周期信号的傅立叶级数展开

1、信号与系统信号与系统 信号与系统信号与系统周期信号周期信号: 定义在区间定义在区间 ，每隔一定时间，每隔一定时间 T ，按相同规律重，按相同规律重复变化的信号，如图所示复变化的信号，如图所示 。它可表示为。它可表示为 f (t)=f ( t+mT )(,) 其中其中 m 为正整数，为正整数， T 称为信号的称为信号的周期周期，周期的倒数称为，周期的倒数称为频率频率。信号与系统信号与系统周期信号的周期信号的特点：特点：（1）它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，时间）它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，时间范围为范围为 (,) 0( )()nf tf tnT0( )

2、( )( )a Tb TTabf t dtf t dtf t dt0( )f t( )f t（2）如果将周期信号第一个周期内的函数写成）如果将周期信号第一个周期内的函数写成 ，则周期信号，则周期信号 可以写成可以写成（3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有信号与系统信号与系统正交性正交性:（m 和和 n 都是整数）都是整数） 三角函数集三角函数集在区间在区间 内是一内是一完备正交函数集完备正交函数集。 ,sin , ,2sin ,sin , ,cos , ,2cos ,cos , 1000000tntttntt( ,)ttT00 T 20

3、0 0 2 0dcoscos0000nmTnmTnmttntmTttsinsinmtnt tmnTmnttT0000020d sincosmtnt tttT00000d信号与系统信号与系统正交性正交性:（m 和和 n 都是整数）都是整数） 指数函数集指数函数集在区间在区间 内也是一完备正交函数集。内也是一完备正交函数集。( ,)ttT00 T 20 , 2 , 1 , 0(e0jntnnmTnmttTtttmnTtttmtn= 0dedee0000000)( jjj 信号与系统信号与系统式中各正、余弦函数的系数式中各正、余弦函数的系数 称为称为傅立叶系数傅立叶系数。周期信号周期信号 ，周期为，

4、周期为 ，角频率，角频率f t ( )T0022fT1000020102010sincos 2sinsin2coscos)(nnntnbtnaatbtbtataatfnnba ,1. 1. 该信号可以展开为下式该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数三角形式的傅立叶级数。 信号与系统信号与系统根据正交函数展开理论，容易得到根据正交函数展开理论，容易得到 傅立叶系数公式如下傅立叶系数公式如下式中积分可以取任意一个周期，一般情况下，取式中积分可以取任意一个周期，一般情况下，取, 2 , 1dsin)(2, 2 , 1dcos)(2d)(1000000000nttntfTbnttntfTattfTa

5、TttnTttnTtt( ,)0 T(,)TT22 或或 信号与系统信号与系统三角形式的傅立叶级数三角形式的傅立叶级数还可以写成下面形式还可以写成下面形式两种形式之间系数有如下两种形式之间系数有如下关系关系:或或100cos)(nnntnAAtf0022n 1, 2, arctgnnnnnAaAabnba aAaAnbAnnn001 2 cos,sinnnn 0001( )cossinnnnf taantbnt 信号与系统信号与系统其中其中直流分量：直流分量： 0A基波：基波：101cos()At二次谐波：二次谐波：202cos(2)At 依次类推，还有三次谐波、四次谐波、高次谐波等概念。依次

6、类推，还有三次谐波、四次谐波、高次谐波等概念。 周期信号的傅立叶级数展开说明周期信号可以分解为周期信号的傅立叶级数展开说明周期信号可以分解为直流分量直流分量、基基 波分量波分量以及以及各次谐波分量各次谐波分量之和。之和。根据前面的根据前面的傅立叶系数公式傅立叶系数公式知道：知道： 是是 n 的的偶偶函数，函数， 是是 n 的的奇奇函数。函数。 是是 n 的的偶偶函数，函数， 是是 n 的的奇奇函数。函数。nanbnAn 信号与系统信号与系统例：例：将图示的对称方波信号展成三角形式傅立叶级数将图示的对称方波信号展成三角形式傅立叶级数解：解：直接代入公式有直接代入公式有0d)(100TttfTa

7、信号与系统信号与系统直接代入公式有直接代入公式有0)(sin12)sin(12 dcos) 1 (2dcos) 1(2dcos)(220000200200020220TTTTTTntnnTtnnTttnTttnTttntfTa, 5 , 3 , 1= 4 , 6 , 4 , 2= 0)cos1 (2 )cos(12cos12dsin)(220000200220nnnnntnnTtnnTttntfTbTTTTn 信号与系统信号与系统所以有所以有f ttttnnt( )sinsinsinsin413315510000, 5 , 3 , 1= 4 , 6 , 4 , 2= 0nnnbn0na 信号与

8、系统信号与系统式中式中 称为称为傅立叶系数傅立叶系数，是复数。，是复数。周期信号周期信号 ，周期为，周期为 ，角频率，角频率f t ( )T0022fTnFf tFnntn( ) ej0该信号可以展开为下式该信号可以展开为下式复指数形式的傅立叶级数复指数形式的傅立叶级数。 2,1, 0,= ,e )(122j -0ndttfTFTTtnn其中其中 信号与系统信号与系统 分量的频率是分量的频率是 ，而分量，而分量 的频率是的频率是 。除了直流分量除了直流分量 ，单独一个，单独一个 不能构成物理上一个谐波分量，不能构成物理上一个谐波分量，必须是对称的两个分量必须是对称的两个分量 和和 才构成物理上

9、的一个谐波分才构成物理上的一个谐波分量。量。在三角形式的傅立叶级数中，系数在三角形式的傅立叶级数中，系数 中的中的下标变量取值下标变量取值范围范围为为 ，在复指数形式的傅立叶级数中，系数在复指数形式的傅立叶级数中，系数 中的中的下标变量取值下标变量取值范围是范围是nFnnba ,0n(,) tnnF0je0ntnnF0-je0n0FtnnF0jetnnF0jetnnF0-je 信号与系统信号与系统两种形式傅立叶级数中两种形式傅立叶级数中系数的关系系数的关系:001(j)1,2,3,21(j)1,2,3,2nnnnnnFaFabnFabn 信号与系统信号与系统例：例： 将图示周期矩形脉冲信号展成

10、指数形式傅立叶级数将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数解：解： 直接代入公式有直接代入公式有 2Sa=22sinde1de )(100022j -22j -00nTAnnTAtATttfTFtnTTtnn e )2Sa(e)(00j-=0jtnnntnnnTAFtf所以所以 信号与系统信号与系统1.1.周期信号的频谱周期信号的频谱为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图频谱图的表示方法。的表示方法。在傅立叶分析中，把各个分量的幅度在傅立叶分析中，

11、把各个分量的幅度 或或 随频率或角频率随频率或角频率 的变化称为信号的的变化称为信号的幅度谱幅度谱。FnAn0n而把各个分量的相位而把各个分量的相位 或或 随频率或角频率随频率或角频率 的变化的变化称为信号的称为信号的相位谱相位谱。0nnn幅度谱和相位谱通称为信号的幅度谱和相位谱通称为信号的频谱频谱。三角形式的傅立叶级数频率为非负的，对应的频谱一般称为三角形式的傅立叶级数频率为非负的，对应的频谱一般称为单边谱单边谱，指数形式的傅立叶级数频率为整个实轴，所以称为指数形式的傅立叶级数频率为整个实轴，所以称为双边谱双边谱。信号与系统信号与系统例例ttttFFFFFtAtAAtf0000j22j2-2

12、j1j -102021010eeee= )2cos()cos()(00AF FA1121ejFA1121e-jFA2222ej2j -22e2AF 信号与系统信号与系统周期矩形脉冲信号的傅立叶系数为周期矩形脉冲信号的傅立叶系数为 频谱图：频谱图：2Sa0nTAFn若把相位为零的分量的幅度看作正值，若把相位为零的分量的幅度看作正值，把相位为把相位为的分量的幅度看作负值，那的分量的幅度看作负值，那么幅度谱和相位谱可合二为一。么幅度谱和相位谱可合二为一。幅度谱幅度谱相位谱相位谱 信号与系统信号与系统各条谱线顶点的联线称为各条谱线顶点的联线称为谱线包络线谱线包络线。如。如果把按抽样函数规律变化的频谱包

13、络线看果把按抽样函数规律变化的频谱包络线看成一个个起伏的山峰和山谷，其中最高峰成一个个起伏的山峰和山谷，其中最高峰称为主峰。称为主峰。 包含信号主要频谱分量的包含信号主要频谱分量的 这段频率范围称为矩形脉冲这段频率范围称为矩形脉冲信号的有效信号的有效频带宽度频带宽度或或带宽带宽，即矩形脉冲的频带宽度为，即矩形脉冲的频带宽度为主峰高度主峰高度 包络主峰两侧第一个零点为包络主峰两侧第一个零点为FAT02202B或或1fB 信号与系统信号与系统(3) 收敛性收敛性谱线幅度随谱线幅度随 而衰减到零。各频谱的高度而衰减到零。各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐减小，当谐波次数无限增高时，谱随着谐波次数增高

14、而逐渐减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减小线的高度也无限减小n 周期信号频谱的周期信号频谱的特点特点：(1)离散性离散性谱线是离散的而不是连续的，因此称为谱线是离散的而不是连续的，因此称为离散频谱离散频谱；(2) 谐波性谐波性谱线所在频率轴上的位置是基本频率的整数倍；谱线所在频率轴上的位置是基本频率的整数倍； 信号与系统信号与系统典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱T：脉冲周期：脉冲宽度A：脉冲幅度12T：三角函数公共周期第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数f(t)是偶函数是偶函数bn=0222222)(20TAAdtTdttfTTTa 信号

15、与系统信号与系统212sin2222( )cossin()TTnnAnAAnTf tn tdtSanTnTTTTTa第二步：展成指数形式傅立叶级数第二步：展成指数形式傅立叶级数112( )() cos()nAAnftSantTTT)cos()2(2111tnnSaTATAn11221()2jntnnAAdtSaTTeF 11( )()2jntnnAf tSaTe 12:T公公共共周周期期sin()()tf tS tt信号与系统信号与系统当当 时时第三步：频谱分析第三步：频谱分析22122()()2nAAnSaSannnnTTTAaba nA与与之比值有关，取之比值有关，取 T1()()2nnA

16、AnSaSaTTTF51TnF与与包络线均为包络线均为)2(1 nSa1 n为离散频率为离散频率n,.2,20)2(Sa即即n2,.4,20)2(SanA信号与系统信号与系统计算第一个振幅为零的谐波次数计算第一个振幅为零的谐波次数n1 TA22412 13 14 15 An幅度频谱图幅度频谱图2431tttSasin)(抽样函数抽样函数234112222155nnTTTnT 令令 将将 代入得代入得即即 （取（取 ） 信号与系统信号与系统n1()02nSa1()02nSa0Fn0Fn0即即即即000tan1nnnnnaaab）（信号与系统信号与系统第四步：讨论频谱结构与第四步：讨论频谱结构与

17、、T 的关系的关系1.当当 不变不变，T增大增大，谱线间隔，谱线间隔 减小，谱线逐渐密集，幅度减小，谱线逐渐密集，幅度 减减 小小 T01 0TAT 21 TA当当非周期信号非周期信号连续频率连续频率1 n非周期信号连续频谱非周期信号连续频谱2.当当T不变不变， 减小减小时时TAT不变不变间隔不变间隔不变振幅为振幅为0的谐波频率的谐波频率,.,42T 21 信号与系统信号与系统随着随着T的增大，各条谱线的增大，各条谱线高度减小、谱线变密。高度减小、谱线变密。当当T时，则各条谱线时，则各条谱线高度高度0 ，各谱线间隔也，各谱线间隔也0 ，这时周期信号已转，这时周期信号已转化为非周期信号，离散化为

18、非周期信号，离散谱线变为连续谱线期信谱线变为连续谱线期信号的频谱号的频谱信号与系统信号与系统FAnnSa()当当增大到增大到=T时，则时，则信号与系统信号与系统周期信号的平均功率为周期信号的平均功率为2221( ) dTTPf ttT根据傅立叶级数展开有根据傅立叶级数展开有0022j2222-j2211( )d( )e1( )eTTntnnTTTntnnnnnnnTfttf tFdtTTFPFf tdtF FT即即22221( ) dTnnTPf ttFT称为周期信号的称为周期信号的帕塞瓦尔帕塞瓦尔(Parseval)定理定理。表明周期信号的平。表明周期信号的平均功率等于各个复指数信号分量的平

19、均功率之和，即均功率等于各个复指数信号分量的平均功率之和，即总平均功总平均功率是各个分量平均功率之和率是各个分量平均功率之和 2. 周期信号的平均功率和功率谱周期信号的平均功率和功率谱 信号与系统信号与系统帕塞瓦尔公式帕塞瓦尔公式还可以写成还可以写成1220221nnnnAAFP各平均功率分量各平均功率分量 与频率的关系，称为周期信号的与频率的关系，称为周期信号的功率频谱功率频谱，简称简称功率谱功率谱。Fn2周期信号的功率谱也是离散谱。周期信号的功率谱也是离散谱。周期信号在时域中的平均功率等于频域中的直流分量和各次谐波周期信号在时域中的平均功率等于频域中的直流分量和各次谐波分量的平均功率之和。

20、分量的平均功率之和。 信号与系统信号与系统例：例：试求图示周期矩形脉冲在有效频带宽度试求图示周期矩形脉冲在有效频带宽度 内谐波分量所具内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比，其中已知有的平均功率占整个信号平均功率的百分比，其中已知 A=1, T=0.25s, =0.05s。20 信号与系统信号与系统解：解：根据前面傅立叶级数展开，图示周期矩形脉冲的傅立叶系数为根据前面傅立叶级数展开，图示周期矩形脉冲的傅立叶系数为2Sa0nTAFn40Sa510nFn信号总平均功率为信号总平均功率为40140122222222000. 0d14d)(1d)(1tttfTttfTPTT将将A1，T0

21、.25s， =0.05s，0 =2 /T=8 代入得代入得 信号与系统信号与系统在有限带宽在有限带宽 内有直流分量、基本分量和四个谐波分量。内有直流分量、基本分量和四个谐波分量。有限带宽内信号各个分量的平均功率之和为有限带宽内信号各个分量的平均功率之和为2042201222222212234( )Sa ()Sa ()Sa ()Sa ()0.1806555555nnPFF0.18060.90490.4%0.2000PP 信号与系统信号与系统当周期信号具有某种对称性时，在傅立叶级数展开过程中，傅立叶系数当周期信号具有某种对称性时，在傅立叶级数展开过程中，傅立叶系数的计算大为简化。的计算大为简化。（

22、1）偶对称偶对称20020002( )4( )cos(),1,2,3,nTTnbaf t dtTaf ttndt nT三、周期信号的对称性与傅立叶系数三、周期信号的对称性与傅立叶系数 ( )()f tft信号与系统信号与系统（2）奇对称奇对称)()(tftf2000,0,1,2,4( )sin(),1,2,3,nTnanbf tnt dtnT三、周期信号的对称性与傅立叶系数三、周期信号的对称性与傅立叶系数 信号与系统信号与系统（3）偶半波对称偶半波对称f tf tT( )()220020020002( )4( )cos()4( )sin()nnTTnTnabaf t dtTaf tnt dtT

23、bf tnt dtT偶半对称信号的第二个半周波形与偶半对称信号的第二个半周波形与第一个半周波形相同，其基波频率第一个半周波形相同，其基波频率为为20，进行傅立叶级数展开时只含，进行傅立叶级数展开时只含有偶次谐波项，所以偶半波对称信有偶次谐波项，所以偶半波对称信号有时称为号有时称为偶谐信号偶谐信号。 三、周期信号的对称性与傅立叶系数三、周期信号的对称性与傅立叶系数 n为偶数时为偶数时n为奇数时为奇数时n为偶数时为偶数时信号与系统信号与系统（4）奇半波对称奇半波对称f tf tT( )() 2020020004( )cos()4( )sin()nnTnTnaabaf tnt dtTbf tnt d

24、tT三、周期信号的对称性与傅立叶系数三、周期信号的对称性与傅立叶系数 n为偶数时为偶数时n为奇数时为奇数时n为奇数时为奇数时奇半对称信号的第二个半奇半对称信号的第二个半周波形为第一个半周波的周波形为第一个半周波的负值。进行傅立叶级数展负值。进行傅立叶级数展开时只含有奇次谐波项，开时只含有奇次谐波项，所以奇半波对称信号有时所以奇半波对称信号有时称为称为奇谐信号奇谐信号。 信号与系统信号与系统2100sin)(40TttnntdtntfTba，( )f t( )()f tft( )()2Tf tf t( )()2Tf tf t( )()f tft 2100cos)(40TttnntdtntfTab

25、，三、周期信号的对称性与傅立叶系数三、周期信号的对称性与傅立叶系数 的对称条件的对称条件展开式中的的系数特点展开式中的的系数特点纵轴对称（偶函数）纵轴对称（偶函数）原点对称（奇函数）原点对称（奇函数）半周重叠（偶谐函数）半周重叠（偶谐函数）半周镜像（奇谐函数）半周镜像（奇谐函数）无偶次谐波，只有奇次谐波无偶次谐波，只有奇次谐波无奇次谐波，只有直流偶次谐波无奇次谐波，只有直流偶次谐波信号与系统信号与系统( )f t 202202ETttTETttT 0nb 02200222222( )TTTTEEaf t dttdttdtETTTT)(tftTT2T2TE解解:例：例：有一偶函数，其波形如图所示

26、，求其傅有一偶函数，其波形如图所示，求其傅立叶展开式并画出其频谱图。立叶展开式并画出其频谱图。f(t) 在一个周期内可写为如下形式在一个周期内可写为如下形式f(t) 是偶函数，故是偶函数，故三、周期信号的对称性与傅立叶系数三、周期信号的对称性与傅立叶系数 信号与系统信号与系统)()(1122nnE)()()(为偶数为奇数nnnE042221,3,5412( )cos2nEEnf ttnTE24E294E2254E0111315nAsin1sin8)2(cos241201201121120tdtntnntTETtdtntTETaTTTn三、周期信号的对称性与傅立叶系数三、周期信号的对称性与傅立叶

27、系数 信号与系统信号与系统2( )22TTf tttT 0na )(tft1T解解:例：例：有一奇函数，其波形如图所示，求其傅有一奇函数，其波形如图所示，求其傅立叶展开式并画出其频谱图。立叶展开式并画出其频谱图。f(t) 在一个周期内可写为如下形式在一个周期内可写为如下形式f(t) 是奇函数，故是奇函数，故三、周期信号的对称性与傅立叶系数三、周期信号的对称性与傅立叶系数 信号与系统信号与系统tTnntfnn211211sin)()(20111314nA13221121201211121201120) 1(2)sin)(1cos(8sin24)2(sin)(4nTTTnntnntnntTtdtn

28、tTTTtdtntfTb三、周期信号的对称性与傅立叶系数三、周期信号的对称性与傅立叶系数 信号与系统信号与系统( )f t 42424442442TtTtTTtTtTTtTtTt)(tfT2T4T12T0cos)42(cos4cos)42(2cos)(2124144142221tdtntTtdtntTtdtntTTtdtntfTaTTTTTTTTn解解:例：例：有一奇谐函数，其波形如图所示，求其有一奇谐函数，其波形如图所示，求其傅立叶展开式并画出其频谱图。傅立叶展开式并画出其频谱图。f(t) 在一个周期内可写为如下形式在一个周期内可写为如下形式三、周期信号的对称性与傅立叶系数三、周期信号的对称

29、性与傅立叶系数 信号与系统信号与系统sin)42(sin44)2(sin)(41241401120tdtntTtdtntTTTtdtntfTbTTTTn为偶数为奇数nnnn0) 1(821222sin8cos4)sin)(1cos()sin)(1cos(16222411241211140121112nntnTntnntnnttnntnntTTTTTT三、周期信号的对称性与傅立叶系数三、周期信号的对称性与傅立叶系数 信号与系统信号与系统12221812( )( 1)sin12nnjnf ttjnT, ,28011nA29822581315三、周期信号的对称性与傅立叶系数三、周期信号的对称性与傅立

30、叶系数 信号与系统信号与系统4T2TTtE)(tf00)23sin2(sin)2sin143sin14sin1(2)coscos(21111114321401nnnETnnTnnTnnTEtdtnEtdtnETaTTTn解解:例：例：有一偶谐函数，其波形如图所示，求其有一偶谐函数，其波形如图所示，求其傅立叶展开式并画出其频谱图。傅立叶展开式并画出其频谱图。三、周期信号的对称性与傅立叶系数三、周期信号的对称性与傅立叶系数 信号与系统信号与系统、 212sin12)(2jtTnnEtfjn)cos1 ()cos23cos12(cos)sinsin(24321401nnEnnnnEtdtnEtdtn

31、ETbTTTn为偶数为奇数nnEn20E012nA2E3E1416三、周期信号的对称性与傅立叶系数三、周期信号的对称性与傅立叶系数 信号与系统信号与系统从数学上来讲，并不是任何周期信号都可以展开成傅立叶级数的。从数学上来讲，并不是任何周期信号都可以展开成傅立叶级数的。以以 T 为周期的周期信号为周期的周期信号 f (t) ，在展成傅立叶级数时，必须满足下，在展成傅立叶级数时，必须满足下列三个条件：列三个条件：(1) 函数函数 f (t) 在一个周期内必须绝对可积，即在一个周期内必须绝对可积，即(2) 在一个周期内在一个周期内 f (t) 只有只有有限有限个个极大值极大值和和极小值极小值。(3) 在一个周期内在一个周期内 f (t) 只有只有有限个不连续点有限个不连续点，而且在不连续点处，而且在不连续点处， f (