空间向量和立体几何练习题及答案学习课件.doc

1、.精品.1.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD丄平面ABCD, 点 IVI 在线段 PB 上，PD/平面 MAC, PA=PD=V&, AB=4.（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角BPD - A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.【分析】（1）设ACnBD=O，则0为BD的中点，连接0M,利用线面平行的性 质证明OMPD,再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；（2）取AD中点G,可得PG丄AD,再曲面面垂直的性质可得PG丄平面ABCD, 则PG丄AD,连接0G,则PG丄0G,再证明0G丄AD.以G为坐标原点，分别以 GD、GO、GP所在直线

2、为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面 PAD的一个法向量，山两法向量所成角的大小可得二面角B - PD - A的大小；（3）求出面的坐标，山页与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直 线MC与平面BDP所成角的正弦值.【解答】（1）证明：如图，设ACABD=O,VABCD为正方形，0为BD的中点，连接0M,TPD平面 MAC, PDu 平面 PBD,平面 PBD A平面 AMC=OM,.PD/OM,则匹U即M为PB的中点；BD BP（2）解：取AD中点G,VPA=PD, A PG丄AD,平面PAD丄平面ABCD,且平面PADCI平面ABCD=AD,/. PG丄平面AB

3、CD,贝lPG丄AD,连接OG,贝lj PG丄OG,由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG/DC,则OGAD.以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为X、y、z轴距离空间直角坐标 系，| PA=PD=V&, AB=4,得 D （2, 0, 0）, A （ - 2, 0, 0）, P （0, 0, &勺），C （2,44, 0), M(-l, 2,炉,DP二（一2, 0, V2）? DB二（一冬 4, Q）设平面PBD的一个法向量为匸（& y, z），取平面PAD的一个法向量为；二（山-）二面角B - PD - A的大小为60；（3）解：可二（-3, -2,乎），平面BDP的一个法向

4、量为匸（1, 1,冋.直线MC与平面BDP所成角的正弦值为cos I = I.巴 =-_zL| = 2晶.【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中 档题.2.如图，在三棱锥P - ABC中，PA丄底面ABC, ZBAC=90.点D, E, N分别为 棱PA, PC, BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4, AB=2.（I ）求证：MN平面BDE；（H）求二面角CEM - N的正弦值；（DI）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为匹，求线则山精品.段AH的长.【分析】(I )取AB中点F,连接MF、NF,由已知可证MF平面BDE, NF平

5、 面BDE得到平面MFN平面BDE,则MN 平面BDE；(口)曲PA丄底面ABC, ZBAC=90.可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在 直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.求出平面MEN与平面CME的一个法向 量，曲两法向量所成角的余弦值得二面角CEMN的余弦值，进一步求得正弦 值；(HI)设AH=t,则H (0, 0, t),求出丽、祝的坐标，结合直线NH与直线BE 所成角的余弦值为匹列式求得线段AH的长.21【解答】(I)证明：取AB中点F,连接MF、NF,TM 为 AD 中点，AMF/BD,TBDu 平面 BDE, MFG平面 BDE, AMF平面 BDETN 为 BC 中点，A

6、NF/7AC,乂 D、E分别为AP、PC的中点，DEAC,则NFDE.TDEu 平面 BDE, NFQ平面 BDE, NF平面 BDE.乂 MFONF=F.平面MFN平面BDE,则MN平面BDE；(辽)解：TPA丄底面 ABC, ZBAC=90.以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.VPA=AC=4 AB=2,/.A (0, 0, 0), B (2, 0, 0), C (0, 4, 0), M (0, 0, 1), N (1, 2, 0), E(0, 2, 2),则2, -1)，ME=(O, 2, 1)，精品.设平面MEN的一个法向量为祜(右* z),山图

7、可得平面CME的一个法向量为1 二(J , Q).-cos _4_ 的五尊 n WTxi- 21-二面角CEMN的余弦值为兰叵，则正弦值为亟5；21 215)解：设 AH=t,则 H (0, 0, t),丽二(-1, -2, t)，BE=(-2, 2, 2)- 直线NH与直线BE所成角的余弦值为竺，21一-一-、丨 NH BE ii 2t - 2 VV-|COSl=lmwl=l717F 解得：t皂或皆丄.52.当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为吃，此时线段AH的长21【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考 查计算能力，是中档题.3如图，儿何体是圆柱

8、的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB边所在 直线为旋转轴旋转120。得到的，G是帀的中点.(I)设P是&上的一点，且AP丄BE,求ZCBP的大小；（II）当AB=3, AD=2时，求二面角EAG - C的大小d而二0mVME=O，得x+2y-z=0,2y4-z=0取 z=2,得#（ 一1, 2）【分析】（I）由已知利用线面垂直的判定可得BE丄平面ABP,得到BE丄BP,结 合 Z EBC=120 求得 ZCBP=30；（口）法一、取奁的中点H,连接EH, GH, CH,可得四边形BEGH为菱形，取 AG中点连接EM, CM, EC,得到EM丄AG, CM丄AG,说明ZEMC为所求二

9、 面角的平面角.求解三角形得二面角E - AGC的大小.法二、以B为坐标原点，分别以BE, BP, BA所在直线为x, y, z轴建立空间直 角坐标系.求出A, E, G, C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个 法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角EAGC的大小.【解答】解：（I ） VAP丄BE, AB丄BE,且 AB, APu 平面 ABP, ABC1AP二A,BE丄平面 ABP, 乂 BPu 平面 ABP,BE丄BP, 乂ZEBC=120,因此 ZCBP=30；（n）解法一、取五的中点H,连接EH, GH, CH,VZEBC=120, A四边形BECH为菱形，A AE=

10、GE=AC=GC=3 2 + 2 2 二.取AG中点M,连接EM, CM, EC,则 EM丄AG, CM丄AG,ZEMC为所求二面角的平面角.乂 AM, A EM=CM=V13-1 =2/3.在ABEC 中，由于ZEBC=120,由余弦定理得：EC2=22+22 - 2X2X2Xcosl20=12,AEC=2V3，因此EMC为等边三角形，精品.故所求的角为60。解法二、以B为坐标原点，分别以BE, BP, BA所在直线为x, y, z轴建立空间 直角坐标系.由题意得：A （0, 0, 3）, E （2, 0, 0）, G （1,岳 3）, C （ 1,届 0）,故疋二 0, -3），AG=（1

11、, 75，on CG=（2, 0, 3）设yr引）为平面AEG的一个法向量,设n=（x2, y2,匕）为平面ACG的一个法向量,cosV二申 二Imllnl 2二面角E - AG - C的大小为60IIImAE=O 得AG 二 02xi -3z i=0屮w取心得匸5 llCAG二0,可得x2+V3y2=0口云二0如+%二0取于彳纭（3,五-2）-【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角 的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题.4如图，在以A, B, C, D, E, F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD,ZAFD=90,且二面角D - AFE

12、与二面角C - BE - F都是60.（I ）证明平面ABEF丄平面EFDC；（II）求二面角E - BC - A的余弦值.【分析】（I ）证明AF丄平面EFDC,利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF丄平面EFDC；（口）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求 出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E - BCA的余 弦值.【解答】（I）证明:VABE F为正方形，AF丄EF.VZAFD=90, AF 丄 DF,VDFAEF=F,AF丄平面 EFDC,VAFc 平面 ABEF,平面ABEF丄平面EFDC；（II）解：由 AF丄DF, A

13、F丄EF,可得ZDFE为二面角D - AF - E的平面角：111 ABEF为正方形，AF丄平面EFDC,TBE 丄 EF,BE丄平面EFDC即有CEBE,可得ZCEF为二面角CBEF的平面角.可得 ZDFE=ZCEF=60.精品.VAB/7EF, AB评面 EFDC, EFu 平面 EFDC,/AB平面 EFDC,平面 EFDCA平面 ABCD=CD, ABc 平面 ABCD,CDEF,四边形EFDC为等腰梯形.以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD二a, 则 E (0, 0, 0), B (0, 2a, 0), C (2, 0,2/. EB= (0, 2a, 0), BC= (2,- 2

14、a,AB=( - 2a, 0, 0)2 2设平面BEC的法向量为ir= (xi, Y1, zi),则=mpBC=0SayOa、泪 ,取ir= (V3 0, - 1).x1-2ay1+azjOa73x?-2ay 9+-T-az9=O 心 z(22222?取仃(o, V3，4).2ax2z0设二面角E - BCA的大小为e,则cose二巳|n | -4_ . 219V3+IV3H619【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建 立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键.5.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O, AB=5, AC=6,点E, F分

15、别在AD, CD上，AE二CF二邑EF交于BD于点H,将ADEF沿EF折到AAEF的位 4置，ODz=Vl0m*EB=O设平面ABC的法向量为n=(X2, y2, Z2)T则nBC=On AB=O),A (2a, 2a, 0),则二面角E - BC - A的余弦值为空2.精品.（I ）证明：AH丄平面ABCD；（n ）求二面角BDZA-C的正弦值.【分析】（I）曲底面ABCD为菱形，可得AD=CD,结合AE=CF可得EFAC,再 由ABCD是菱形，得AC丄BD,进一步得到EF1BD,由EF丄DH,可得EF丄D;H, 然后求解直角三角形得DZH丄OH,再山线面垂直的判定得DZH丄平面ABCD：（

16、口）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，山已知求得所用点的坐标，得到75.而厂、15的坐标，分别求出平面ABD与平面AAC的一个法向石，设二面角二面角B - DZA - C的平面角为求出cosGl 则二面角BDAC的正弦值可求【解答】（I ）证明:VABCD是菱形, AAD=DC, 乂 AE二CF互4嗤帶则EFX又由ABCD是菱形，得AC丄BD,则EF丄BD,EF丄DH,则 EF丄DH,VAC=6, /A0=3,乂 AB=5, A0 丄 0B.AOB=4,.OH二翌0D4 贝J DH=DZH=3,AD:.OD* 12= OH： 2+ DH 2,则 DH 丄 OH,乂 OHQEF=H,A

17、DZH丄平面ABCD；（口）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系,量石、VAB=5, AC=6, /B (5, 0, 0), C (1, 3, 0), DJ(0, 0, 3), A (1, - 3, 0),AB=(4, 3, 0),而厂二d 3, 3” AC=(O, 6, 0”设平面ABD啲一个法向量为石二（x, y, z），同理可求得平面ADX的一个法向量石二（3, 0，1），设二面角二面角BDZA-C的平面角为6,【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了利用平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法，是中档题.6.在三棱柱ABC - AiBiCi

18、中,CA=CB,侧面ABBiAi是边长为2的正方形，点E, F分别在线段AAi、AiBi,且AE二丄AiF=-, CE丄EF24（I ）证明：平面ABBiAi丄平面ABC；（II）若CA丄CB,求直线ACi与平面CEF所成角的正弦值.丨叮吧丨13X3+5X11同|込|一 5住乂伍_则 cosOllKri AB二0得4x+3y=0-x+3y+3z二0取 x=3,得 y= - 4, z=5.石AD厂二0二面角BDAC的正弦值为sine=3Q5.则 A（V5, 0, 0）, C （0, 0, 0）, Cl （0, 0, 2）, E （血，0,丄），F （-1, 21,28 S2）./.7q= （屈

19、0, 2）, CE=o, 1）, CF=（弓2,黑2，2）.设平面CEF的法向量为n二(x, y, z),则,令 z=4,得KF （-疤-皿，4）.2z=0=10, n =65 AC； =VG. jUC =迈|n | | A |18直线ACi与平面CEF所成角的正弦值为绥.18【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中 档题.7如图，在四棱锥中 P - ABCD,PA丄平面 ABCD, AD/ BC, ADCD, K AD=CD=2V2,BC=4V2，PA二2nCE=0nCF=052,.8精品.(1)求证：ABPC；(2)在线段PD上，是否存在一点M,使得二面角M-

20、ACD的大小为45。，如 果存在，求与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.【分析】(1)利用直角梯形的性质求出AB, AC的长，根据勾股定理的逆定理得 出AB丄AC,由PA丄平面ABCD得出AB丄PA,故AB丄平面PAC,于是AB丄PC；(2)假设存在点做出二面角的平面角，根据勾股定理求出M到平面ABCD 的距离从而确定M的位置，利用棱锥的体积求出B到平面MAC的距离h,根据 勾股定理计算BM,则書即为所求角的正弦值.【解答】解：(1)证明：四边形ABCD是直角梯形，AD二CD=2血 B84何/.AC=4, AB= (BC-AD ) ?+CD 2ABC是等腰直角三角形，即AB丄A

21、C,TPA丄平面 ABCD, ABu 平面 ABCD,PA 丄 AB,AB丄平面 PAC, 乂 PCu 平面 PAC,AB 丄 PC (2)假设存在符合条件的点M,过点M作MN丄AD于N,则MNPA,MN丄平面 ABCD, MN丄AC.过点M作MG丄AC于G,连接NG,则AC丄平面MNG,AC丄NG,即ZMGN是二面角MAC - D的平面角.若ZMGN=45,贝lj NG=MN, X AN=V2NG=V2MN,AMN=I,即M是线段PD的中点.存在点M使得二面角M - AC - D的大小为45。在三棱锥 M - ABC 中，VM ABC=S.ABC*MN=1- xX4 X 4X 1謬， 设点B

22、到平面MAC的距离是h,则VB MAC=SAl)ych， VMG=V2MN=A/2T ASz,MAc=yc*MG=4- X 4X近二2血，乙乙*-yX2V2Xh=|-，解得 h=2V2.在ABN 中，AB=4, AN=A/2, ZBAN=135,: BM=A/BN2+MN2=3BM与平面MAC所成角的正弦值;峙普.【点评】本题考查了项U垂直的判定与性质，空间角与空间距离的讣算，属于中档题.8如图,在各棱长均为2的三棱柱ABC - AiBiCi中,侧面AiACCi丄底面ABC, ZAiAC=60.(1)求侧棱AAi与平面ABiC所成角的正弦值的大小；(2)已知点D满足B5=KJ+BC,在直线AA

23、I上是否存在点P,使DP平面ABiC?若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理山./. BN=16+2+2X4X72 X精品.【分析】（1）推导出AiO丄平面ABC, BO丄AC,以O为坐标原点，建立如图所 示的空间直角坐标系0 xyz,利用向量法能求出侧棱AA1与平面AB1C所成角的 正弦值.（2）假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P （0, y, z）,则 帀二（価，y, z）.利用向屋法能求出存在点P，使DP平HI ABiC,其坐标为（0, 0,冋,即恰好为Ai点.【解答】解：（1） 侧面AiACCi丄底面ABC,作AiOAC于点O,AiO丄平面 ABC.乂 ZABC=ZAiA

24、C=60,且各棱长都相等， /AO=1, 0Ai=0B=V3. BO丄AC.（2 分）故以0为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则 A （0,- 1, 0）, B （典，0, 0）, Ai （0, 0,C （0, 1, 0）,: AA；=（，V3）, AB，-A/3）, AC= （0, 2, 0）. . （4 分）设平面AB1C的法向量为二匕y, z），设侧棱AAi与平面ABiC所成角的为6,侧棱AM与平面亦所成角的正弦值为乎.（6分）（2） 7 BD=BA+BC,阳亦二d，T, 0” BC=（-V3，h，/. BD= （- 2品 0, 0）, 乂TB 血、0, 0）, 点 D

25、（品 0, 0）.n AB 二2y-V5 z= 0n* AC 二 2y=0取 x=l,得（ 1 0, 1）.则 sin0= cos 鼎假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P（0, y, z）, ADP=（V3, y? z） :.I I I AP=AJ 得乂 DPQ平面ABiC,故存在点P,使DP平面ABiC,其坐标为（0, 0,勺兮）,即恰好为A】点（12分）【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.9.在三棱柱ABC - AiBiCi中，侧面ABBiAi为矩形，AB=2, g=2品D是AAi 的中点，BD

26、与ABi交于点O,且CO丄平面ABBiAi.（I ）证明：平面ABiC丄平面BCD：（）若OC=OA, AABIC的重心为G,求直线GD与平面ABC所成角的正弦值.【分析】（I）通过证明ABi丄BD, ABi丄CO,推出ABi丄平面BCD,然后证明平 面ABiC丄平面BCDDP平面ABC n=0, 1）为平面ABiC的法向量,X,y=0.（10分）Ci精品.（H）以O为坐标原点，分别以OD, OBi, 0C所在直线为x, y, z轴，建立如 图所示的空间直角坐标系Oxyz.求出平面ABC的法向量，设直线GD与平面 ABC所成角a,利用空间向量的数量积求解直线GD与平面ABC所成角的正弦值 即可

27、.【解答】（本小题满分12分）解：（I ） VABBiAi 为矩形，AB=2,从二2近，D 是 AAi 的中点，二 ZBAD=90, ZABB二90% BB二2逅，AD今从而tan/ABD，tan/ABB二證*ZABD,乙櫛沙 0D= 0A二誉430Bp-C（0, 0,耳3）, Bt（0s 竽，0），D（G（0,攀,攀,尿睜,爭设 平 面 ABC 的 法0）的重心3，0A-A（0,竽，0）, B（年，0,J1J萼，0, 0） VG 为AABiC3鸟3）. （8 分）9向量为 n=（x,* Z）屁普,字）,疋二（0,竽竽）令y“，则卩1, X爭，所以1二（乎，1，】） “分）设直线 GD 与平面

28、 ABC 所成角 asinCl=cos二一严 | - I CD |p | n|-,65所以直线GD与平面ABC所成角的正弦值为零.,2分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法, 考查空间想象能力以及计算能力.10.在矩形ABCD中，AB=4Vs，AD=2将ZABD沿BD折起，使得点A折起 至A,设二面角ABDC的大小为8.（1）当6=90时，求A;C的长；（2）当cos0=l时,求BC与平面/VBD所成角的正弦值.4iiCn AB=OnAC=O可得=y+z 二 0n=,L -1)精品.【分析】（1）过A作BD的垂线交BD于E,交DC于F,连接CE,利用勾股定理

29、 及余弦定理计算AE, CE,由ZVE丄CE得出A，C：（2）利用余弦定理可得A，F=届，从而得出A乍丄平面ABCD,以F为原点建立 坐标系，求出西和平面A，BD的法向量吕，则BC与平面A，BD所成角的正弦值为cos【解答】解：（1）在图1中，过A作BD的垂线交BD于E,交DC于F,连接CE.AB=4岳 AD=2岳 .BD=A/AB2+AD2=1O,在 BCE中，山余弦定理得CE=QBc2 +BE 2BCBEc皿上V0=9O, AE丄平面 ABCD, /.AZE丄CE.A，C 心 E+CE2佰DE吋齐矜2.VtanZFDE=-|-=l., .EF=1, DFJ+EF“皿 、icos6 二+即

30、cosZAEF冷时，A F-j424-l 2-2-4* 1-cos9 =Vl5-AATATEF2, AZA,FE=90乂 BD丄AE, BD丄EF, ABD丄平面 A*EF, ABD丄AFAF丄平面 ABCD.以F为原点，以FC为x轴，以过F的AD的平行线为y轴，以FA，为z轴建立空 间直角坐标系如图所示：/A7 （0, 0, V15）, D （0, 0）, B （35，25，0）, C （朋，0, 0）. r.cE= （o, 2街，o）, D5=（4馅，2乂石，o）, DA?=（妬，o, V15）.设平面/VBD的法向量为二（x, y, z）,则丁怛 ,nDAz =0僭年少0,令Z“得二（屈

31、2品1）.W5x+V15z 二 0精品.二门 CB 二 4V5J 五CB I； | | CB | 師4 2【点评】本题考查了空间角与空间距离的计算，空间向量的应用，属于中档题.如图，由直三棱柱ABC - AiBiCi和四棱锥DBB1C1C构成的儿何体中，Z BAC=90, AB=1, BC=BBi=2, CID=CD=V5，平面 CCiD丄平面 ACCiAx.(I )求证：AC丄DCi；(H)若M为DCi的中点，求证：AM平面DBB1；(ZE)在线段BC上是否存在点P,使直线DP与平面BBiD所成的角为2L?若存3在，求里的值，若不存在，说明理曲.【分析】(I )证明AC丄CCi，得到AC丄平

32、面CCiD,即可证明AC丄DC-(H)易得ZBAC=90,建立空间直角坐标系Axyz,依据已知条件可得 A (0, 0, 0), C(0,屆 0), C(2,逅，0)，B (0, 0, 1),Bl (2, 0, 1), D(l, V3 2),ABC与平面ABD所成角的正弦值为逅.利用向量求得AM与平面DBB1所成角为0,即AM平面DBBi.精品.（HI）利用向量求解【解答】解：（I）证明：在直三棱柱ABC - AiBiCi中，CCi丄平面ABC,故AC 丄 CC1,曲平面CC1D丄平面ACC1A1,且平面CC1DA平面ACCiAi=CCi,所以AC丄平面CCiD,乂 CiDu平面CCiD,所以

33、AC丄DC（口）证明：在直三棱柱ABC - AiBiCi中，AAi丄平面ABC,所以AAi丄AB, AAi丄AC,乂ZBAC=90,所以，如图建立空间直角坐标系A - xyz,依据已知条件可得 A （0, 0, 0）, C（0,馅，0）, C（2,晶 0），B （0, 0, 1）,Bl （2, 0, 1）, D（l, V3, 2）,所以瓯二（2, 0, 0），BD=（1,価，1），设平面DBBi的法向量为二（心y, z），令则Z二x=o,于是n=（0, 1, D，因为M为DCi中点，所以M勞，1），所以AM二（专，、炖，1）， 山 AMn 二（号，V5，1）,（0, 1,飞阳）二 Q，可得 A

34、N 丄 n，所以AM与平面DBBi所成角为0, 即AM/7平面DBBi.（ID）解：山（II）可知平面BBiD的法向量为二（山1, -馅） 设BP二入 BC, AGO, 1,则P（0 V3? 1-入），丽二（-1,若直线 DP 与平Vs x-1-几）面 DBBi 成角为 2LnpBB-|=0nvBD=0f2x=0 x+V5y+z 二 O解得X舟0, 1,【点评】本题考查了空间线线垂直、线面平行的判定，向量法求二面角.属于中 档题12如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，平面AED丄平面ABCD, AB=V2EA=V2ED, EFBD（I）证明：AECD（II） 在棱ED是否存在点

35、使得直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为 亘？若存在，确定点M的位置：若不存在，请说明理由.【分析】（I）利用面面垂直的性质得出CD丄平面AED,故而AE丄CD；（II）取AD的中点O,连接EO,以O为原点建立坐标系，设翌二入，求出平面BDEF的法向量三 令；cos丽，匸 远，根据方程的解得出结论.3【解答】（I）证明：四边形ABCD是正方形，CD丄AD,乂平面AED丄平面ABCD,平面AED A平面ABCD二AD, CDc平面ABCD,CD丄平面 AED, TAEu 平面 AED,|cosn?故不存在这样的点.ACy精品.AE 丄 CD (II)解：取AD的中点O,过O作ON/7AB交BC

36、于N,连接EO,TEA二ED, /.OE丄AD, 乂平面 AED丄平面 ABCD,平面 AEDA 平面 ABCD=AD, OEu平面AED,OE丄平面 ABCD,以o为原点建立空间直角坐标系oxyz,如图所示：设正方形ACD的边长为2,里二入，ED贝lj A (1, 0, 0), B (1, 2, 0), D ( 1, 0, 0), E (0, 0, 1), M (入，0, 1入)/. Ali= ( X - 1, 0, 1 - X), DE=( 1, 0, 1) DB=(2, 2, 0),设平面BDEF的法向量为二(x, y, z), 则丄逻二 0,即(2x+2y=0,令 x=i 得二 a,

37、-D,nDE=0丘+z 二 0令I孑=亜，解得入=o,V3pA/2 X2+2当M与点E重合时，直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为逅【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量与线面角的讣算，属于中档题.13.如图，在四棱锥 P ABCD 中，ZABC=ZACD=90, ZBAC=ZCAD=60, PA丄 平面 ABCD, PA=2, AB=1.（1）设点E为PD的中点，求证：CE平面PAB；（2）线段PD上是否存在一点N,使得直线CN与平面PAC所成的角6的正弦值 为亶E?若存在，试确定点N的位置，若不存在，请说明理由.5【分析】（1）取AD中点利用三角形的中位线证明EM平面PAB,利用同

38、位角相等证明MCAB,得到平面EMC平面PAB,证得EC平面PAB：（2）建立坐标系，求出平面PAC的法向量，利用直线CN与平面PAC所成的角8 的正弦值为鱼可得结论.【解答】(1)证明：取AD中点连EM, CM,则EM/7PAEMQ平面 PAB, PAc 平面 PAB,EM 平面 PAB.在 RtAACD 中，ZCAD=60, AC=AM=2, /. ZACM=60而 ZBAC=60TMCQ平面 PAB, ABc 平面 PAB, .MC平面 PAB.VEMAMC=M, J平面 EMC平面 PAB.VECc平面EMC, EC平面PAB.(2)解：过A作AF丄AD,交BC于F,建立如图所示的坐标

39、系，则A (0, 0, 0), B (返，0), C(V3, 1，0), D (0, 4, 0), P (0, 0, 2),设丽入而（0W入W1）,则丽（0, 4入，-2X）, CN= （ - X - 1, 2 - 2入）,设平面PAC的法向量为二（x, y, z）,则2 2,取 3, 0),精品. cos1= -里2 -.“3+（4 丸一1 ）却（2-2 九）2飞住 52AN为PD的中点，使得直线CN与平面PAC所成的角0的正弦值为垂.5【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学 生分析解决问题的能力，属于中档题.14.如图，四棱锥P - ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PAB丄平面ABCD, PB=PC, ZABC=45，点E是线段PA上靠近点A的三等分点.（I ）求证：AB丄PC；（H）若APAB是边长为2的等边三角形，求直线DE与平面PBC所成角的正弦 值.【分析】（I ）作P0丄AB于6连接0C,可得P0丄面ABCD. lljAPOBAPOC, ZABC=45,得0C丄AB，即得AB丄面POC,可证得AB丄PC.（