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1、-作者xxxx-日期xxxx探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题【精品文档】探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题圆锥曲线中的最值与定值问题,是解析几何中的综合问题,是一种典型题型,将函数与解析融为一体,要求有较强的综合能力,例析如下。一、 定值问题解决定值问题的方法:将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式的值与参数无关。例1 A、B是抛物线(p0)上的两点,且OAOB,求证:(1)A、B两点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值;(2)直线AB经过一个定点。证明:(1)设A()、B(),则,。=,为定值,也为定值。(2),直线AB的方程为:,直线AB过定点(2p,0)。例2 已知抛物线方程
2、为,点A、B及点P(2,4)都在抛物线上,直线PA与PB的倾斜角互补。(1)试证明直线AB的斜率为定值;(2)当直线AB的纵截距为m(m0)时,求PAB的面积的最大值。分析:这类问题一般运算量大,要注意函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。解析:(1)证明:把P(2,4)代入,得h=6。所以抛物线方程为:y4=k(x2),由,消去y,得。所以,因为PA和PB的倾角互补,所以,用k代k,得,所以=。(2)设AB的方程为y=2x+m(m0),由,消去y得:,令=164(2m12) 0,解得0m8,点P到AB的距离d=,所以,=,所以,当且仅当,即时,等号成立,故PAB面积最大值为。二
3、、 最值问题解决最值的方法:一是代数法,建立目标函数,转化为函数的最值问题,注意到自变量的范围;二是几何法,考虑某些量的几何特征及意义,利用图形性质求解。例3 求椭圆上的点P到直线L:x2y12=0的最大距离和最小距离。方法1:(求切点)设与L平行的直线与椭圆相切于点P(x,y),由椭圆方程得此切线方程,即(1),又(2),解(1)(2)得切点的坐标为P(2,3)P(2,3)。设点P到直线L的距离为d,由点到直线的距离公式,得,。方法2:(判别式法)设与L平行的椭圆的切线方程为x2y+m=0,代入椭圆方程,消去x得,由=得,。当m=8时,切线方程x2y+8=0,此时,切点为P(2,3);当m=
4、8时,切线方程x2y8=0,此时,切点为P(2,3)设点P到直线L的距离为d,由点到直线的距离公式,得,。方法3:(参数法)设椭圆上任意一点P(4cos,sin),它到直线L的距离为,当时,;当时,。BxyACO图1点评:方法1、方法2可以求出椭圆上的最远点和最近点的坐标,方法3利用椭圆的参数方程,建立目标函数,简洁明了,但求切点的坐标较复杂。例4 已知定点A(0,3)点B、C分别在椭圆的准线上运动,当BAC=90时,求ABC面积的最大值。解:椭圆的两条准线方程分别为:y=1或y=1。点B在直线y=1上且设B(a,1),点C在直线y=1上且设C(b,1),由于BAC=90,A(0,3),所以,
5、=,ab=8。=,当且仅当,即,时ABC面积的值最大为8。三、定点问题处理这类问题有两种方法:一是从特殊入手,求出定点,再证明这个点与变量无关;二是直接推理、计算,并在计算过程中消去变量,从而得到定点。CxyOFBA图2例5(2001年全国高考)设抛物线(p0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BCx轴,证明:直线AC经过原点。方法1:设直线方程为,A,B,C,又,即k也是直线OA的斜率,所以AC经过原点O。当k不存在时,ABx轴,同理可证。xyFBACDO图3NE方法2:如图2过A作ADl,D为垂足,则:ADEFBC连结AC与EF相交于点N,则,由抛物线的定义知:|AF|=|AD|,|BF|=|BC|,.点评:该题的解答既可采用常规的坐标法,借助代数推理进行,又可采用
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