【高中数学必修四】2.5平面几何(物理)中的向量方法

1、2.5.1 2.5.1 平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法求求证证：平平行行四四边边形形两两条条对对角角线线的的平平方方和和等等于于相相邻邻两两边边的的平平方方和和的的两两倍倍。DACB2|AB ,ABa ADb 证证明明：设设2|a 2|AD 2|b 22|ACab 2()ab 222aa bb 2a 2b 22|DBab 2()ab 222aa bb 22|ACDB 222()ab 222()ABAD . 1例所以，平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍所以，平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍.几何问题向量化几何问题向量化向量运算关系化向量运算关系

2、化向量关系几何化向量关系几何化利用向量解决平面几何问题举例利用向量解决平面几何问题举例用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：几何问题向量化几何问题向量化 向量运算关系化向量运算关系化 向量关系几何化向量关系几何化（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻

3、译翻译”成几何元素。成几何元素。例例2 2 如图如图， ABCDABCD中，点中，点E E、F F分别是分别是AD AD 、 DCDC边的中点边的中点，BEBE、BFBF分别与分别与ACAC交于交于R R 、T T两点，两点，求证：求证：AR=RT=TCAR=RT=TCABCDEFRT利用向量解决平面几何问题举例利用向量解决平面几何问题举例简述：简述：几何问题向量化几何问题向量化 向量运算关系化向量运算关系化 向量关系几何化向量关系几何化“向量法解决几何问题向量法解决几何问题”的两个角度：的两个角度： 非坐标角度和坐标角度非坐标角度和坐标角度例例3.如图，正方形如图，正方形ABCD中，中，P是

4、对角线是对角线BD上的一点，上的一点，PECF是矩形，用向量证明：是矩形，用向量证明：（1）PA=EF（2）PAEFABCDPEF 2.5.2 向量在物理中的应用举例向量在物理中的应用举例探究（一）：探究（一）：向量在力学中的应用向量在力学中的应用思考思考1 1：如图，用两条成如图，用两条成120120角的等长角的等长的绳子悬挂一个重量是的绳子悬挂一个重量是10N10N的灯具，根据的灯具，根据力的平衡理论，每根绳子的拉力与灯具力的平衡理论，每根绳子的拉力与灯具的重力具有什么关系？每根绳子的拉力的重力具有什么关系？每根绳子的拉力是多少？是多少？120120O OC CB BA A10N10N|

5、|F1 1|=|=|F2 2|=10N|=10NF1 1+ +F2 2+ +G= =0思考思考2 2：两个人共提一个旅行包，或在单两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上运动，根据生活经验，杠上做引体向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？有什么关系？夹角越大越费力夹角越大越费力.思考思考3 3：假设两只手臂的拉力大小相等，假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为夹角为，那么，那么| |F1 1| |、| |G| |、之间的之间的关系如何？关系如何？FF1F2G 上述关系表明，若重力上述关系表明，若重力G一定，则拉力的大小是关于一定，

6、则拉力的大小是关于夹角夹角的函数的函数. .并且拉力大小和夹角大小成正比例关系并且拉力大小和夹角大小成正比例关系. .00，180180) )2cos21GF 探究（二）：探究（二）：向量在运动学中的应用向量在运动学中的应用思考思考1 1：如图，一条河的两岸平行，一艘如图，一条河的两岸平行，一艘船从船从A A处出发到河对岸，已知船在静水中处出发到河对岸，已知船在静水中的速度的速度| |v1 1| |1010/h/h，水流速度，水流速度| |v2 2| | 2 2/h/h，如果船垂直向对岸驶去，那么船，如果船垂直向对岸驶去，那么船的实际速度的实际速度v的大小是多少？的大小是多少？A Ahkmvv

7、vvv/10422121思考思考2 2：如果船沿与上游河岸成如果船沿与上游河岸成6060方向方向行驶，那么船的实际速度行驶，那么船的实际速度v的大小是多少？的大小是多少？v1v2v6060hkmvhkmv/2/1021hkmvvvvv/8422121思考思考3 3：船应沿什么方向行驶，才能使航船应沿什么方向行驶，才能使航程最短？程最短？v1v2 2vA AB BC C与上游河岸的夹角为与上游河岸的夹角为78.7378.73. .思考思考4 4：如果河的宽度如果河的宽度d d500m500m，那么船，那么船行驶到对岸至少要几分钟？行驶到对岸至少要几分钟？0.5603.1(min).| |96dt

8、v所以hkmvhkmv/2/1021（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。 小结小结1.用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：几何问题向量化几何问题向量化 向量运算关系化向量运算关系化 向量关系几何化向量关系几何化2.2.利用向量解决物理问题的基本步骤：利用向量解决物理问题的基本步骤：问题转化，即把物理问题转化为数学问题；问题转化，即把物理问题转化为数学问题；建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；求解参数，即求向量的模