，而PACF在延迟1处由单个的很大的峰值。这一切表明序列是 非平稳的，必须进行差分。表&3&3 对炖一佃)口-占日节模拟序列的ACFA

20、CF和PACFPACF(T= 17.37,57 = 47.93,0= lhQlk12345aI8Pk.98.96,91.92.90.88.87.88St.E.,08J4IS.21.23.23.26.羽gk.98.01.11-.04-.12-.00.11-.03St.E.,08a.08X8,0SP08.08.08s sIDID1 11I1.0：O.Kl0.60.40.20-0.2(b)g)g) 8.68.6 对忆=(1-,8B)(1=(1-,8B)(1 - .6Z?4)I 揆拟序5050的样本 ACFACF 和 PACFPACF为了消除非平稳性，对序列做差分，计算出序列（1-B） Zt的样本AC

21、F 和样本PACF，如表8-4（a）和图8-7（a）所示。ACF在周期为4的多个 季节点上缓慢衰减，这表明为了达到平稳性，季节差分（ 1-B4 ）也是需要 的。因此，我们计算（1-B）（ 1-B4）乙的样本ACF和样本PACF，并在表 8-4 （b）和图 8-7（b）中给出。我们已经知道 ARIMA （0,1,1） *（0,1,1） 4 模型的ACF除了在延迟1,3,4和5处以外其他皆为0。因此，在表8-4（ b） 和图8-7（ b）中（1-B）（ 1-B4） Zt的样本ACF蕴涵着原序列Zt应是ARIMA（0,1,1） *（ 0,1,1） 4 模型，即(1 -B)(1-B4)Zt =(1 -

22、 汨)(1 -4B4)at用参数估计方法对参数v和心的值进行估计(-)图&7 7 差分序列的样本 ACFACF 和 PACFPACF= =0.20-0.2iD用0-0.61.14僵-1.0-0.6-o.1 10 0E E. . t t s sn n n n E E E E t t h h t t 凤s s $ $ s s1 8 8J J-O-O11历朋.79.79.08086 6 2 2 0 0 8 80 0 1818 0 0 JJ - - - -9 9 2 2 4 4 8 8.8.1.8.1. . 1.01.0.OG.18.20.OG.18.20a a.87.18.10.87.18.10更4

23、-1784-178.o.o卫.U.U.U.U-.7G.21.01.7G.21.01.D8.D8m.23.09.0m.23.09.0fifi82231108822311081 10 0,5(i.08.3,5(i.08.36.086.08.07.11.07.11霊271327137 7 s sJ J.(J.(J3.13.O4.O3.13.O4.O8 8.10.13.19.u.10.13.19.uftft3 3 3 3 6 6 & &.GJ.O.O.GJ.O.O- -.O6.13.O7.O6.13.O7.O8.O8.U5.13.05.U5.13.05.U8.U8血.13.OU.13.OU.U8.U8

24、例8-3我们现在考察美国1971-1981年1619岁男性的月度就业统计 数字。该序列为附录中的 W9，前文在图8-1中显示过。模型识别 在表8-2中与Buys-Ballot表一些列的列总和显示出具有季 节周期12的明显的季节变化，而另一方面按年累计的行总和蕴涵着在序列 中存在着随机趋势。这种趋势可以在模型识别之前通过差分予以消除。表 8-5给出了原序列个差分序列的样本 ACF。从表8-5 (b)和(c)看出，显 然既需要常规差分(1-B)，也需要季节差分(1-B12 )。序列Wt =(1 - B)(1 - B12)Zt?的ACF只是在延迟12处存在一个显著的峰值，如表8-5 ( d)所示。由

25、于 W =0.66， Sv =71.85， n=119， W 的 t 值= 0.66/(71.85/.119) =0.1，该值不显著，所以不需要确定性趋势 比。因此， 我们识别该序列为一个 ARIMA ( 0,1,0)*(0,1,0)12过程，试探性的模型 为(1B)(1 B12)Zt =(1-B12)at( 8.4.2)参数估计和诊断检验利用标准非线性估计过程，我们得到如下结果(1_B)(1_B12)Zt =(1_0.79B12)at(0.066)(8.4.3)其中巴a =3327.3。前面拟合模型的残差 ACF由表8-6给出，只是在延迟1处有显著的峰值。我们将上面的模型修改成ARIMA(

26、0,1,1)*( 0,1,1)12模型，即(1-B)(1-B12)Zt 二(1 B)(1 -心B12)at(8.4.4)参数估计由下式给出(1-B)(1 B12)Zt =(1 0.33B)(1 0.82B12)a1414- -O5O52 2- -1111020203032 21X1Xa!a!- -5 5J)J) ()()8 8(!(!n n1010 2 21111 _o_o JIJI 1X1X- -11111111- -4 4 15-115-11 1 1 1 o o 1 1 2 2 1313 1 1 _o_o 1*1* o o 1 1 lili4 4 1818 1 1o o1X1X0 0 7

27、7 1 11 1 o o 1111)7)7021102112309032309032 2 1 1o o 1 1 - -J4-J4-2 E 2Jt.3-Jt.3-1 s 1Est36E36E25-25-弘ISISISIS 2S2S.22.11.O049.22.22.11.O049.22加3 3 2 2 0 0 9 9 9 9 o2 2 1010 11211212131908-2012131908-20.46.13.21.19.02.46.13.21.19.02加0 0 4 4 4 4 9 9 6 6 0 04-111024-11102-1215141!)032034.

28、16.17.1119.19-.02J4JI.21其中玄=3068。改进模型的残差ACF值在表8-7中，其中所有值都很小，显示 不出什么特性。对于K=24, Q统计量的值20.7不显著，这是由于/（205（22）=33.9。因此，式（8.4.5）给出的拟合模型ARIMA（0,1,1） （0,1,1）!2对于序列是适合的。豪8 8 5 5序列W9W9的祥車盘CFCF_（a） 2i *（7=820/17,5= 16L81,n = 132）8.5净列V9的惮木ACF（城）(b) Wt = (1 - B)Zt Wft(ir=2.26.SM0因为模型是非平稳但是可逆的，因而我们首先将-（B）乙-at(84

29、6)其中2二(B) =(1 -二卍 _ 二2B12x=_(1-B)(1-B)_(1-0.33B)(1-0.82B12)因此(1- .B-二2B2 一 )(1 0.33B 0.82B120.27B13) = (1 - B)(1 - B12)令式（847）两边Bj的系数相等，我们有表&7拟含模型 丄方）（1 一BH）益=（辻差的 人（3：?艸1-12.03-.16.04-.13-?6.05.IF-M.07 0-.15-,oFSt.E.09.09.09.09.09.09.09JOJOAOJOJOQ.011.41.53蛊4.2G.8G.87.57.510.510.613-24-.04.03-.08.0

30、1.06.07.12-.15.01.04-.08-.06St.E10.10.10.10.10.10.10JOJO404040Q10.81L01L91L912.413.215.218.718719.020.120J预报 由于模型（845）是适合的，我们可以用它来预报未来的就业数字。 正如第5章所讨论的，对于给定的预报原点，如t=132,预报可以直接由差分方 程计算。对于方程（8.4.5）,我们有Zt i = Zt 11 Zt 112 - Zt 113 at i - 0.33at i j - 0.82at i2 0.27at i3产j 1呵=（0.33）（0.67）,1 兰 j 1111严2 =（

31、0.33）（0.67） 0.82+1眄3 =（0.33）眄2 +0.82“ +0.271兀=（0.33）Ji+0.82兀 jJ2 -0.27兀 jJL3, j 兰14（8.4.8）于是，计算预报方差所需要的权可由式（5.2.26）很容易地得到如下公式1=0.672- 二2 二 1 1（0.33）（0.67）-（0.67）2 =0.673和j丄八二j -i .32.32.35.35J5J5*08*08-24-24.51.51St.KSt.K,1A,1A,19,19.21.21,23,23,30,30.30.30.32.32.32.329 9- - 1G1G-.03-.03.31.31-H-H4Q

32、4Q-.01-.01J7J7St.E.St.E.34.34.34.36.36.30.30.37.37.38.38.38.38(b)(b) 孟的&h hbSbS.24.24.68.68,00,00-.25-.25-,27-,27-.08-.08St.St. EbEb.18.181818.18.18.18.18.18.189 9- -1616-.06-.06-.04-.04-.18-.18- -J2J2-.02-.02-.01-.01.10.10-.13-.13St,E,St,E,1(1,1(1憎.IS.IS4848憎17-2017-20-.07-.07-1C-1CSi.11.Si.11.1&.1

33、&.IS.IS.16.16.18.18基于季节差分序列的模型基于前面的分析，我们考虑季节差分序列W =(1-B4)Zt，相应的样本 ACF和样本PACF在表8-10中给出36200720362007201-6301-6303 3 2 2 2 2 3 32-02-0 7 7 9 90 0 2 2 1212 i i al-al- _H_H4 41010 9 95 52 2 2 2 2 2- - 2 2 1212 9 92 2 2 2 0 0 2 2i i -II-II frfr7 7 0 0 18181212 2 2 2 2 - -4 4 0 0 6 6 7 7 1212 1212 8 8 疋16

34、16.E.E 卜st9-st9- -stst0 0 0 0 5 5 0 00 0 2 2 1212 -r-r - 一56202620562026207 7 0 0 2 2 0 01212 2 2 2 2 M-M- F F 9 0 2 0 12 12 fl-* 4 4 0 0 6 6 0 01212 2 2 2 2 w-w- - - - -&.El6.E 卜st9-s(-8-8居-16-16血1-59-S3 3 2 2 8 8 4 41212 0 0 2 2 rtfrtf .12.22.09.12.22.09.24241-1-1.23.10.241.23.10.24.00.23.00.23加.

35、.2424(0.18)(0.05)(8.4.15)(a)(a)= = (1(1 KlZ;KlZ;的 pk (=1-36(=1-36 =2,03,=2,03,n=26)n=26)如表8-10 (a)所示，序列Wt =(1 - B4)Zt的样本ACF只在延迟4处有显著 的峰值，基于这一事实，建议使用下面的试探性模型：(1 B4)Zt - 比 (1-0B4) at( 8412)式中包含 卞是因为 W Sw =1.36 (2.03 26) =3.42是显著的。参数估计由下式 给出：(1 -B4)Zt -1.49 -(1-0.87B4)at(0.09)( 0.16)( 8.4.13)并且有二a =2.3

36、9，在参数估计值下面括号内的值是相应的标准差。表8-11给出的残差ACF表明模型是适合的。衰 &丄1 flSLQ-= 1arc1 jut 残養的 ACF*c然而，细心的读者也许会注意到：考察表 8-10 (b),表中给出序列(1-B4)Zt的样本PACF也只在延迟4处有一个显著的峰值，其数值差不多等于统一延迟4处得样本ACF值。这一切说明纯季节 AR过程也可能是很好的试探模型，具体 形式如公式(1-：B4)(1-B4)乙-6 二 at( 8.4.14)估计结果为(1 0.66B4)(1-B4) Zt =2.51 at并有二a =3.06。表8-12给出的残差ACF也表明该模型是适合的8 8 o

37、 o o o 3 32 2 o o 3333 1212 1212 n n MAPE =( 1M:JZ：,)100%表842842模型(1 t .66)(!-吕打孟la残差的ACFACF五1-8J 4-JI.20-.02-.17922-.28St.E.21.21.23.24.21.25.25.269617.07-JIJ7.OS.11St,E,27.27.28.28.28.2S.28,30基于预报误差的模型选择几个模型描述一个序列都是适应的，这种情况并不多见。模型的最终选择可以取决于拟合的优度，如残差均方或在第7章中讨论的那些准则。如果模型的主要目的是预报未来值，对于模型选择就可以 基于预报误差。设丨步误差为e 二 Zn i - Zn（l）（ 8416）其中，n是预报原点，它小于或等于序列的长度，因此，评价预报误差是基 于样本以外的预报值，通常是用下面的综合统计量加以比较。1.平均百分误差，也成偏差，因为它可以度量预报偏差1 M eMPE（-）1 0%M I 二 Zn +2.均方误差1 M 2M S E（el ）M y3.绝对误差1 M MAE