判别一个函数f(x)在[a,b]上是否可积,就是判别

1、判别一个函数 f (x) 在a, b上是否可积,就是判别3 可积条件的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别01lim()niiTifx 极限 是否存在. 在实际应用中，直接按定义来判定是困难的. 我们希望由函数本身函数的可积性. 为此, 先给出可积准则,并以此证明有界性是可积的必要条件而非充分条件, 连续性是可积的充分条件而非必要条件.定理定理9.1 ( (可积必有界）可积必有界）若函数若函数 在在 上可积，则上可积，则 在在 上必有界上必有界.ff,ba,ba证证 设设.d)(Jxxfba由定义由定义, 对对100,T,T只要无论只要无论11niiif () xJ, 于是于是1, (1,

2、2, ),iiixxin 与如何选取 都有与如何选取 都有 1,. kkxx上无界 令上无界 令(),iiikGfx 1,kkkxx 故必存在满足故必存在满足11niiif () xJM. ().kkMGfx ( ) , f xa b倘若在上无界，倘若在上无界，,k则必有则必有( )f x使得在使得在于是于是1()niiifx 矛盾矛盾.以下例子告诉我们以下例子告诉我们, 有界性并不是可积的充分条有界性并不是可积的充分条件件. .()()kkiiikfxfx ,kkMGxGMx ,.:10bxxxaTn称为称为 f 关于分割关于分割 T 的上和的上和, ,其中其中1( )niiiS TMx1s

3、up( )|, ,1, 2,;iiiMf xxxxin称为称为 f 关于分割关于分割 T 的下和的下和, ,其中其中1( )niiis Tmx1inf( )|, ,1, 2,;iiimf xxxxin , ,fa b设在上有界设在上有界对任意分割对任意分割定义定义21(1, 2,),iiiiiMminfxx 称称为为在在上上的的.振振幅幅定理定理9.3（可积准则）（可积准则）函数函数 f 在在a, b上可积的充要上可积的充要条件是：条件是：0,T 分分割割使使11( )( )().nniiiiiiiS Ts TMmxx此定理将在本章第六节定理此定理将在本章第六节定理 9.15 中证明中证明.

4、. 在用它在用它振幅反映了函数在区间内的变化范围振幅反映了函数在区间内的变化范围, ,是一个与连是一个与连续性相关联的概念续性相关联的概念. .1 niiix 证明可积性问题时证明可积性问题时, ,有多种方法可使有多种方法可使11.nniiiiixxba 常见的有三种方法常见的有三种方法, ,下面分别作出介绍下面分别作出介绍. .每个每个abi ，从而，从而第一种方法第一种方法: :, , .a bf例如 在上一致连续的,便属于这种情形例如 在上一致连续的,便属于这种情形定理定理9.4（连续必可积）（连续必可积）连续，则可积连续，则可积. .若若 , fa b在上在上 , fa b在上在上连续

5、连续, ,从而从而一致连续一致连续. .于于证证 , fa b在上在上 , a b在上在上()().f xf xba iiimM 1sup()(),iif xf xx xxx，,ab 从而从而11.nniiiiixxba 因此当因此当 , a bTT 上的分割满足时,上的分割满足时,0,0, , ,x xa b是是,xx 若则若则, , fa b例如在上单调时,有例如在上单调时,有1( )( ) ,niif bf a 1,niiM 若若有有界界 即即对对任任意意分分割割第二种方法第二种方法: :11|.nniiiiixTMM |,TM 则当时则当时1,niiM , fa b从从而而可可证证在在

6、上上可可积积. .定理定理9.5（单调必可积）（单调必可积） , , fa bfa b若是上的单调函数,则在上可积.若是上的单调函数,则在上可积.f证证 不妨设不妨设是非常值的增函数，则对任意分割是非常值的增函数，则对任意分割01:.,nTaxxxb1()(),1,2, ,iiif xf xin 于是于是 111()()( )( ).nniiiiif xf xf bf a 因此因此, ,若若,( )( )Tf bf a 则则11nniiiiixT.)()()()( afbfafbf,iix 在在中中iix 而而在在中中，,)(2abi ,)(2mMxi ,iiiiiixxx若若第三种方法第三种

7、方法: :,1,2, .iMm in 于是于是 iiiiiixxx )()(2)()(2mMmMabab . , ,Mmfa b其中是在上的振幅 从而其中是在上的振幅 从而0, 取满足取满足0().2()baMm 定理定理9.6（有限个间断点的有界函数必可积）（有限个间断点的有界函数必可积）若若 , fa b在上在上有界有界, ,且只有有限多个不连续点，且只有有限多个不连续点，此时可用第三种方法证明此时可用第三种方法证明 f 可积可积. f 在在 a, b 上可积上可积.只有一个间断点只有一个间断点, ,且为且为 b. .证证 不妨设不妨设 , fa b在上在上 , fa b若 在上有界，且只有有限多个间断点，则若 在上有界，且只有有限多个间断点，则., ,fbb界 设在上的振幅为则界 设在上的振幅为则.2)(2)( mMmM,.:110 bxxxaTn使使.2Tiix 则存在分割则存在分割 ,f