电动力学chp2-4电像法.

1、一.点电荷的密度: 4镜像法在X处有一点电荷q,则p满足p = *故其密度Q =力（左-左）， 多个电荷时，P = S（x-x；）i（x-xdV =1,积分区域包含F点在内 函数的性质：d筛选性：若V包括丘点、在内，而/（可在x = 点附近连续，则有 J/（可5（0）dV = /（0）俠帀阿赴人畧二.镜像法：理论依据：唯一性定理实质：等效代替例1,接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q ,V cp= 0y解:对XV 0区，薦I =00= *x-00|十=(a, 0, 0) x对x 0区，丿如“0 = 00 I一 F 满足，且未改变x0区的泊松方程，则卫点电势由于（p =（Pq + （p鸣何、设想

2、在求解区域以外的x轴上， N -a处放一假想电荷Q=_Q ,代替导体板上的感应电荷 : 在x0区域的电场，这样-。与0 起使边界条件得到了営验证电势满足： 2(P = -(x-,y,z),x0. Q . 11V =4龙()rrf7 1由于广工（），_= 0 f.v V = v2 -4叫 厂所以是唯一正确的解f /2(pdv = f V2 丄du = f 一4龙6(x 一 x)dv = 一 vv 4陀。r4o v。导体表面的感应电荷密度d(pb _ _邑dx当y = z = 0即原点处，Qd石2(d + y + 乙)Qmax导休adS = - f 2idr = -Q(a2 + r2)导体板与Q之

3、间的静电力广例题2真空中有一半径为心的接地导体球，距球心a 2 嚼亠处有一点电荷0,求空间各点电势。若不接地，情况如何？力解：（1）设球外区电势为卩以O, 为极轴建立球坐标系在球内区引入像电荷0放在z轴上的z=b处/1Q a0lR2 + a2 - 2aR cosOyR2 + h2 - 2bR cos O,Qo 0,斥力 引力.合力为斥力 当QT 心，引力 斥力，在靠近0处，负电荷密度 很大，其余处为正电荷，合力为引力 在Q向球面靠近过程中，存在一点F = 0,此时Q = -0.6180/? = 0.618 心，且此时平衡点到球面的距离也为0.6 18心例3,设在y=0面的左方充满电容率为.的介

4、质，右方为E 2的介质，在介质1中y=a处(a0)放置一点电希q,求空间 电势分布.解：设电势为和血r co=0,2r oo=0y=0 卩2y=0两16y=0-2dy|y=o（2）v Vi = - -S (x,y- a,z)1 - cp、 0/ 、空间电势由自由电荷q及其周围的极化电荷qp = - 1-耳q、还有俠/许扼人学界面上的极化电荷共同产生由于q + q p =对y 0区：在y v 0区y = -。处放像电荷力代替界面上的极化电 荷的场5.q】 :O代入边值关系解得：S =q（实际上由对称性也可知：) -q)俠冷阿挺人学解:卩=6（ x - a ）90 xd%例4两个无穷大接地平行导体

5、板中间有一电荷/,两板间 距为坷距左板为“，求两板间电势以及所受的力.1 /血（+）+q 。6 2d+a-a y/ Zadx = dq （-）e-2d-a 0 = 0x d0 “0=0Kx=0 = 0/ 亦-）2（+）血2（一）/ e2d-a 2d+a 4d-a x选（/到极板（1板）的垂足为原点O,向右为X轴，则边界条 件为为使0 = 0,在x=-a处放像电荷q、= _q，但此时2板电势不为零，故在x=2d-a处放厶=-/，在x=2d-ni处放2 = q , 2 = 0,但e又不为零,这样再找化今12,关于i的像俠帀阿挺人畧不斷重复下去，就有无限多个电像.归纳像电荷位置：亠/ 02(-)91

6、2(+)Z_e_/ 2da 2d+a/x 0 处：+ “位置为 2 + a,4d + 6 + a = x = 2nd + a.n = 0,L2,3,4,* (n = a、艮卩原电荷)x 0处：位置为 2d a,4d a,6d a x 0 处: 位置为一a,2一 ayAd a (2) 0所受的静电力就是所有像电荷给它的力的矢量和， 由于正电荷对称的分布在两侧，故所有与q同号的对它施 力的和为零，故oo|ZooF = 2 -Xn=o 4兀2(nd + )”=i 4碇0 2(nd _ a ) 位置（一兀0，一儿，一 Zo）则导电液体中任点（x,y,z）处的电势是8个电荷共同产生.（P）俠冷许扼人申镜像法小结:实质：用假想点电荷一像电荷的场代替未知分布的感应电荷（极化电荷）的电场.像电荷必须放在求解区以夕卜.像电荷的个