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1、时域离散信号和系统的频域分析第章第2章时域离散信号和系统的频域分析2.1学习要点与重要公式学习要点与重要公式2.2FT和和ZT的逆变换的逆变换2.3分析信号和系统的频率特性分析信号和系统的频率特性2.4例题例题2.5习题与上机题解答习题与上机题解答时域离散信号和系统的频域分析第章2.1学习要点与重要公式学习要点与重要公式数字信号处理中有三个重要的数学变换工具， 即傅里叶变换（FT）、 Z变换（ZT）和离散傅里叶变换（DFT）。 利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换， 这方便了对信号和系统的分析和处理。 三种变换互有联系， 但又不同。 表征一个信号和系统的频域特性是用傅里叶变换。

2、 Z变换是傅里叶变换的一种推广， 单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。时域离散信号和系统的频域分析第章在z域进行分析问题会感到既灵活又方便。 离散傅里叶变换是离散化的傅里叶变换， 因此用计算机分析和处理信号时， 全用离散傅里叶变换进行。 离散傅里叶变换具有快速算法FFT， 使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛。 但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z变换， 它将信号的时域和频域， 都进行了离散化， 这是它的优点。 但更有它自己的特点， 只有掌握了这些特点， 才能合理正确地使用DFT。 本章只学习前两种变换， 离散傅里叶变换及其FFT将在下一章学习。时域离散信号和系统的频域分析第章2.1.1学习要

3、点学习要点（1） 傅里叶变换的正变换和逆变换定义， 以及存在条件。 （2）傅里叶变换的性质和定理： 傅里叶变换的周期性、 移位与频移性质、 时域卷积定理、 巴塞伐尔定理、 频域卷积定理、 频域微分性质、 实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性。 （3）周期序列的离散傅里叶级数及周期序列的傅里叶变换表示式 。（4）Z变换的正变换和逆变换定义， 以及收敛域与序列特性之间的关系。时域离散信号和系统的频域分析第章（5） Z变换的定理和性质： 移位、 反转、 z域微分、 共轭序列的Z变换、 时域卷积定理、 初值定理、 终值定理、 巴塞伐尔定理。 （6） 系统的传输函数和系统函数的求解。 （7） 用极点

4、分布判断系统的因果性和稳定性。 （8） 零状态响应、 零输入响应和稳态响应的求解。 （9） 用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性。 时域离散信号和系统的频域分析第章2.1.2重要公式重要公式（1）nnnxeXjje )()(jjde )e (21)(nXnx这两式分别是傅里叶变换的正变换和逆变换的公式。 注意正变换存在的条件是序列服从绝对可和的条件， 即nnx)(时域离散信号和系统的频域分析第章（2） knxnxkXNnknN e )()(DFS)(102jnkXNkXnxkknN e )(1)(IDFS)(2j这两式是周期序列的离散傅里叶级数变换对， 可用以表现周期序列的频谱特性。时域离

5、散信号和系统的频域分析第章 （3） )2()(2)(FT)e (jkkNkXNnxX该式用以求周期序列的傅里叶变换。 如果周期序列的周期是N， 则其频谱由N条谱线组成， 注意画图时要用带箭头的线段表示。（4） 若y(n)=x(n)*h(n), 则)e ()e ()e (jjjHXY这是时域卷积定理。时域离散信号和系统的频域分析第章（5） 若y(n)=x(n)h(n), 则)e ()e (21)e (jjjXHY这是频域卷积定理或者称复卷积定理。 （6） )()(21)(enxnxnx)()(21)(onxnxnx时域离散信号和系统的频域分析第章式中, xe(n)和xo(n)是序列x(n)的共轭

6、对称序列和共轭反对称序列， 常用以求序列的xe(n)和xo(n)。 （7） nnznxzX)()(),( d)(21)(1xxcnRRczzzXjnx这两式分别是序列Z变换的正变换定义和它的逆Z变换定义。 时域离散信号和系统的频域分析第章（8） d)(21)(222jneXnxcnvvvYvXnynxd)1()(21)()(1,min1,maxyxyxRRvRRyxyxRRRR1时域离散信号和系统的频域分析第章前两式均称为巴塞伐尔定理， 第一式是用序列的傅里叶变换表示， 第二式是用序列的Z变换表示。 如果令x(n)=y(n)， 可用第二式推导出第一式。（9） 若x(n)=a|n|, 则)1)(

7、1 (1)(12azazazX1azax(n)=a|n|是数字信号处理中很典型的双边序列， 一些测试题都是用它演变出来的。 时域离散信号和系统的频域分析第章2.2FT和和ZT的逆变换的逆变换（1） FT的逆变换为 jjde )e (21)(nXnx用留数定理求其逆变换， 或将z=ej代入X(ej)中， 得到X(z)函数， 再用求逆Z变换的方法求原序列。 注意收敛域要取能包含单位圆的收敛域， 或者说封闭曲线c可取单位圆。 时域离散信号和系统的频域分析第章例如， 已知序列x(n)的傅里叶变换为jje11)e (aX1a求其反变换x(n)。 将z=ej代入X(ej)中， 得到111)(azzX因极点

8、z=a， 取收敛域为|z|a|， 由X(z)很容易得到x(n)=anu(n)。 （2） ZT的逆变换为),( d)(21)(1xxcnRRczzzXjnx时域离散信号和系统的频域分析第章求Z变换可以用部分分式法和围线积分法求解。 用围线积分法求逆Z变换有两个关键。 一个关键是知道收敛域以及收敛域和序列特性之间的关系， 可以总结成几句话： 收敛域包含点， 序列是因果序列； 收敛域在某圆以内， 是左序列； 收敛域在某圆以外， 是右序列； 收敛域在整个z面， 是有限长序列； 以上、 、 均未考虑0与两点， 这两点可以结合问题具体考虑。另一个关键是会求极点留数。 时域离散信号和系统的频域分析第章2.3

9、分析信号和系统的频率特性分析信号和系统的频率特性求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。 但分析频率特性使用Z变换却更方便。 我们已经知道系统函数的极、 零点分布完全决定了系统的频率特性， 因此可以用分析极、 零点分布的方法分析系统的频率特性， 包括定性地画幅频特性， 估计峰值频率或者谷值频率， 判定滤波器是高通、 低通等滤波特性， 以及设计简单的滤波器（内容在教材第5章）等。时域离散信号和系统的频域分析第章根据零、 极点分布可定性画幅频特性。 当频率由0到2变化时， 观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化， 在极点附近会形成峰。 极点愈靠进单位圆， 峰值愈高； 零点附近形成谷， 零点愈靠进单位圆

10、， 谷值愈低， 零点在单位圆上则形成幅频特性的零点。 当然， 峰值频率就在最靠近单位圆的极点附近， 谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近。 滤波器是高通还是低通等滤波特性， 也可以通过分析极、 零点分布确定， 不必等画出幅度特性再确定。 一般在最靠近单位圆的极点附近是滤波器的通带； 阻带在最靠近单位圆的零点附近， 如果没有零点， 则离极点最远的地方是阻带。 参见下节例2.4.1。 时域离散信号和系统的频域分析第章2.4例题例题例例2.4.1已知IIR数字滤波器的系统函数试判断滤波器的类型（低通、 高通、 带通、 带阻）。 （某校硕士研究生入学考试题中的一个简单的填空题）解解： 将系统函数写成下式

11、:19 . 011)(zzH9 . 09 . 011)(1zzzzH时域离散信号和系统的频域分析第章系统的零点为z=0， 极点为z=0.9， 零点在z平面的原点， 不影响频率特性， 而惟一的极点在实轴的0.9处， 因此滤波器的通带中心在=0处。 毫无疑问， 这是一个低通滤波器。 例例2.4.2假设x(n)=xr(n)+jxi(n)， xr(n)和xj(n)为实序列， X(z)=ZTx(n)在单位圆的下半部分为零。 已知其它 02 410 21)(nnnxr求X（ej）=FTx(n)。时域离散信号和系统的频域分析第章解解： Xe(ej)=FTxr(n)2cos1 (21e41e4121)(FT)

12、e (2 j2 jrjenxX)e ()e (21)e (jjjeXXX因为X(ej)=02所以X(e-j)=X(ej(2-)=00时域离散信号和系统的频域分析第章当0时， ， 故)e (21)e (jjeXX)2cos1 (21)e (21)e (jjeXX2cos1)e (jX当2时， X(ej)=0， 故 02cos1)e (jX02时域离散信号和系统的频域分析第章因此ReX(ej)=X(ej)ImX(ej)=0例例2.4.3已知02)(nNnnx0nNN+1n2Nn0, 2Nn求x(n)的Z变换。 时域离散信号和系统的频域分析第章解解： 题中x(n)是一个三角序列， 可以看做两个相同的

13、矩形序列的卷积。 设y(n)=RN(n)*RN(n), 则 0) 1(210)()()(nNnnRnRnyNNn00nN1Nn2N12Nn将y(n)和x(n)进行比较， 得到y(n1)=x(n)。 因此 Y（z）z1=X(z)Y(z)=ZTRN(n)ZTRN(n)时域离散信号和系统的频域分析第章zzzzzzznRNNNNnnN0 , ) 1(111)(ZT1110故212111111) 1(1) 1(1)(zzzzzzzzzzzXNNNNNN例例2.4.4时域离散线性非移变系统的系统函数H(z)为为常数和babzazzH ,)(1)(时域离散信号和系统的频域分析第章 （1） 要求系统稳定， 确

14、定a和b的取值域。 （2） 要求系统因果稳定， 重复（1）。 解： （1） H(z)的极点为a、 b， 系统稳定的条件是收敛域包含单位圆， 即单位圆上不能有极点。 因此， 只要满足|a|1, |b|1即可使系统稳定， 或者说a和b的取值域为除单位圆以的整个z平面。（2） 系统因果稳定的条件是所有极点全在单位圆内， 所以a和b的取值域为0|a|1, 0|b|1时域离散信号和系统的频域分析第章例例2.4.5, f1=10 Hz， f2=25 Hz， 用理想采样频率Fs=40 Hz对其进行采样得到。 （1） 写出的表达式;（2） 对进行频谱分析， 写出其傅里叶变换表达式， 并画出其幅度谱；（3）如要

15、用理想低通滤波器将cos(2f1t)滤出来， 理想滤波器的截止频率应该取多少？) 2cos() 2cos()(21tftftx)(tx)(tx)(tx解：)( )2cos()2cos()( 21nTtnTfnTftxn时域离散信号和系统的频域分析第章（2） 按照采样定理, 的频谱是x(t)频谱的周期延拓， 延拓周期为Fs=40 Hz，x(t)的频谱为)( tx)2()2()2()2()(2211ffffjX)( )(txFTjX )jj (1nsnXT)22()22( )22()22( 2211nFfnFfnFfnFfTssssn画出幅度谱如图2.4.1所示。时域离散信号和系统的频域分析第章图

16、2.4.1时域离散信号和系统的频域分析第章（3） 观察图2.4.1， 要把cos(2f1t)滤出来， 理想低通滤波器的截止频率fc应选在10 Hz和20 Hz之间，可选fc15 Hz。 如果直接对模拟信号x(t)=cos(2f1t)+cos(2f2t)进行滤波， 模拟理想低通滤波器的截止频率选在10 Hz和25 Hz之间， 可以把10 Hz的信号滤出来， 但采样信号由于把模拟频谱按照采样频率周期性地延拓， 使频谱发生变化，因此对理想低通滤波器的截止频率要求不同。 时域离散信号和系统的频域分析第章例例2.4.6对x(t)=cos(2t)+cos(5t)进行理想采样， 采样间隔T=0.25 s，

17、得到， 再让通过理想低通滤波器G(j)， G(j)用下式表示:)( tx)( tx404 25. 0)j (G(1) 写出的表达式;(2) 求出理想低通滤波器的输出信号y(t)。)( tx时域离散信号和系统的频域分析第章)( )5cos() 2cos()( nTtnTnTtxn解解：(1)( )25. 1cos() 5 . 0cos(nTtnnn时域离散信号和系统的频域分析第章（2） 为了求理想低通滤波器的输出， 要分析的频谱。 中的两个余弦信号频谱分别为在0.5和1.25的位置， 并且以2为周期进行周期性延拓， 画出采样信号的频谱示意图如图2.4.2（a）所示， 图2.4.2（b）是理想低通

18、滤波器的幅频特性。 显然， 理想低通滤波器的输出信号有两个， 一个的数字频率为0.5， 另一个的数字频率为0.75， 相应的模拟频率为2和3， 这样理想低通滤波器的输出为y(t)=0.25cos(2t)+cos(3t)( tx)( tx)( tx时域离散信号和系统的频域分析第章图2.4.2时域离散信号和系统的频域分析第章2.5习题与上机题解答习题与上机题解答1 设X(ej)和Y(ej)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换， 试求下面序列的傅里叶变换： (1) x(nn0) (2) x*(n)(3) x(n) (4) x(n)*y(n)(5) x(n)y(n) (6) nx(n)(7) x(2n

19、) (8) x2(n)奇数偶数nnnxnx 0 )2/()(9(9)时域离散信号和系统的频域分析第章解解：（1） nnnnxnnxj00e )()(FT令n=nn0, 即n=n+n0， 则)e (e )()(FTjj)(j000Xenxnnxnnnn（2）)e (e )(e )()(FTjjjXnxnxnxnnnn时域离散信号和系统的频域分析第章（3） nnnxnxje )()(FT令n=n， 则)e (e )()(FTjjXnxnxnn（4） FTx(n)*y(n)=X(ej)Y(ej) 下面证明上式成立： mmnymxnynx)()()()(时域离散信号和系统的频域分析第章mnnmnymx

20、nynxje)()()()(FT令k=nm, 则)e ()e (e )(e )(ee)()()()(FTjjjjjjyxmxkykymxnynxmnkkmnkk时域离散信号和系统的频域分析第章（5） nnnnnYnxnynxnynxjjjjede )e (21)( e )()()()(FT)( j)( jd)e ()e (21de )()e (21XYnxYjnnj时域离散信号和系统的频域分析第章或者 )( jjd)e ()e (21)()(FTYXnynx（6） 因为nnnxXjje )()e (对该式两边求导， 得到)(jFTe )(jd)e (dnnxnnxXnnjj时域离散信号和系统的

21、频域分析第章因此d)e (dj)(FTjXnnx（7） nnnxnxje)2()2(FT令n=2n， 则时域离散信号和系统的频域分析第章)(e)e (21)(ee )(21e)() 1()(21e )()2(FT)(21j21j21j21j21j， 2/jXXenxnxnxnxnxnxnnnjnnnnnnnn取偶数时域离散信号和系统的频域分析第章或者)e()e (21)2(FT21j21jXXnx（8） nnnxnxj22e )()(FT利用（5）题结果， 令x(n)=y(n), 则d)e ()e (21)e ()e (21)(FTjjjj2XXXXnx时域离散信号和系统的频域分析第章（9）n

22、nnxnxje )2/()2/(FT令n=n/2， 则)e (e )()2/(FT2 j2 jXnxnxnn2 已知 |, 0|, 1)e (00jX求X(ej)的傅里叶反变换x(n)。 时域离散信号和系统的频域分析第章解解： nnnxnsinde21)(0j003. 线性时不变系统的频率响应（频率响应函数）H(ej)=|H(ej)|ej()， 如果单位脉冲响应h(n)为实序列， 试证明输入x(n)=A cos(0n+j)的稳态响应为)(cos| )e (|)(00j0jnHAny时域离散信号和系统的频域分析第章解解： 假设输入信号x(n)=ej0n，系统单位脉冲响应为h(n)， 则系统输出为

23、nmmnmmnHmhmhnxnhny00000jjjj)(je )e (e )(e e )()()()(上式说明当输入信号为复指数序列时， 输出序列仍是复指数序列， 且频率相同， 但幅度和相位取决于网络传输函数。 利用该性质解此题：时域离散信号和系统的频域分析第章)cos()(0jnAnxeeee 21jjjj00jjnnA)(jjjj)(jjjjjjjjjj0000000000e)e (eee)e (e21)e (ee)e (ee 21)(jjjjHHeAHHAnynnnn时域离散信号和系统的频域分析第章上式中|H(ej)|是的偶函数， 相位函数是的奇函数， |H(ej)|=|H(e-j)|

24、， ()=(), 故)(cos()e (eeeeee)e (21)(00j)(j)(jjj000000jjjnHAHAnynjjnj4设其它01 . 01)(nnx时域离散信号和系统的频域分析第章将x(n)以4为周期进行周期延拓， 形成周期序列， 画出x(n)和的波形， 求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。)(nx)(nx)(nx)(kX解： 画出x(n)和的波形如题4解图所示。 )(nx为周期以4) ( e)4cos(2)ee (ee1ee )()(DFS)(4j4j4j4j2j102j42j30kXknxnxkXkkkkknknknn时域离散信号和系统的频域分析第章题4解图时域离散信号和系统

25、的频域分析第章或者 为周期以4)( 41sin21sine )e(ee)ee (ee1e1e)(4141j41j41j21j21j21j2j102jkXkkkXkjkkkkkkkkjnkn时域离散信号和系统的频域分析第章)2( e )4cos()2( )(2)42()(42)(FT)e (4jjkkkkXkkXnxXkkkk时域离散信号和系统的频域分析第章5. 设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ej)表示， 不直接求出X(ej)， 完成下列运算或工作：题5图时域离散信号和系统的频域分析第章)e (0 jX(1)(2)jd)e (X(3)e (jX(4) 确定并画出傅里叶变换实部ReX(ej

26、)的时间序列xa(n)；2jd| )(e|X(5)(6)d|d)e (d|2jX时域离散信号和系统的频域分析第章解解(1)6)()e (730 jnnxX(2)42)0(d)e (jxX(3)2)() 1(e )()e (73jjnnnnnxnxX（4） 因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分， 即nnjnxeXRjeee )()()()(21)(enxnxnx时域离散信号和系统的频域分析第章按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示。题5解图时域离散信号和系统的频域分析第章(5)28)(2d)e (7322njnxX(6) 因为)(jFTd)e (djnnxX因此316)(2dd)e (

27、d7322jnnnxX时域离散信号和系统的频域分析第章6 试求如下序列的傅里叶变换：(1) x1(n)=(n3)(2) 1(21)() 1(21)(2nnnnx(3) x3(n)=anu(n)0a1(4) x4(n)=u(n+3)u(n4)解解(1)3jjj1ee)3()e (nnnX时域离散信号和系统的频域分析第章(2)cos1)ee (211 e211e21e )()e (jjjjj2j2nnnxX(3)j0jjj3e11e e )()e (aanuaXnnnnnn时域离散信号和系统的频域分析第章(4)33jjj4ee )4()3()e (nnnnnunuXjj3 jj4j31j30j31

28、j30jee1e1e1e1eeeennnnnnnn)21sin()27sin(e)ee (e)ee (eee1e1e1eee1e1e1e13j21j21j21j27j27j27j3 jj7 jj4 j3 jj3jj4 j时域离散信号和系统的频域分析第章或者: )3()4()3()(73nRnununxnnnRXj7j4e )3()e (j7 j60j7e1e1e)(FTnnnRnnnRXj7j4e )3()e (3 jj7 jee1e1)21sin()27sin()ee (e)ee (ee)ee (e)ee (e2j2j2j27j27j2j3 j2j2j227j2727jjj时域离散信号和系统

29、的频域分析第章7 设： （1） x(n)是实偶函数， （2） x(n)是实奇函数， 分别分析推导以上两种假设下， 其x(n)的傅里叶变换性质。 解解：令nnnxXjje )()e (1) 因为x(n)是实偶函数， 对上式两边取共轭， 得到)e (e)(e)()e (j)( jjjXnxnxXnnnn时域离散信号和系统的频域分析第章因此 X(ej)=X*（ej）上式说明x(n)是实序列， X(ej)具有共轭对称性质。 nnnnxnxXsinj)cos(e )()e (jj由于x(n)是偶函数， x(n) sin是奇函数， 那么nnx0sin)(因此nnxXcos)()e (j时域离散信号和系统的

30、频域分析第章该式说明X(ej)是实函数， 且是的偶函数。 总结以上, x(n)是实偶函数时， 对应的傅里叶变换X(ej)是实函数， 是的偶函数。 （2） x(n)是实奇函数。 上面已推出， 由于x(n)是实序列， X(ej)具有共轭对称性质， 即 X(ej)=X*(ej)nnnnxnxXsinj)cos(e )()e (jj时域离散信号和系统的频域分析第章由于x(n)是奇函数， 上式中x(n) cos是奇函数， 那么0cos)(nnx因此 nnxXsin)(j)(ej这说明X(ej)是纯虚数， 且是的奇函数。 8 设x(n)=R4(n)， 试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列x

31、o(n)， 并分别用图表示。 时域离散信号和系统的频域分析第章解解：)()(21)(44enRnRnx)()(21)(44onRnRnxxe(n)和xo(n)的波形如题8解图所示。 题8解图时域离散信号和系统的频域分析第章9已知x(n)=anu(n), 0a1， 分别求出其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)的傅里叶变换。解解：nnnxXjje )()e (因为xe(n)的傅里叶变换对应X(ej)的实部， xo(n)的傅里叶变换对应X(ej)的虚部乘以j， 因此时域离散信号和系统的频域分析第章cos21cos1e1e1e11e11)e ()(FT2jjjejejeeaaaaaaRaRXRnxco

32、s21sine1e1e11Imje11Imj)e (Imj)(FT2jjjjjaaaaaaaXnxo时域离散信号和系统的频域分析第章10 若序列h(n)是实因果序列， 其傅里叶变换的实部如下式： HR(ej)=1+cos求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。 解解：nnRnhnhHjeejjje )()(FT e21e211cos1)e (时域离散信号和系统的频域分析第章121011 21)(ennnnhnnnnnhnnhnnh其它01101 0)(20)(00)(ee)2/cos(e2e1e )()e (2/jjjjnnnhH时域离散信号和系统的频域分析第章11 若序列h(n)是实因果序列

33、， h(0)=1， 其傅里叶变换的虚部为HI(ej)=sin求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。 解解： eej21sin)e (jjjIHnnoIonhHnhjjjje )(ee 21)(ej)(FT时域离散信号和系统的频域分析第章12100121)(onnnnhnnnnnhnnhnnh其它011010)(20)(00)(o)2/cos(e2e1e )()e (2/jjjjnnnhH时域离散信号和系统的频域分析第章12 设系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n), 0a1， 输入序列为x(n)=(n)+2(n2)完成下面各题： (1) 求出系统输出序列y(n)； (2) 分别求出x(n)

34、、 h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解解(1)2(2)( )2()n)()()()(2nuanuannuanxnhnynnn时域离散信号和系统的频域分析第章(2)2 jjje21e)2(2)()e (nnnnXj0jjje11ee )()e (aanuaHnnnnnnj2jjjje1e21)e ()e ()e (aXHY时域离散信号和系统的频域分析第章13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)， 式中f0=100 Hz， 以采样频率fs=400 Hz对xa(t)进行采样， 得到采样信号和时域离散信号x(n)， 试完成下面各题： （1） 写出的傅里叶变换表示式Xa(j)； （2） 写出和x(

35、n)的表达式； （3） 分别求出的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。 解解： )(txa)(txa)(txa)(txatttttxXtttttaade ee de )cos(2de )()j ( jjjj0j00时域离散信号和系统的频域分析第章上式中指数函数的傅里叶变换不存在， 引入奇异函数函数， 它的傅里叶变换可以表示成： )()(2)j ( 00aX（2） )()cos(2)()()(0nnaanTtnTnTttxtxnnTnx- )cos(2)(0ms 5 . 21 rad 2002s00fTf时域离散信号和系统的频域分析第章（3） )()(2 )jj (1)(s00ksksaakk

36、TkXTjX式中rad/s 8002ssf)2()2(2e ee e )cos(2e )cos(2e )()e (00jjjj0j0jj00kknnTnxXknnnnnnnnnn时域离散信号和系统的频域分析第章式中0=0T=0.5 rad上式推导过程中， 指数序列的傅里叶变换仍然不存在， 只有引入奇异函数函数才能写出它的傅里叶变换表示式。 14 求出以下序列的Z变换及收敛域:(1) 2nu(n)(2) 2nu(n1)(3) 2nu(n)(4) (n)(5) (n1)(6) 2nu(n)u(n10)时域离散信号和系统的频域分析第章解(1)21 2112)(2)(2ZT110zzzznununnn

37、nnnn(2)21 21121222) 1(2)1(2ZT1111zzzzzzznununnnnnnnnnn时域离散信号和系统的频域分析第章21 2112 2)(2)(2ZT00zzzzznununnnnnnnnnn(3)(4) ZT(n)=1 0|z|(5) ZT(n1)=z1 0|z|(6) 0 2121 2)10()(2ZT11101090zzzznununnnn时域离散信号和系统的频域分析第章15 求以下序列的Z变换及其收敛域， 并在z平面上画出极零点分布图。 (1) x(n)=RN(n)N=4(2) x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9, 0=0.5 rad, j=

38、0.25 rad(3)其它02 12 0)(NnNnNNnnnx式中， N=4。时域离散信号和系统的频域分析第章解(1) 0 ) 1(1z11 )()(3414304zzzzzzznRzXnnnn由z41=0， 得零点为3 , 2 , 1 , 0 ez 42jkkk由z3(z1)=0， 得极点为 z1, 2=0, 1零极点图和收敛域如题15解图(a)所示， 图中, z=1处的零极点相互对消。时域离散信号和系统的频域分析第章题15解图时域离散信号和系统的频域分析第章(2) )( ee eeAr21 )()cos()(jjjj000nununArnxnnnnjjje1ee1e21eeee21)(1

39、jj1j00jjjj0000zrzrAzrzrAzXjnnnnnnnnjjjj)e1 ()e1 ()cos(cos1j1j1000zrzrzrAjjrz 时域离散信号和系统的频域分析第章零点为 cos)cos(01jj rz极点为00j3j2e erzrz极零点分布图如题15解图(b)所示。(3)令y(n)=R4(n), 则x(n+1)=y(n)*y(n)zX(z)=Y(z)2, X(z)=z1Y(z)2时域离散信号和系统的频域分析第章因为) 1(111)(3414zzzzzzY因此2472341) 1(11) 1(1)(zzzzzzzzX极点为z1=0, z2=1零点为3 , 2 , 1 ,

40、 0 e42jkzkk在z=1处的极零点相互对消， 收敛域为0|z|， 极零点分布图如题15解图(c)所示。时域离散信号和系统的频域分析第章16 已知112122113)(zzzX求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。 解解： X(z)有两个极点： z1=0.5, z2=2， 因为收敛域总是以极点为界， 因此收敛域有三种情况： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三种收敛域对应三种不同的原序列。 （1）收敛域|z|0.5： 时域离散信号和系统的频域分析第章zzzXjnxcnd)(21)(1令nnnzzzzzzzzzzXzF)2)(5 . 0(75 )21)(5 . 01 (75)()

41、(11111n0时， 因为c内无极点，x(n)=0;n1时， c内有极点 0 ， 但z=0是一个n阶极点， 改为求圆外极点留数， 圆外极点有z1=0.5, z2=2， 那么时域离散信号和系统的频域分析第章) 1(22)21(3)2()2)(5 . 0()75()5 . 0()2)(5 . 0()75(2),(sRe5 . 0),( sRe)(25 . 0nuzzzzzzzzzzzFzFnxnnznzn(2)收敛域0.5|z|2:)2)(5 . 0()75()( zzzzzFn时域离散信号和系统的频域分析第章n0时， c内有极点0.5，nzFnx)21(35 . 0 ),( sRe)( n0时，

42、 c内有极点 0.5、 0 ， 但 0 是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， c外极点只有一个， 即2，x(n)=ResF(z), 2=2 2nu(n1)最后得到) 1(22)()21(3)(nununxnn时域离散信号和系统的频域分析第章（3）收敛域|z|2: )2)(5 . 0()75()( zzzzzFnn0时， c内有极点 0.5、 2，nnzFzFnx222132 ),( sRe5 . 0),( sRe)( n0时， 由收敛域判断， 这是一个因果序列， 因此x(n)=0； 或者这样分析， c内有极点0.5、 2、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数，c外无极点， 所以x(

43、n)=0。 时域离散信号和系统的频域分析第章最后得到)(22213)( nunxnn17 已知x(n)=anu(n), 0a1。 分别求： (1) x(n)的Z变换；(2) nx(n)的Z变换；(3) anu(n)的Z变换。解解： (1)azazznuanuazXnnnn 11)()(ZT)(1时域离散信号和系统的频域分析第章azazazzXzznnx )1 ()(dd)( ZT212(2)(3)100 11)(ZTazazzazanuannnnnnn18 已知2112523)(zzzzX分别求： （1） 收敛域0.5|z|2对应的原序列x(n)。 时域离散信号和系统的频域分析第章解解：cnz

44、zzXnxd)(j21)(1)2)(5 . 0(232523)()(12111zzzzzzzzzXzFnnn（1） 收敛域0.5|z|2:n0时，c内有极点0.5，x(n)=ResF(z), 0.5=0.5n=2nn0时， c内有极点0.5、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数， c外极点只有2， x(n)=ResF(z), 2=2n时域离散信号和系统的频域分析第章最后得到 x(n)=2nu(n)+2nu(n1)=2|n|n2:n0时， c内有极点0.5、 2，nnznnzzzzzFzFnx25 . 0)2()2)(5 . 0(235 . 02),(sRe5 . 0),( sRe)(

45、 2时域离散信号和系统的频域分析第章n0时， c内有极点0.5、 2、 0， 但极点0是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， 可是c外没有极点， 因此x(n)=0最后得到 x(n)=(0.5n2n)u(n)19 用部分分式法求以下X(z)的反变换：21|,252311)(211zzzzzX(1)时域离散信号和系统的频域分析第章(2)21|,41121)(21zzzzX解解： (1)21z 411311)(21zzzX 4131)(22zzzzX时域离散信号和系统的频域分析第章21652161 )21)(21(31 4131)(2zzzzzzzzzX)(2165)21(61)(211652116

46、1)(11nunxzzzXnn时域离散信号和系统的频域分析第章(2)21z 41121)(21zzzX 21252123 2121z2z 412)(2zzzzzzzX112112521123)(zzzX时域离散信号和系统的频域分析第章) 1()21(25)21(23)(nunxnn20 设确定性序列x(n)的自相关函数用下式表示： nxxmnxnxmr)()()(试用x(n)的Z变换X(z)和x(n)的傅里叶变换X(ej)分别表示自相关函数的Z变换Rxx(z)和傅里叶变换Rxx(ej)。时域离散信号和系统的频域分析第章解： 解法一nxxmnxnxmr)()()(mnmmnmxxzmnxnxzm

47、nxnxzR )()()()()(令m=n+m, 则)()( )()()()()(1zXzXzmxznxzmxnxzRnmmnnmnmxx时域离散信号和系统的频域分析第章解法二)()()()()()()()(1zXzXzRmxmxmnxnxmrxxnxx)e ()e ()()e (jjejjXXzRRzxxxx因为x(n)是实序列， X(ej)=X*(ej)， 因此2jj)e ()e (XRxx时域离散信号和系统的频域分析第章21 用Z变换法解下列差分方程： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0 n1(2) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(1)=

48、1， y(n)=0n1(3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n) y(1)=0.2, y(2)=0.5, y(n)=0, 当n3时。解解： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0n1)1)(9 . 01 (05. 0)(1105. 0)(9 . 0)(1111zzzYzzzYzY时域离散信号和系统的频域分析第章1111119 . 005. 019 . 0105. 0)()(nnnzzzzzzzzYzFn0时， 5 . 09 . 05 . 0 1 . 005. 0)9 . 0(1 . 005. 0 1),( sRe9 . 0),( sRe)(11nnz

49、FzFnyn0时， y(n)=0最后得到 y(n)=0.5 (0.9)n+1+0.5u(n)时域离散信号和系统的频域分析第章(2) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n), y(1)=1, y(n)=0 n1111105. 0)()(9 . 0)(zzkyzYzzYkk11111105. 09 . 0)(9 . 0)(105. 0) 1()(9 . 0)(zzYzzYzzyzYzzY)1)(9 . 01 (9 . 095. 0)(111zzzzY时域离散信号和系统的频域分析第章nnnzzzzzzzzzzYzF) 1)(9 . 0(9 . 095. 0)1)(9 . 01 (9 . 095.

50、 0)()(11111n0时， )()5 . 0)9 . 0(45. 0( 1 ),( sRe9 . 0 ),( sRe)(nuzFzFnynn0时， y(n)=0最后得到 y(n)=0.45(0.9)n+0.5u(n)时域离散信号和系统的频域分析第章(3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n)y(1)=0.2, y(2)=0.5, y(n)=0, 当n2时Y(z)0.8z1Y(z)+y(1)z0.15z2Y(z)+y(1)z+y(2)z2=121115. 08 . 013 . 091. 1)(zzzzYnnnzzzzzzzzzzYzF)5 . 0)(3 . 0(3 . 091.

51、 115. 08 . 013 . 091. 1)()(12111时域离散信号和系统的频域分析第章n0时，nnzFzFny5 . 02 . 0275. 13 . 02 . 0873. 0 5 . 0 ),( sRe 3 . 0 ),( sRe)( y(n)=4.365 0.3n+6.375 0.5nn0时, y(n)=0最后得到 y(n)=(4.365 0.3n+6.375 0.5n)u(n)时域离散信号和系统的频域分析第章22 设线性时不变系统的系统函数H(z)为为实数aazzazH 11)(111（1） 在z平面上用几何法证明该系统是全通网络， 即|H(ej)|=常数；（2） 参数 a 如何

52、取值， 才能使系统因果稳定？画出其极零点分布及收敛域。 解解： 11)(1111azazazzazH(1)时域离散信号和系统的频域分析第章极点为a, 零点为a1。 设a=0.6， 极零点分布图如题22解图(a)所示。 我们知道|H(ej)|等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度， 按照题22解图(a)， 得到ACABaaazazHzj1je1jee)e (j因为角公用， aOAOBOCOA1，且AOBAOC， 故aACAB1，即时域离散信号和系统的频域分析第章aACABH1)e (j故H(z)是一个全通网络。 或者按照余弦定理证明:1cos22aaAC1cos212aaABaaaaaaACABH

53、1cos21cos21)(e221j时域离散信号和系统的频域分析第章题22解图时域离散信号和系统的频域分析第章（2） 只有选择|a|1才能使系统因果稳定。 设a=0.6， 极零点分布图及收敛域如题22解图(b)所示。 23 设系统由下面差分方程描述： y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)（1） 求系统的系统函数H(z)， 并画出极零点分布图；（2） 限定系统是因果的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h(n)；（3） 限定系统是稳定性的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h(n)。 解： （1） y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)将上式进行Z变换， 得

54、到 Y(z)=Y(z)z1+Y(z)z2+X(z)z1时域离散信号和系统的频域分析第章因此2111)(zzzzH11)(2211zzzzzzzH零点为z=0。 令z2z1=0， 求出极点： 2511z2512z极零点分布图如题23解图所示。 时域离散信号和系统的频域分析第章题23解图时域离散信号和系统的频域分析第章(2) 由于限定系统是因果的， 收敛域需选包含点在内的收敛域， 即。 求系统的单位脉冲响应可以用两种方法， 一种是令输入等于单位脉冲序列， 通过解差分方程， 其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应； 另一种方法是求H(z)的逆Z变换。 我们采用第二种方法。 2/ )51 ( zzzzH

55、zHTZnhcnd)(j21)()(11式中时域离散信号和系统的频域分析第章 1)(212zzzzzzzzzH2511z2512z，令211)()(zzzzzzzHzFnn时域离散信号和系统的频域分析第章n0时， h(n)=ResF(z), z1+ResF(z), z2nnnnzznzznzzzzzzzzzzzzzzzzzz25125151zz12221122112121因为h(n)是因果序列, n0时， h(n)=0， 故)(25125151)( nunhnn时域离散信号和系统的频域分析第章(3) 由于限定系统是稳定的， 收敛域需选包含单位圆在内的收敛域， 即|z2|z|z1|, 211)(

56、)(zzzzzzzHzFnnn0时， c内只有极点z2， 只需求z2点的留数， nzzFnh)251(51),( sRe)(2时域离散信号和系统的频域分析第章n0时， c内只有两个极点： z2和z=0， 因为z=0是一个n阶极点， 改成求圆外极点留数， 圆外极点只有一个， 即z1, 那么nzzFnh25151),( sRe)(1最后得到) 1(25151)(25151)(nununynn时域离散信号和系统的频域分析第章24 已知线性因果网络用下面差分方程描述： y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)（1） 求网络的系统函数H(z)及单位脉冲响应h(n)； （2） 写出网络频率响

57、应函数H(ej)的表达式， 并定性画出其幅频特性曲线； （3） 设输入x(n)=ej0n， 求输出y(n)。 解： （1） y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)Y(z)=0.9Y(z)z1+X(z)+0.9X(z)z1时域离散信号和系统的频域分析第章119 . 019 . 01)(zzzHcnzzzHnhd)(j21)(1令119 . 09 . 0)()(nnzzzzzHzFn1时，c内有极点0.9，nznzzzzzFnh9 . 02)9 . 0(9 . 09 . 09 . 0),( sRe)( 9 . 01时域离散信号和系统的频域分析第章n=0时， c内有极点0.9 ， 0

58、，0),( sRe9 . 0),( sRe)( ZFzFnh2)9 . 0()9 . 0(9 . 09 . 0),( sRe9 . 0zzzzzzF1)9 . 0(9 . 00),(sRe0zzzzzzF最后得到 h(n)=2 0.9nu(n1)+(n)时域离散信号和系统的频域分析第章（2） jje11e9 . 01e9 . 019 . 019 . 01)(FT)e (jzzznhH极点为z1=0.9, 零点为z2=0.9。 极零点图如题24解图(a)所示。 按照极零点图定性画出的幅度特性如题24解图(b)所示。 （3）nnx0je)(00000jjjje9 . 01e9 . 01e)(e)(

59、njneHny时域离散信号和系统的频域分析第章题24解图时域离散信号和系统的频域分析第章25 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为x(n)=anu(n),h(n)=bnu(n) 0a1, 0b1（1） 试用卷积法求网络输出y(n)； （2） 试用ZT法求网络输出y(n)。 解解： （1） 用卷积法求y(n)。mmnmmnuamubnxnhny)()()()()(n0时， babababaabaabanynnnnnnmmmnnmmmn111110011)( 时域离散信号和系统的频域分析第章n0时，y(n)=0最后得到)()( 11nubabanynn（2） 用ZT法求y(n)。 1111)( 11

60、)(bzzHazzX)1)(1 (1)()()(11bzazzHzXzY，时域离散信号和系统的频域分析第章zzzYnyncd)(j21)(1令bzazzbzazzzzYzFnnn1111111)()(n0时， c内有极点： a、 b, 因此babaabbbaabzFRazFnynnnn1111),(es),(sRe)(时域离散信号和系统的频域分析第章因为系统是因果系统, 所以n0时， y(n)=0。 最后得到)()(11nubabanynn26 线性因果系统用下面差分方程描述： y(n)2ry(n1) cos+r2y(n2)=x(n)式中， x(n)=anu(n), 0a1, 0rmax(r,